一個帶負顧客排隊系統算子的半群特征

奧古麗江·艾尼

（烏魯木齊市第二中學，新疆烏魯木齊830000）

一個帶負顧客排隊系統算子的半群特征

奧古麗江·艾尼

（烏魯木齊市第二中學，新疆烏魯木齊830000）

利用泛函分析中的線性算子半群理論討論一個帶負顧客的非空竭服務休假排隊系統模型相應算子的半群特征。結果表明該排隊模型相應的算子生成一個正定壓縮C0-半群S（t）。

帶負顧客的排隊系統；Cauchy問題；線性算子；耗散算子

線性算子半群理論是研究排隊系統和可靠性系統的理論基礎和重要工具，尤其是在討論系統解的存在唯一性、漸近性和穩定性等方面發揮著重要的作用［1-12］。與此同時，利用數學模型的方法，研究、評價排隊系統在內的各類系統的可靠性已經成為可靠性理論及可靠性數學的熱門課題。隨著排隊論的發展，90年代左右產生了一類新型的排隊系統，即帶負顧客排隊系統。負顧客是一種全新的顧客，他們相對于一般（正）顧客而言的，他們本身不需要系統提供的任何服務，負顧客到達后，若系統是空閑的則立刻從系統中消失，若系統中有接受服務的正顧客，則立刻把他帶走。負顧客通常被認為是一次操作失誤，外來信號的干擾，一種病毒，工作信號的消失等等。負顧客概念的提出，使許多計算機、控制、機械和交通等領域中的各類現實問題找到了解決問題的方法，引起了國內外研究者的廣泛關注，從而對負顧客排隊進行了一系列的研究。在文獻［13］中作者將負顧客引進非空竭服務休假且正顧客有流失的M／G／1排隊系統，利用求吸收分布以及普通M／G／1排隊系統的穩態條件，研究了一類帶有負顧客且正顧客有流失的M／G／1非空竭服務休假排隊系統的穩態條件。文章利用線性算子的半群理論，討論該排隊系統算子的半群特征，以期進一步研究這些系統解的漸近性，并在此基礎上研究系統的可靠性。

1 帶負顧客的非空竭服務休假排隊模型及模型轉換

由文獻［13］帶有負顧客的非空竭服務休假排隊系統的數學模型用以下方程組描述：

其中（t，x）∈［0，∞）×［0，∞）；p0（t）表示在t時刻顧客已結束服務離開系統的概率；p1（t，x）dx表示在t時刻服務器正在為顧客服務，并服務已逝去的時間在［x，x＋dx）之間的概率；p2（t，x）dx表示在t時刻服務器處于工作休假期，并休假已逝去的時間在［x，x＋dx）之間的概率。λ-表示負顧客的到達率；α表示正常狀態率；μ（x）表示服務失效率；υ（x）表示休假失效率。

選取狀態空間為

顯然X是一個Banach空間［14］。下面引進算子及其定義域：

則方程組（1）-（6）可以描述為Banach空間X上的一個抽象Cauchy問題：

引理1 A生成一個C0-半群。

引理2 B是有界算子。

2 帶負顧客的非空竭服務休假排隊系統算子的半群特征

定理1 A＋B生成一個正壓縮C0-半群S（t）。

證明 分兩步證明此定理。第一步指出B是有界線性算子，并推出A＋B生成一個C0-半群S（t）。第二步由算子的耗散性和Philips定理得到S（t）是一個正壓縮C0-半群。

由B的定義對?p=（p0，p1，p2）∈X，?q=（q0，q1，q2）∈X，?k，l∈R有

（8）與引理2表明B是有界線性算子。此結果結合到引理1與C0-半群的擾動定理［3］知道A＋B生成一個C0-半群S（t）。

第二步證明A＋B是dispersive算子。對p（x）=（p0，p1（x），p2（x））∈D（A），令

對p∈D（A）與上述的φ（x），由（9）式與邊界條件推出

此式說明算子A＋U是dispersive。因此由Philips定理得到A＋U生成一個正壓縮C0-半群［3］。再由半群的唯一性理論［3］即知這個正定壓縮C0-半群就是S（t）。定理證畢。

此結論對于今后進一步討論該排隊系統算子的擬緊性、豫解集和漸近穩定性等方面發揮著重要的作用。

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［13］尹小玲.帶負顧客的非空竭服務休假排隊系統的穩態分析［J］.中山大學學報（自然科學版），2008，47（2）：1-4.

［14］阿力木·米吉提，蔡玲霞.第二種服務可選的M／M／1排隊模型狀態空間及對偶空間的完備性［J］.新疆師范大學學報（自然科學版），2012，31（2）：72-76.

Semigroup Characteristics of a Queueing System Operator with Negative Customers

Oghuljan·AINI
（No．2 Middle School of Urumqi，Urumqi，Xinjiang，830000，China）

By using the strong continuous semigroup theory of linear operators in functional analysis，we dis?cuss the semigroup characteristics of the system operator expressed by the queue with negative customers and vaca?tion on non-exhaustive service.Our results show that the underlying operator of the model generates a positive con?traction C0-semigroup S（t）.

Queue system with Negative Customers；abstract Cauchy problem；linear operator；dispersive op?erator

G623.5

A

1008?9659（2015）03?056?04

2015-06-10

新疆廣播電視大學基金（2013xjddkt001）。

奧古麗江·艾尼（1977-），女，新疆吐魯番人，中教一級，主要從事中學數學教學和模型的動態分析方面的研究。