最小時頻帶寬積Gabor譜圖及應用

田 琳， 梁華蘭， 董金臣

（伊犁師范學院電子與信息工程學院，新疆伊寧835000）

最小時頻帶寬積Gabor譜圖及應用

田 琳， 梁華蘭， 董金臣

（伊犁師范學院電子與信息工程學院，新疆伊寧835000）

短時傅里葉變換譜圖的方法已廣泛運用于信號處理的各個領域，但是短時傅里葉變換譜圖的時頻分辨率較低。Gabor譜圖是短時傅里葉變換譜圖的一種特殊形式，文章把時頻帶寬積最小標準運用到Gabor譜圖的窗函數中去，提出了最小時頻帶寬積Gabor譜圖。最小時頻帶寬積Gabor譜圖利用了Heisenberg不確定原理，時頻分析結果的時間和頻率兩個變量都將得到較高的分辨率。將該方法運用于測試信號和實際信號的時頻分析，仿真實驗結果顯示最小時頻帶寬積Gabor譜圖得到了較好的時頻分析結果。

譜圖；時頻帶寬積；海森堡不確定原理；時頻分辨率

非平穩信號的時域表示可以獲得信號隨時間變化的規律，它的傅里葉變換可以提供信號頻域的全局信息。要得到信號頻率隨時間的變化規律，需要把一維離散時間信號用時頻分析的方法映射到二維時頻平面，信號頻率隨時間的變換規律就會呈現出來。常用的時頻分析方法通常分為線性變換和非線性變換兩類，其中短時傅里葉變換譜圖方法是非線性變換，短時傅里葉變換譜圖也常被簡稱為譜圖，譜圖被廣泛運用于音頻信號、地震信號等信號的處理和分析［1，2］。由于譜圖的時頻分辨率較低，武國寧等人提出了重排的方法提高譜圖的時頻分辨率［3］。當譜圖的窗函數為高斯函數時，并對信號的STFT做時域和頻域的采樣并取模值的平方，就可以得到Gabor譜圖，因此Gabor譜圖可以被認為是譜圖的一種特殊形式。Gabor譜圖和短時傅里葉譜圖都要受到Heisenberg不確定原理的制約，分辨率有一定的局限性。

文章把時頻帶寬積最小準則引入Gabor譜圖的窗函數，通過改進窗函數來提高傳統Gabor譜圖的時頻分辨率，并通過測試信號和實際信號的處理來驗證本文提出算法的功能。

1 原理

1.1 Gabor譜圖

Gabor譜圖有兩種定義表達，一種是包含有不同階次Gabor譜圖［8］，文獻［7］中給出的Gabor譜圖另一種定義。雖然文獻［8］中提出的高階Gabor譜圖的分辨率較高，它在檢測微弱信號方面沒有優勢，本研究采用0階的Gabor譜圖，該定義形式和文獻［7］中給出的Gabor譜圖定義一致。信號x t()的Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distributions，WVD）可以表述為［4］：

信號Gabor譜圖可以由信號的Gabor變換幅值的平方求出，也可以由信號的WVD和窗函數WVD的二維卷積得到，本文在計算Gabor譜圖時采用后者，其表達式為［7］：

其中h為高斯窗函數，WVDh表示窗函數的WVD。

1.2 最小時頻帶寬積

信號本身和窗函數的時寬和帶寬滿足下面的關系［5］：

其中Tx和Bx是信號的時寬和帶寬，Th和Bh是窗函數的時寬和帶寬，Tx和Bx滿足下面的關系式：

其中X（f）是信號x t()的傅里葉變換。其中ηt和ηf滿足下面的關系式：

其中ηt和ηf分別是信號時域和頻域的均值，Tx和Bx是信號時域和頻域的標準差。窗函數的Th、Bh的計算方法和Tx、Bx計算方法相同。Tx·h和Bx·h越小，信號時頻域的聚集性就越好，時頻分析結果的分辨率就越高，因此可以通過最小化時頻帶寬積來提高信號的時頻聚集性。信號x t()的時頻帶寬積（time-bandwidth product，TBP）簡稱為TBPx，要使TBPx取得最小值，也就是要最小化：

由Heisenberg不確定原理：

其中帶寬B的變量為頻率，當B的變量為角速度時，TB的最小值為1／2，（7）式的右邊取TB的最小值運算可得：

為了使TBPx取得最小值，窗函數的時寬滿足下式［6］：

在TBP最小準則下，信號的最優高斯窗函數滿足：

1.3 基于最小時頻帶寬積Gabor譜圖

將TBP最小高斯窗函數帶入（2）式得到最小時頻帶寬積Gabor譜圖：

其中WVDhTBP表示TBP最小高斯窗函數hTBP（t）的WVD，hTBP（t）由等式（10）求出，GSTBP表示最小時頻帶寬積Gabor譜圖。

2 仿真

為了驗證最小時頻帶寬積Gabor譜圖在提高信號時頻聚焦性的功能，一個合成的chirp信號被用來測試文章提出算法的優越性。作為比較，信號的WVD、譜圖和平滑偽WVD分布（Smoothed Pseudo Wigner-Ville distributions，SPWVD）時頻分析結果在文章中給出。信號的WVD、譜圖和SPWVD計算方法源于matlab時頻分析工具箱默認的分析方法。測試信號的表達式是：

測試信號包含兩個分量高斯脈沖調制的線性chirp信號，信號的實部（如圖1所示），信號的WVD，譜圖和SPWVD（如圖2-4所示）。TBP最小準則下的最優窗函數如圖5所示，文章提出算法最小時頻帶寬積Ga?bor譜圖如圖6所示。

由圖2可以看出，信號的WVD分辨率較高，但是含有交叉項。信號的譜圖如圖3所示，譜圖時頻分析的結果不存在交叉項，但時頻分辨率較低。SPWVD分布存在輕微的交叉項。信號的最小時頻帶寬積Gabor譜圖的時頻分辨率較高，并且不存在交叉項。

圖1 測試信號的實部

圖2 測試信號的WVD

圖3 測試信號的譜圖

圖4 測試信號的SPWVD

圖5 TBP最小準則下的最優窗函數

圖6 最小時頻帶寬積Gabor譜圖

3 實際信號的處理

實際的蝙蝠回聲信號來源于Rice大學，信號如圖7所示。信號的WVD、譜圖和SPWVD分布如圖8-10所示。TBP最小準則下的最優窗函數如圖11所示，文章提出算法變換結果如圖12所示。

圖7 蝙蝠回聲信號

圖8 蝙蝠回聲信號的WVD

圖9 蝙蝠回聲信號的譜圖

圖10 蝙蝠回聲信號的SPWVD

圖11 TBP最小準則下的最優窗函數

圖12 最小時頻帶寬積Gabor譜圖

由圖8可以看出，信號的WVD分辨率較高，但是含有交叉項，時頻分析結果很難辨認出自項和交叉項。信號的譜圖如圖9所示，譜圖不含有交叉項，時頻分析結果發生了水平方向輕微的的剪切形變，并且信號的較微弱的分量沒有檢查出來。SPWVD分布可以檢測信號的信號的較微弱的分量，但交叉項沒有去除干凈。信號的最小時頻帶寬積Gabor譜圖檢測到所有的回聲信號，并且其時頻分辨率較高，交叉項很微弱。

4 結論

文章將時頻帶寬積最小準則下信號的最優高斯窗函數引入Gabor譜圖，利用了Heisenberg不確定原理，得到了最小時頻帶寬積Gabor譜圖。由于最優窗函數和信號之間是相關的，和窗函數和信號之間是相互獨立的時頻分析方法相比較，利用最小時頻帶寬積Gabor譜圖分布得出的時頻分布結果，信號的時間和頻率兩個變量在時頻域都獲得了較高時頻分辨率。通過測試信號和實際聲音信號的驗證，最小時頻帶寬積Gabor譜圖分布時頻分辨率較高。因此該方法可以運用到音頻信號、地震信號、生物醫學、雷達等信號的處理和分析。

［1］Alexandrova V.Kostov.Y.The language of some wild predators in soundgrams（spectrogram）［J］.Journal of Agricultural Science，2012，18（1）：133-137.

［2］字正華，石庚辰.基于短時傅立葉變換譜圖的非平穩信號時延估計方法別［J］.探測與控制報，2007，27（9）：19-23.

［3］武國寧，曹思遠，等.譜圖重排的譜分解理論及其在儲層探測中的應用［J］.地球物理學進展，2012，2（2）：0596-0602.

［4］Lu W，Li F.Seismic spectral decomposition using deconvolutive short-time Fourier transform spectrogram［J］.Geophysics，2013，78（2）：43-51.

［5］Cohen L.Time-Frequency Analysis［M］.Englewood Cliffs，NJ：Prentice-Hall，1995：99-100.

［6］Durak L，Arikan O.Short-time Fourier transform：two fundamental properties and an optimal implementation［J］.IEEE Transactions on Signal Pro?cessing，2003，51（5）：1231-1242.

［7］Patrick Flandrin.A Note on Reassigned Gabor Spectrograms of Hermite Functions［J］.Journal of Fourier Analysis and Applications，2013，19（2），285-295.

［8］QianS.，Rao Y.，and Chen D.A fast Gabor spectrogram［C］.in Proc.IEEE Internat.Conf.on Acoustics，Speech and Signal Processing（ICASSP 2000），2000，Istanbul5-9（2）：653-656.

Gabor Spectrogram Based Onminimal Time-bandwidth Product and its Application

TIAN Lin， LIANG Hua-lan， DONG Jin-chen
（School of Electric and Information Engineering，Yili Normal University，Yining，Xinjiang，835000，China）

Short time Fourier transform（STFT）spectrogram methods are widely used in various fields of sig?nal processing，yet STFT spectrogram has poor resolutions.Gabor spectrogram can be interpreted as special case of STFT spectrogram.In this paper，minimal time-bandwidth product（TBP）criterion is introduced into the window function of Gabor spectrogram；the Gabor spectrogram based on time-bandwidth product is achieved.The optimal Gabor spectrogram utilizes the Heisenberg uncertainty principle and time and frequency acquire good resolutions in time-frequency domain.This method is applied to test signal and the real signal，the results show Gabor spectro?gram based minimal TBP has good performances.

Spectrogram；Time-bandwidth product；Heisenberg uncertainty principle；Time-frequency resolu?tions

O456

A

1008?9659（2015）03?066?05

2015-06-10

伊犁師范學院科研項目資助（2014YSYB04）。

田琳（1973-），女，山東省濟寧市人，實驗師，主要從事非平穩信號時頻分析的研究。