圓錐曲線中離心率取值范圍的初探

李丹茹 毋曉迪 張君會 趙志穩

【摘要】范圍問題是數學中的一大類問題，在高考試題中占有很大的比重，圓錐曲線中離心率取值范圍問題也是高考中解析幾何試題的一個倍受青睞的考查點，其求解策略的關鍵是建立目標的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲線定義，曲線的幾何性質，題設指定條件等，筆者就這幾種常見的方法，總結了如下幾種考試時應對的策略.

【關鍵詞】圓錐曲線；離心率；取值范圍；策略

策略一：利用曲線的定義

在考試時解決圓錐曲線有關問題常常與定義緊密聯系，有時候第二定義也會用上，往往會利用第二定義及焦半徑公式列出方程.然后根據的范圍將等式轉化為不等式，從而求解.這種利用的范圍將等式轉化為不等式求參數范圍的方法是解析幾何常用的方法.

例：雙曲線 的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

分析：

而雙曲線的離心率 ， 故選C.

策略二：利用曲線的幾何性質

考試時往往許多題用圓錐曲線的幾何性質來解題.例如，在橢圓中，一般地， 時動點 點在橢圓內部； 時 點有4個在橢圓上； 時 有2個在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個端點.

例：已知 是橢圓的兩個焦點，滿足 的點 總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

分析：由題， 的軌跡為以焦距為直徑的圓，由 總在橢圓內部，知： ，又 ，所以 故選C.

策略三：利用三角函數有界性

根據第一定義結合余弦定理將離心率轉化為角的函數，再利用三角函數求最值.

例：雙曲線 的兩個焦點為 ，若 為其上一點，且 ，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

分析：設 ， ，

當 點在右頂點處 ，

.

策略四：利用三角形三邊關系

利用三角形的特征，和焦點三角形相關的問題可以考慮用三角形三邊關系來建立不等式.

例：也可用三角形的三邊關系求解，但注意取等條件.

如圖，在 中

（后者在 與 重合時取等），

又 ，

則 且 ， .

策略五：利用二次函數的性質

當所求離心率轉化為某參數的二次函數（或類二次函數）時，可以利用二次函數的性質確定離心率的范圍。

例：設 ，則雙曲線 的離心率 的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

分析： .

，根據二次函數值域可得 .

參考文獻：

[1]書苗，如何求圓錐曲線中的離心率問題[N]；學知報；2010.

[2]馮寅，利用圓錐曲線定義解題的四大特征[J]；2007年2期，25-27.