王琴平
一、引言
牛頓第二定律是高一物理最重要的規律之一,它是聯系力學與運動學的重要橋梁。對于牛頓第二定律規律的教學,大部分老師都是把只它看做實驗規律,并要求同學們記住該結論,或默認它的正確性再采用控制變量法去驗證它。然而,這并不符合我們認識自然規律的一般過程。對于陌生的未知規律,它的呈現形式有多種可能性。對于未知的規律,我們往往是從經驗和已有認知的基礎上先對其進行合理的猜想,再通過數學邏輯推理或實驗的方法去驗證我們的猜想是否正確。
二、猜想與探究實驗
在闡述牛頓第二定律之前有兩個重要的探究實驗,第一個是探究加速度與質量的關系,第二個探究加速度與合外力的關系。從生活經驗的角度出發,我們很容易看出如果用相同的合外力分別啟動火車、汽車、摩托車,他們獲得的加速度不同,質量最小的摩托車獲得加速度最大,質量較大的火車獲得的加速度最小,因此我們猜想在合外力相同的情況下,加速度和質量成反比。對于同一種車,用不同大小的合力去啟動,合力越大,獲得的加速度越大,由此我們猜想,在質量不變的情況下,加速度和合力成正比。通過大量的實驗也驗證了我們猜想的正確性。
三、數學推理
然而,我們通過實驗驗證加速度a與質量m成反比,與合力F成正比后,我們并不是很輕易的可以得出a與F/m成正比的結論。從學生初中的數學知識儲備出發,加速度a與質量m成反比,可寫成數學表達ma=k1 ①(其中k1和m無關)
加速度與合外力成正比,可寫成數學表達a=k2 F ②
(其中k2和F無關)
聯立 ① ② 我們可以得到ma2=k1k2 F,a2=k1k2 F/m
似乎得到a2與F/m 成正比的結論,而與粵教版教材91頁中的a與F/m 成正比的結論相違背。難道是牛頓第二定律的結論錯了么?
牛頓第二定律沒錯,而是我們推導時容易忽視隱含信息,其中k1是和m無關,但卻是合力F的函數,在F一定的情況下,k1 才是確定的。而k2和F無關,但卻是m的函數,只有在m一定的情況下,k2才是確定的。因此,當m或F在變化的時候,k1k2 不再是與F/m無關的常數。因此不能得出a2與F/m 成正比的結論。那要怎樣就能得出a與F/m 成正比的結論呢?
生活經驗告訴我們加速度a是合外力F和質量m的二元函數,由此a=f(F,m),由實驗規律:在質量一定的情況下,加速度與合力成正比,我們可以得到a=g(m)F (g(m)是關于質量的函數,與F無關);
由實驗規律:在合力一定的情況下,加速度與質量成反比,我們可以得到:a=h(F)/m (h(F)是合外力的函數,與m無關);
由此我們得到 g(m)m=h(F)/F
方程左邊與F無關,式子右邊與m無關。
那么我們可以得出結論g(m)m=h(F)/F=k
(其中k是和m、F均無關的常數)
由此我們可以求出g(m)= k/m,h(F)=kF,因此a=kF/m
即加速度a與F/m 成正比,教材結論正確。