如何挖掘課本例習題的內在功能

翟志成

摘 要：高考源于課本而不拘泥于課本，教材上的例習題都是很典型的，要求教師不斷挖掘教材中例習題的多種功能，深化例習題教學，發揮例習題的內在潛能，以培養高素質的學生。

關鍵詞：挖掘；課本例題；功能

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-269-02

高考源于課本而不拘泥于課本，教材上的例習題都是很典型的，要求教師不斷挖掘教材中例習題的多種功能，深化例習題教學，發揮例習題的內在潛能，以培養高素質的學生。在全面推進素質教育的今天，教學中要對例習題進行全面合理的設計，面向全體學生，充分發揮例習題的內在潛能，不僅使學生聽懂，而且還要拓展學生數學思維，培養學生的創新能力。

心理學研究表明：人的認識總是由淺入深、由表及里、由具體到抽象、由簡單到復雜的。因而所設計的嘗試學習問題必須遵循人的認識規律，采取低起點、小步子、多訓練、快反饋的方法，使學生認識活動劃分為由易到難、由簡到繁的若干遞進層次，使學生逐步的多次的獲得成功，保護學生的旺盛的學習積極性，培養思維的深刻性。如在講橢圓的第一定義的應用時，可根據教材設計如下：

題組一（鞏固型題組，為熟悉基本知識、方法而設置）：

1、P95題2，如果橢圓 上一點P到焦點F 的距離等6，則點P到另一個焦點F 的距離是 ；

2、P96習題4，已知橢圓的標準方程為橢圓上的點。

（1）點M（4，2.4）與焦點的距離分別是 ， ；

（2）點M到一個焦點的距離等于3，則它到另一個焦點的距離等于 。

題組二（提高型題組，為提高運用知識，方法的能力而設置）

P93例1（2）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（0，-2）、（0，2），并且橢圓經過點 ，求橢圓的標準方程。

題組三（發展型題組，為使思維靈活變通、強化創新意識而設置）

1、P95題1，平面內兩個定點的距離等于8，一個動點M到兩個

定點的距離的和等于10。建立適當的坐標系，寫出動點M的軌跡方程；

2、P94例2，已知B、C是兩個定點， =6，且△ABC的周長等

于16，求頂點A的軌跡方程；

3、P128例1，一動圓與圓外切，同時與圓 內切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

對例習題由淺入深，層層遞進，環環相印，把思維逐漸引向深入，使學生在輕松中品嘗重重成功的喜悅，既掌握了基礎知識，也充分認識了問題的本質，訓練了學生數學思維。

一、探索例習題的非常規解法，培養思維的批判性

教師應注意深挖細琢例習題，尋找機會展示自己思維過程

提出新假設、新論斷，通過探求問題的非常規解法帶給學生意外的驚喜，以訓練學生思維的批判性。

如P15例1，求證：

常規解法是：因為 都是正數，所以為了證明，只需要證明，展開得即因為21成立，所以，即證明了。

很多學生對該解法只知其然，不知其所以然，甚至在獨立完成如時容易犯將該式兩邊平方的錯誤，為了避免這種情況，教師應引導學生用新方法，獨立地組織自己的思維進程，訓練學生的思維。

非常規解法是，學生驚喜之至，問題得到巧解，既補充和延伸了課堂教學，消除了學生的疑慮，排除了干擾，又培養了學生的質疑精神、科學的批判精神和鍥而不舍的學習精神，我們何樂而不為呢？

二、精選變式例習題，培養學生思維的廣闊性

課本教材往往只是研究問題的基本形式，并用與之相應的習題讓學生訓練，這樣即使把有關問題做遍了，也只能是把握問題的某個方向，因此，教師要挖掘例習題深層次的知識點，縱橫聯系，多角度地考慮問題，使思維呈現輻射狀展開，開闊視野，拓展思維。

已知 是圓C的直徑的兩個端點，求圓C的方程。

可作如下變式：

變式一：已知 是圓C上的兩點且圓心在x軸上，求圓C的方程；

變式二：若圓C過點A（3，2）且與直線x+y-3=0相切于點，求圓C的方程；

變式三：若圓C過點A（3，2）且與圓 相切于點，求圓C的方程。

學生解題的實質是基本問題的各種各樣的變化形式，對教材中的例習題進行變式，使之貌似原題，又不同于原題，并拾級而上，讓學生從不同角度、不同側面去思考和探索問題，加深對知識內涵、外延的理解，以求在變化中拓寬思想激發思維；使學生感到輕松、愉快，在學生的腦海中留下了深刻印象，既分清了問題的變化類型，又把所學知識系統地運用，從中獲得概括的知識，把握了基本題中所演生出的不同類型，使之從單一化、固定化模式中轉入多棱化、多角化和多面化模式，從而獲得上升性思維能力。

三、引導學生對例習題探究和猜想，培養思維創造性

在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、探索者。教師應該鼓勵學生大膽探究與猜想，深刻領悟新課程改革精神，認真研究教學要求，以學生為本，精心設計例習題，以培養學生的合作能力和創新素質為己任，給學生一片自主探索的天空，使學生的創新能力得到培養，個性品質得到和諧發展。

如P113練習題5，當漸近線方程為 時，雙曲線的標準方程一定是 嗎？如果不一定，舉出一個反例。

可點撥如下：

（1）的漸近線方程為 ，即；

（2）寫出一個漸近線方程為 的雙曲線方程（學生的答案大多數為 ）

（3）能否再寫出一個漸近線方程為 的雙曲線方程？（受教師的啟發，學生大膽探究，很快得另解為 ）

（4）漸近線方程為 的雙曲線方程可以統一用一個方程表示嗎？（學生紛紛發表自己的見解，得出答案就是

（5）還有更好的表示形式嗎？若有，找出它與漸近線方程的區別。

學生興奮到了極點，躍躍欲試，積極觀察、猜想，終于找出來了，即是漸近線方程為 的雙曲線方程為 。

學生如釋放重負，卻有一種成功的喜悅！思維創造性的火花也已點燃。這樣，在完成P114題2（4）求漸近線方程為 且經過 的雙曲線的標準方程時避免了討論，輕松多了，有一種得心應手的感覺。培養了學生的探索精神和猜想能力，讓學生的創新思維在實踐中得到鍛煉，在實踐中綻放出創新之花！