一類不連續廣義Lienard微分系統的極限環分支*

李時敏

(廣東財經大學數學與統計學院，廣東 廣州 510320)

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一類不連續廣義Lienard微分系統的極限環分支*

李時敏

(廣東財經大學數學與統計學院，廣東 廣州 510320)

利用不連續微分系統的一階平均法，研究從一類廣義Lienard微分系統中心的周期環域分支出極限環的最大個數問題。通過對該系統的中心進行分段連續的多項式擾動，得到了該系統從中心的周期環域分支出極限環最大個數的線性估計。結果表明：不連續Lienard微分系統比其對應的連續微分系統可以分支出更多的極限環。

極限環；Lienard微分系統；不連續微分系統； 平均法

微分系統定性理論的一個主要問題是研究平面微分系統的極限環問題[1]。例如，眾所周知的希爾伯特第16問題就是考慮平面多項式微分系統的極限環個數問題[2]。由于該問題十分困難， Smale[3]僅考慮平面Lienard微分系統，并將其列為21世紀需要解決的重要問題之一。Lienard微分系統在科學以及工程的許多分支都有著廣泛的應用[4]。

近年來，隨著現實生活中出現許多不連續現象，越來越多的數學工作者開始研究不連續微分系統的分支問題[4]。鑒于不連續微分系統的重要性，本文討論如下不連續廣義Lienard微分系統：

(1)

其中

(2)

記H(l,n,m)為利用一階平均法， 不連續廣義Lienard微分系統(1)從原點的周期環域分支出極限環的最大個數。目前已有許多文獻對某些特殊情形進行了討論，列舉如下：

(i) 若fn(x)≡0，文[5]證明了

H(0,0,m)=[(m-1)/2],H(1,0,m)=[m/2],H(2,0,m)=[(m-1)/2]

并且猜測H(l,0,m)=[(m+1-l)/2],l=3,4,5,…。其中[]表示取整函數。

(ii) 若l=0，文[6]得到H(0,n,0)≥[n/2]。文[7]得到H(0,n,m)=[n/2]。

(iii) 若l=1,m=1，文[8]中得到H(1,n,1)≥[n/2]+1。

利用不連續微分系統的一階平均法定理[9]，本文考慮了系統(1)從原點的周期環域分支出極限環的最大個數問題。我們的主要結果如下：

定理1 當|ε|>0充分小，考慮系統(1) ，

(i) 若l為奇數，則H(l,n,m)≤max{2[n/2]+1,2[m/2]}。特別地,

(ii) 若l為偶數，則H(l,n,m)≤max{[n/2],[(m-1)/2]}。特別地,

注1 文獻[7]中已經證明了H(0,n,n)=[n/2]。由定理1的結論(i)，我們可以得到H(1,n,n)=2[n/2]+1。結果表明 不連續Lienard微分系統(1) (l=1)比其相應的連續系統(l=0)可以從原點的周期環域多分支出[n/2]+1個極限環。當然，我們的結論是建立在現有的結果之上。

1 不連續微分系統的一階平均法

在這部分里，我們將介紹文[9]中的不連續微分系統的一階平均法定理。值得注意的是，原文中考慮的是不連續微分方程組。由于本文只涉及單個微分方程，簡單起見，我們僅介紹單個微分方程的一階平均法。粗略地說：平均法給出了非自治微分系統與其相應的平均系統(自治微分系統)解之間的定性關系。有關平均法的一般介紹，可以參考文[10]。

考慮如下不連續微分方程

(3)

其中

(4)

且F1,F2:R×D→R,G1,G2:R×D×(-ε0,ε0)→R,h:R×D→R均為連續函數。D?R為開區間。這些函數均關于變量θ為2π的周期函數。sign(u)為符號函數，定義如下：

定理2 考慮微分方程(3)，定義平均函數f:D→R如下

(5)

假設滿足以下三個條件：

(i)F1,F2,R1,R2和h均關于r滿足局部李普希茲條件。

(iii) 若?h/?θ≠0，則對所有的(θ,r)∈M，有?h/?θ≠0；若?h/?θ≡0，則對所有的

(θ,z)∈[0,2π]×Μ有〈▽rh,F1〉2-〈▽rh,F2〉2>0，其中▽rh表示函數h關于變量r的梯度。則當|ε|>0充分小，系統(3)存在一個周期為2π的解r(θ,ε)，使得當ε→0時，r(0,ε)→a(在Hausdorff度量意義下)。

為了方便驗證定理2的假設(ii)，我們給出下面的注記。

由定理2和注2 可知，若微分系統(3) 滿足定理2 中的假設(i)和(iii)，則由式(5)定義的平均函數f(r)的簡單零點個數對應微分系統(3)的極限環個數。下面我們開始推導平均函數(5)的具體表達式。

2 平均函數

(6)

其中

(7)

將式(7)代入式(5)，得到平均函數

(8)

其中

(9)

由于

(10)

(11)

根據定理2，需要計算平均函數(11)簡單零點的個數。我們分以下兩種情況來討論：

2.1l為奇數

命題1 若l為奇數，則平均函數(11)為

(12)

其中

(13)

因此

類似地，當θ∈(kπ/l,(k+1)π/l)時，

(14)

將式(14)代入式(9)中第二式，有

(15)

顯然B2j+1=0。由式(15)可得

2.2l為偶數

命題2 若l為偶數，則平均函數(11)為

(16)

其中

(17)

因此

(18)

將式(18)代入式(9)中第二式，有

(19)

顯然B2j=0。由式(19)可得

3 定理1的證明

在估計平均函數零點個數的過程中， 我們需要用到如下引理：

定理1的證明 首先考慮情形(i)。

情形(ii)同理可證。

[1] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，等. 微分方程定性理論[M]. 北京：科學出版社，1985.

[2] LI J. Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields [J]. Int J Bifurcation and Chaos, 2003, 13: 47-106.

[3] SMALE S. Mathematical problems for the next century [J]. The Mathematical Intelligence, 1998, 20: 7-15.

[4] BERNARDO M, BUDD C, CHAMPNEYS A, et al. Bifurcations in nonsmooth dynamic systems [J]. SIAM Review, 2008, 50: 629-701.

[5] LLIBRE J, TEIXEIRA M. Limit cycles form-piecewise discontinuous polynomial Lienard differential equations [J]. Z Angew Math Phys, 2015, 66(1): 51-66.

[6] BLOWS T, LLOYD N. The number of small-amplitude limit cycles of Lienard equations [J]. Math Proc Camb Phil Soc, 1984, 95: 359-366.

[7] LLIBRE J, MEREU A, TEIXEIRA M. Limit cycles for the generalized polynomial Lienard differential equations [J]. Math Proc Camb Phil Soc, 2010, 148: 363-383.

[8] MIRANDA M, MEREU A. Limit cycles in discontinuous classical Lienard equations [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2014, 20: 67-73.

[9] LLIBRE J, NOVAES D, TEIXEIRA M. On the birth of limit cycles for non-smooth dynamical systems [J]. Bull Sci Math, 2015, 139: 229-244.

[10] SANDERS J, VERHULST F. Averaging methods in nonlinear dynamic systems [M]. New York: Springer-Verlag, 1985.

[11] BUICA A, LLIBRE J. Averaging methods for finding periodic orbits via Brouwer degree [J]. Bull Sci Math, 2004, 128: 7-22.

[12] COLL B, GASULL A, PROHENS R. Bifurcation of limit cycles from two families of centers [J]. Dyn Contin Diccrete Impulse Syst, Ser A, Math Anal, 2005, 12: 275-287.

Bifurcation of Limit Cycles for a Class of Discontinuous Generalized Lienard Differential System

LIShimin

(School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320, China)

Using the first order averaging method for discontinuous differential system, the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of the center for a class of generalized Lienard differential system is studied. By piecewise smooth polynomial perturbating, the linear estimation of the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of this center is obtained. The result shows that there are more limit cycles which can bifurcate from the discontinuous Lienard differential system than the continuous one.

limit cycle; Lienard differential system; discontinuous differential system; averaging method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.004

2015-03-21

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11401111)

李時敏(1983年生)，男；研究方向：常微分方程及其應用；E-mail:lism1983@126.com

0175

A

0529-6579(2015)05-0015-05