具有Banach代數的錐度量空間上擬壓縮映射的新不動點定理*

許紹元，馬 超，周作領

( 1. 韓山師范學院數學與統計學系, 廣東 潮州 521041；2. 澳門科技大學資訊科技學院，中國 澳門；3. 中山大學嶺南學院, 廣東 廣州 510275)

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具有Banach代數的錐度量空間上擬壓縮映射的新不動點定理*

許紹元1，馬 超2，周作領3

( 1. 韓山師范學院數學與統計學系, 廣東 潮州 521041；2. 澳門科技大學資訊科技學院，中國 澳門；3. 中山大學嶺南學院, 廣東 廣州 510275)

以Banach代數取代Banach空間作為錐度量空間的底空間，引入具有Banach代數的錐度量空間，在正規性條件下已經得到了關于擬壓縮映射的不動點定理。刪去正規性條件，利用c-序列理論同樣得到了擬壓縮映射的不動點存在唯一性，主要結果改進和推廣了相關文獻的一些結論。

具有Banach代數的錐度量空間；非正規錐；不動點定理；擬壓縮映射；c-序列

設(X,d)為完備度量空間。映射T:X→X稱為一個擬壓縮映射(簡稱擬壓縮), 如果存在k∈(0,1)，對任意x,y∈X, 總有

d(Tx,Ty)≤kmax{d(x,y),d(x,Tx),

d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}

Ciric[1]引入此定義并且將它作為更廣泛的一類壓縮映射進行研究。他證明了一個著名的結果：完備度量空間上任意擬壓縮映射必有唯一的不動點。2007年，Huang等[2]引入錐度量空間，推廣了通常的度量空間。近年來, 一些作者在錐度量空間中研究擬壓縮映射，得到了一些重要結果，見文[3-7]。

最近, 劉浩等[8]引入具有Banach代數的錐度量空間，在正規性的條件下得到了關于擬壓縮映射的不動點定理。本文則刪去了文[8]中正規性條件，利用c-序列理論同樣得到了擬壓縮映射的不動點存在唯一性，其主要結果改進了和推廣了相關文獻的一些結論。

自錐度量空間提出后，一些作者就映射的不動點存在性研究了錐度量空間是否等價于度量空間的問題，見文[9-12]。正如文[13]所言, 我們可以斷言具有 Banach 代數A的錐度量空間(X,d)并不等價于度量空間(X,d*), 這里的距離d*定義為d*=ξe°d, 其中非線性參數函數[9-10]ξe:A→R(e∈intP) 定義為

ξe(y)=inf{r∈R:y∈re-P}

因此，本文進一步研究無正規條件下的錐度量空間中擬壓縮映射的不動點定理是有意義的。

1 預備知識

以下總假A為實 Banach 代數, 即A是具有乘法運算的實 Banach 空間, 其運算具有如下性質(對任意x,y,z∈A,α∈R)：

(i) (xy)z=x(yz);

(ii)x(y+z)=xy+xz以及(x+y)z=xz+yz; (iii)α(xy)=(αx)y=x(αy);

本文總假設實 Banach 代數A具有單位元 (即乘法單位元)e，它滿足對任意x∈A均有ex=xe=x。一個元素x∈A稱為可逆的，如果存在一個元素(稱為它的一個逆元)y∈A使得xy=yx=e。x的逆元記為x-1，詳見文[14]。

下面的著名結論在本文中是十分有用的(見文[14])。

命題1 設A是具有單位元e的 Banach代數,x∈A。若x的譜半徑ρ(x)小于1, 即

則e-x是可逆的，并且有

下面回顧Banach代數中的錐和半序的概念。Banach代數A中一個子集P稱為一個錐，若滿足下列條件：

(ii)αP+βP?P對任意非負實數α,β均成立；

(iii)P2=PP?P；

(iv)P∩{-P}={θ}，

其中θ為Banach代數A中的零元。對于錐P?A, 定義半序≤如下：x≤y當且僅當y-x∈P;x

錐P稱為正規的，如果存在M>0使得對任意x,y∈A, 有

滿足上述條件的最小正數M稱為P的正規常數[2]。

下文我們假定P為 Banach代數A中的體錐 (即滿足intP≠?。并且≤是由P確定的半序。

定義 1[2,8,13]設X為非空集。若映射d:X×X→A滿足

(i)θ≤d(x,y)對任意x,y∈X成立并且d(x,y)=θ當且僅當x=y=θ;

(ii)d(x,y)=d(y,x)對任意x,y∈X成立；

(iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)對任意x,y,z∈X成立，

則d稱為X上的一個錐距離, (X,d)稱為具有Banach代數A的錐距離空間。

定義 2[2,8,13]設(X,d)為具有Banach代數A的錐距離空間,x∈X且{xn}為X中的序列。則

(ii) 稱{xn}為Cauchy列, 若對任意滿足θ?c的向量c∈A, 存在正整數N使得d(xn,xm)?c對任意n,m≥N成立。

(iii) (X,d)稱為完備的錐距離空間, 若(X,d)中任意Cauchy列在(X,d)中都收斂。

下面給出兩個有用的引理。

引理1[15-16]設E為具有體錐P的Banach空間。若θ≤u?c對任意θ?c成立, 則u=θ。

下面給出具有 Banach 代數的錐距離空間中擬壓縮映射的定義。

定義 3[8]設(X,d)為具有Banach代數A的錐距離空間。 映射T:X→X稱為擬壓縮, 如果對于任意滿足ρ(k)<1的k∈P以及x,y∈X有

d(Tx,Ty)≤ku

(1)

其中

2 主要結果

本節將刪去文[8]中所要求正規性條件, 利用c-序列理論得到了具有Banach代數的錐距離空間中擬壓縮映射的不動點定理。

我們要用到如下的c-序列的有關結論。

定義 4[17-18]設P為Banach代數A中的體錐。序列{un}?P稱為c-序列, 如果對任意θ?c, 存在正整數N使得un?c對任意n≥N成立。

利用c-序列的定義不難得到如下簡單的結論。

命題 2[17,19]設P為Banach代數A中的體錐,{un}和{vn}均為P中的序列。 若{un}和{vn}都是c-序列且α,β>0, 則{αun+βvn}也是c-序列。

除了上述命題2外, 下列幾個命題在本文主要結果的證明中是至關重要的。

命題 3[19]設P為Banach代數A中的體錐, {un}為P中的序列。若k∈P是任意給定的向量且{un}是c-序列, 則{kun}也是c-序列。

命題 4[19]設(X,d)為具有Banach代數A的錐距離空間且P為A中的體錐。 設{xn}為X中的序列。若{xn}收斂于x∈X, 則

(i) {d(xn,x)}是c-序列。

(ii) 對任意p∈N, {d(xn,xn+p)}也是c-序列。

下面給出本文的主要的結果。

定理1 設(X,d)為具有Banach代數A的完備的錐距離空間,k∈P。若映射T:X→X為擬壓縮, 滿足條件(i), 則T在X中有唯一的不動點。并且對任意的x∈X, 迭代序列{Tnx}收斂于該不動點。

證明 任意選取x0∈X, 記xn=Tnx0。首先證明

d(xi,xj)≤k(e-k)-1d(x0,x1),?i,j≥1 (2)

(2)式的證明與文[8, 引理10]中的(7)式一致, 這是因為文[8, 引理10]中的(7)式的證明不需要使用正規性條件。

下證{xn}是 Cauchy 列。

對任意 1

由擬壓縮的定義, 對任意u∈C(m,n), 存在v∈C(m-1,n), 使得u≤kv。于是，

這里

其中最后的不等式由(2)式得到。

由引理2以及

d(xn,xm)≤km(e-k)-1d(x0,x1)?c

故{xn}是Cauchy列。

其次證明不動點的存在性。

由(X,d)的完備性, 存在x*∈X使得xn→x*。于是，

其中

若u=d(xn-1,x*),d(xn-1,xn)或u=d(x*,xn), 則分別有

若u=d(x*,Tx*), 則

于是

若u=d(xn-1,Tx*), 則

考慮到(e-k)-1≥θ，于是有

因此, 無論哪種情形, 由定義4和命題2-4，有d(x*,Tx*)≤yn, 其中{yn}是錐P中c-序列。于是, 對任意θ?c,有θ≤d(x*,Tx*)?c。因此, 由引理1有d(x*,Tx*)=θ, 故x*為T的不動點。

最后證明不動點的唯一性。證明方法同文[8, 定理 9 ]。

注2 與文 [8, 定理9]相比, 本文定理1不需要錐P的正規性條件, 因此定理1改進和推廣了文[8, 定理9]。

d(Tx,Ty)≤ku

有

于是有

注4 在定理1中令A=R,P=[0,+∞), 則利用通常的范數我們可以得到文[1]的主要結果, 即完備度量空間中的Ciric 壓縮映射不動點定理。這表明定理1推廣了文[1,15]的主要結論。

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A New Fixed Point Theorem of Quasi-Contractions on Cone Metric Space

XUShaoyuan1,MAChao2,ZHOUZuoling3

(1. School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal College, Chaozhou 521041, China;2. Faculty of Information Technology, Macao University of Science and Technology, Macao, China;3. School of Lingnan, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

By replacing Banach spaces by Banach algebras as the underlying spaces of cone metric spaces, the concept of cone metric spaces with Banach algebras has been introduced. And a fixed point theorem of quasi-contractions with the assumption of normality has been proved. By omitting the assumption of normality and utilizing the theory ofc-sequence, the existence and uniqueness of the fixed point for the quasi-contractions is obtained in the setting of cone metric spaces with Banach algebras. As a consequence, the corresponding result in the literature is improved and generalized.

cone metric spaces with Banach algebras; non-normal cones; fixed point theorems; quasi-contractions;c-sequence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.001

2015-01-16

國家自然科學基金資助項目(11371379)；澳門科學技術發展基金資助項目(069/2011/A) ；韓山師范學院2013年創新強系資助項目

許紹元(1964年生)，男；研究方向：非線性分析與分形幾何； 通訊作者：馬超;E-mail:cma@must.edu.mo

O177.91

A

0529-6579(2015)05-0001-04