四元數射影空間中全實偽臍子流形的注記

周俊東，黃 瑞

(阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037)

四元數射影空間中全實偽臍子流形的注記

周俊東，黃 瑞

(阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037)

該文研究了四元數射影空間中的緊致全實偽臍子流形, 計算了子流形的第二基本形式模長平方的Laplacian, 得到一個關于Ricci曲率的Pinching定理和子流形上的一個Simons型積分不等式。

四元數射影空間;偽臍子流形;Ricci曲率

具有常四元數截面曲率c的四元數黎曼流形被稱為四元數空間形式。若c>0,我們稱之為四元數射影空間, 記為QP(c)。設Mn是等距浸入在四元數射影空間QP(c)中的子流形, 若Mn上每個2維切空間被映射成QP(c)中的全實平面, 則稱Mn是全實子流形. 關于四元數射影空間中的子流形的研究已經取得許多成果[1-8]。

1 預備知識

IJ=-JI=K,JK=-KJ=I,KI=-IK=J,I2=J2=K2=-Id。

e1,...en,en+1,...,en+p;eI(1)=Ie1,...,eI(n+p)=Ien+p;eJ(1),...,eJ(n+p);eK(1),...,eK(n+p)。

當標架場限制在Mn上時,{e1,...en}是Mn上切向量場,Mn上法向量場為

{en+1,...,en+p;eI(1),...,eI(n+p);eJ(1),...,eJ(n+p);eK(1),...,eK(n+p)}。設TMn,T⊥Mn分別為Mn的切空間和法空間, 記V=φ(TMn), 顯然V是T⊥Mn中的3n維的子空間, 可選取{eI(1),...,eI(n);eJ(1),...,eJ(n);eK(1),...,eK(n)},為V的基向量場。以V⊥表示T⊥Mn中V的正交補空間, 選取{en+1,...,en+p,eI(n+1),...,eI(n+p),eJ(n+1),...,eJ(n+p),eK(n+1),...,eK(n+p)}為V⊥的基向量場.本文采用下面的指標約定：

A,B,C,…=1,...,n+p,I(1),...,I(n+p),J(1),...,J(n+p),K(1),...,K(n+p);i,j,k,…=1,...,n;α,β,γ,...,=n+1,...,n+p,I(1),...,K(n+p);φ,ψ=I,J,K。

其中

(1)

其中Rijkl是Mn的曲率張量。Mn的Gauss-Codazzi-Ricci方程為

Mn上沿ei方向的Ricci曲率

(2)

引理1[10]設A1,...,Am(m≥2)為對稱n階矩陣。則

局部對稱流形中子流形關于S的Laplacian(參看文獻[1],[6],[9])

(3)

2 主要定理與證明

(ii)當n≥4,Ric(Mn)≥(n-2)(1+H2)時,Mn是全臍的。

證明 由于平均曲率向量ξ∈C∞(V⊥), 所以φ(ξ)總是法于Mn, 不失一般性, 可以選取en+1∥ξ, 又由于Mn是偽臍的, 所以

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

設q是Mn上Ricci曲率的下確界,由Gauss公式和(4)式可得

(11)

對(11)式中的i求和可得

τ≤n[(n-1)(1+H2)-q]

(12)

(13)

進一步由Cauchy-Scharz不等式得到:

(14)

另外我們有

(15)

并將(5)-(10)和(14), (15)代入(3)式計算可得

(16)

(i)當2≤n≤3,時,由(16)式得到

+[n+nH2-4(n-1)(1+H2)+4q]τ

(17)

因此以上不等式中的等號成立, 特別(17)式等號成立, 則有τ=0,Mn是全臍的。

(ii)當n≥4,時, 把(12)式代入(16)式得到

eI(1)∥ξ, 又由于Mn是偽臍的, 所以

(18)

由(1)和(18)直接計算出

(19)

(20)

(21)

(22)

由于Mn是偽臍的, 由引理1和(18)式可得

(23)

類似定理1的方法, 把(19)-(23)式代入(3)式, 再由Green公式, 即得到積分不等式。

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Notes on totally real pseudo-umbilical submanifolds in quaternion projective spaces

ZHOU Jun-dong , HUANG Rui

(SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037,China)

This paper studied totally real pseudo-umbilical submanifolds in a quaternion projective space. the Laplacian of the squared length of the second fundamental form was computed to obtain a pinching theorem on the Ricci curvature and a Simons' integral inequality.

quaternion projective space; pseudo-umbilical submanifold; Ricci curvature

2014-08-28

安徽省高等學校省級自然科學研究項目(KJ2014A196，2014KJ002)；阜陽師范學院科研項目(2014FSKJ12 )；安徽省高等學校省級教學研究項目(2013jyxm553)；阜陽師范學院教研項目(2014FSKJ12)資助。

周俊東(1983-)，男，碩士，講師，研究方向：微分幾何。

O186.1

A

1004-4329(2015)03-001-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-001-04