電介質復介電常數的教學和實驗

劉宏偉，尹麗娟

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206)

0 引言

在“工程電磁場”的時諧電磁場部分教學中，利用復數形式的麥克斯韋爾方程，通過推導得到了電介質復介電常數和介質損耗角等物理概念。但絕大多數學生很難理解復介電常數的物理意義，而在教材中由于篇幅所限也沒有對這方面的內容做詳細地闡述。

本文從時諧電磁場情況下電介質的電極化物理過程出發，通過理論推導，建立了介質損耗與復介電常數的關系。在此基礎上，以電容器為例，得到了時諧場情況下的等效電路，進一步得到電介質的復介電常數實部和虛部與頻率的關系，并指導本科生測量了電介質的介質損耗角正切，得到了復介電常數的頻率特性。實踐表明，學生通過該過程的理論學習和實驗，能夠較好地理解復介電常數這一重要的物理概念，同時為加強工程電磁場實驗教學內容作了一次嘗試。

1 理論推導

介電常數，又稱電容率，是電位移矢量D與電場強度E之比，其單位為F/m。在靜電場下測得的介電常數稱為靜態介電常數。在交變電場作用下，因為電介質的極化強度是電子位移極化、離子位移極化和固有偶極矩取向極化三種極化機制的和。當電介質開始受靜電場作用時，要經過一段時間后，極化強度才能達到相應的數值，這個現象稱為極化弛豫，所經過的這段時間稱為弛豫時間[1]。電子位移極化和離子位移極化的弛豫時間很短(電子位移極化的弛豫時間比離子位移極化的還要短)，取向極化的弛豫時間較長，所以極化弛豫主要是取向極化造成的。當電介質受到交變電場的作用時，由于電場不斷在變化，所以電介質中的極化強度也要跟著不斷變化，即極化強度和電位移均隨時間作周期性的變化。如果交變電場的頻率足夠低，取向極化能跟得上外加電場的變化，這時電介質的極化過程與靜電場作用下的極化過程沒有多大的區別。由于電場不斷變化，電矩隨之不斷變化而互相碰撞、摩擦引起損耗。如果交變電場的頻率足夠高，電介質的極化就會跟不上外電場的變化而出現滯后，即弛豫現象，那么D與E之間就會存在相位差，導致介電常數為一個復數。

所謂介質損耗，就是在某一頻率下供給介質的電能，其中有一部分因強迫固有偶極矩的轉動而使介質變熱，即一部分電能以熱的形式而消耗。下面從電磁場理論角度做進一步推導。

若作用在電介質上的交變電場為

由于極化弛豫，電極化強度矢量P和D都將落后與電場E，設滯后角為δ，則D可寫為

其中，D1=D0cosδ，D2=D0sinδ

復數形式的電場強度和電位移矢量為

由式(4)可見，介電常數是一個復數。實部和虛部都與滯后的角度有關。在不同的頻率下，滯后的角度也不相同，因而復介電常數是角度的函數，因而也是頻率的函數。對于大多數電介質材料，D和E成正比，不過比例系數不是常數，而是與頻率有關。并有

為了反映這個情況，引入兩個與頻率有關的介電常數:

當頻率趨近于零時，極化不出現滯后，這時相角δ=0°。由此可見，當頻率接近于零時，ε1(ω)就接近于靜態介電常數。下面證明在介質中以熱的形式所消耗的能量與ε2(ω)有關。以電容器為例，因為電容器中的電流強度為

其中，σ為電容器板上的自由電荷面密度。在單位體積內電介質所消耗的平均功率為

可見，能量損失與sinδ成正比。因此，sinδ稱為損耗因子;因為當δ很小時，sinδ≈tanδ，所以有時也稱tanδ為損耗因子。

因為介質損耗與電場強度的頻率、溫度以及極化機制等都有關系，是一個比較復雜的問題。介質損耗大的材料，做成元件質量也差，有時甚至不能使用。所以介質損耗的大小是判斷材料性能的重要參數之一。但要注意在某一頻率范圍的介質損耗小，并不等于在所有頻率范圍內的介質損耗都小。

2 電容器在時諧電場中的等效電路

本文以電容器為例，建立電容器在時諧電場中的等效電路來研究復介電常數與介質損耗的關系。對于真空中電容量為C0的理想電容器，如圖1的理想電容器上加角頻率為ω的正弦波交變電壓時，流過的電流為=jωC0。而理想電容器只是一種假設，實際的電容器中通常充滿電介質，且電介質會存在泄漏電流，則有[2]，

圖1 理想電容器圖

圖2 充滿電介質的電容器

并聯等效電路描述了由電介質的漏電流和復介電常數虛部引起的損耗。當頻率不太高時，介質的微弱電導產生的漏電流在損耗中占主要地位。在一般情況下，兩種損耗機制都起作用，如圖3所示。電導率等效的介電常數虛部σ/ω，隨頻率增大而下降，說明高頻時，電介質極化產生的介質損耗逐漸占主導地位，與圖3左部趨勢一致。在圖3右部中，低頻時虛部趨于零，在某一頻率達最大，該曲線對應極化損耗，其最大點一般對應某些偶極子微觀運動的諧振頻點。從實驗中所測出的復介電常數的頻率關系可以看出哪一種損耗機制是起主要作用的。

圖3 ε1和ε2與頻率的關系

3 實驗驗證

在理論推導的基礎上，我們指導本科生測量了平板電容器的電容和介質損耗角正切，進一步得出電介質的復介電常數實部和虛部與頻率的關系。由于介質的各種極化機制在不同的頻率范圍有不同的響應，且不同頻率下產生不同的電導率，所以介質的介電常數和介電損耗都是隨頻率的變化而變化的。

實驗采用的電容器極板為圓形，直徑為A，取20cm，極板間距d為3.4mm。則相對介電常數可由下式求出

采用TH2816寬頻LCR數字電橋測量電容器的電容和介質損耗角正切，該儀器的測量范圍可達107Hz，電容器用可以容易獲得的打印紙作為電介質，相對介電常數為2.5(靜態值)。實驗中可以直接得到C和tanδ，由式(15)求得復介電常數的實部，由εr2=εr1×tanδ進一步可求得虛部。實驗結果如圖4所示，由圖可見εr1為2.5，且隨著頻率幾乎不變，這從一方面驗證了該介質的靜態相對介電常數為2.5;另一方面隨著頻率增加，略微偏離2.5的實驗結果說明介質損耗角比較小。圖中εr2隨著頻率的增加而下降，說明由電導率引起的介電常數虛部起的作用逐步減小，而主要是與介質極化對應的虛部起作用。實驗結果和曲線趨勢與理論基本吻合。

圖4 相對復介電常數與頻率的關系

4 結語

本文針對復介電常數的物理概念，以及介質損耗與復介電常數的關系，通過理論推導和實驗研究得出了復介電常數的實部、虛部與頻率的關系。實踐表明，以上工作不僅加強了學生對復介電常數的理解，達到了教學研究的目的。而且關于電介質復介電常數的測量可以作為工程電磁場課程實驗教學的一個新內容。

[1]殷之文，《電介質物理學(第二版)》[M]，北京:科學出版社，2003

[2]倪光正，《工程電磁場原理(第二版)》[M]，北京:高等教育出版社，2009

[3]張三慧，《電磁學(第二版)》[M]，北京:清華大學出版社，1999