多軸數控機床轉臺幾何誤差辨識新方法

馮 剛，付國強，孫 磊，傅建中

（1.浙江工業職業技術學院 浙江 紹興312000；2.浙江大學 機械工程學院 浙江 杭州310027）

隨著制造業的快速發展，五軸數控機床的作用越來越明顯.五軸數控機床的2個旋轉軸可以提高機床切削率，降低切削時間，減少工件裝夾次數［1］.機床精度是機床重要參數之一，直接影響加工工件質量.影響機床精度的因素有多種，其中幾何誤差和熱誤差占60%左右［2］.機床幾何誤差建模與補償成為提高機床精度的重要途徑之一.

機床幾何誤差模型是誤差補償的基礎，多體理論是進行誤差建模的依據［3-5］.指數積理論可建立機床的幾何誤差模型［6］，直角坐標系之間的微分變換關系也是進行建模的手段之一［7］.幾何誤差項的辨識是誤差建模的基礎.旋轉軸幾何誤差項的辨識是五軸數控機床建模與補償的關鍵步驟之一，國內外學者提出了很多辨識方法［8-10］.Tsutsu等［11］采用三軸同步運動的方法保持球桿儀方向相對于測量旋轉軸坐標系不變來辨識旋轉軸特有的位置和角度偏差.Zargarbashi等［12］采用A 軸單獨運動形式設計5個球桿儀測量路徑根據得到的球桿儀讀數模型來辨識得到A 軸的5項幾何誤差.Lee等［13］根據幾何誤差項性質采用參數化形式表示旋轉軸誤差項，提出5種測量模式來辨識相應參數.Lee等［14-15］針對每個旋轉軸設計2種測量路徑用球桿儀辨識垂直度誤差和位置偏差，并考慮球桿儀安裝誤差的影響.Zhang等［16］用球桿儀和高度調節裝置設計出不同水平面上的2條測量路徑來辨識C 軸的五項幾何誤差.但是得到的五項幾何誤差為恒定值，與誤差性質不符.Chen等［17］構建矩陣形式的辨識模型，并在3個不同測量點的球桿儀讀數來辨識6 項幾何誤差，并通過4個特殊路徑得到球桿儀在轉臺上的安裝誤差.

每個旋轉軸應包含6項基本幾何誤差、2 項垂直度誤差和2項位置誤差.這些辨識方法可以得到旋轉軸部分幾何誤差項，為進一步研究提供了依據.然而沒有一種方法可得到旋轉軸的全部幾何誤差項.大部分方法采用三軸同步運動來運行測量路徑，測量過程中會引入線性軸的誤差，影響辨識精度，且同步運動軸的不同步誤差也會影響精度.

針對這些問題，本文針對轉臺（C 軸）幾何誤差項提出了一種系統性辨識方法.該方法只需C 軸單獨旋轉，能夠得到C 軸的10項幾何誤差.首先結合球桿儀方向向量得到C 軸幾何誤差項與球桿儀讀數關系.其次提出基于球桿儀的六步驟測量法，來辨識10項幾何誤差.分析了球桿儀安裝誤差對辨識精度的影響并采用數據擬合的方法消除其影響.接著仿真驗證了六步驟測量法的正確性.最后通過實驗驗證該方法的有效性和正確性.

1 轉臺測量的球桿儀讀數模型

在球桿儀測量時一端安裝在主軸刀柄上，稱為刀具球，另一端固定在轉臺上稱為工件球.轉臺旋轉時，其幾何誤差會使得球桿儀長度發生變化.根據轉臺誤差齊次矩陣和球桿儀初始位置可以得到球桿儀刀具球和工件球在轉臺坐標系下的坐標，從而得到球桿儀讀數與轉臺幾何誤差之間的關系.

轉臺（C 軸）的6項基本幾何誤差包含3項線性誤差和3項轉角誤差，如圖1 所示.δxc、δyc、δzc分別表示x、y、z方向的線性誤差，εxc、εyc和εzc分別表示繞x、y、z軸的轉角誤差.C 軸2項垂直度誤差分別為C 軸和X 軸之間的Scx和C 軸和Y 軸之間的Scy，2項位置偏差分別為x 方向的ocx和y 方向的ocy.那么轉臺的誤差齊次矩陣可表示為［18］

式（1）表示垂直度誤差可視為為恒定值轉角誤差，位置偏差可作為線性誤差一部分，那么根據該性質，為了方便可先不考慮垂直度誤差和位置誤差的影響.C 軸理想齊次轉換矩陣可表示為

當轉臺單獨旋轉時，平動軸和其他旋轉軸都是保持靜止的，那么它們幾何誤差項對球桿儀讀數沒有影響，即平動軸和其他旋轉軸的幾何誤差在這里忽略不計，球桿儀刀具球在轉臺坐標系下的齊次坐標可表示為

圖1 轉臺6項基本幾何誤差示意圖Fig.1 Six basic geometric error components of turntable

式中：x、y、z表示刀具球在機床參考系下的初始坐標值.

工件球固定在轉臺上，隨轉臺一起運動，工件球的齊次坐標是保持不變的，可表示為

球桿儀讀數與2個球坐標之間的關系可通過球桿儀方向向量建立起來，球桿儀方向向量表示在轉臺坐標系下，工件球指向刀具球的單位向量，代表了球桿儀可以測量該方向上的綜合誤差.那么球桿儀讀數可表示為

式中：R 為球桿儀公稱長度，ΔR 為球桿儀長度變化量，V ＝［vx，vy，vz，0］T，vx、vy、vz分別為球桿儀方向向量在x、y 和z 方向上的分量.那么球桿儀讀數模型可通過式（3）表示為

因為球桿儀方向向量為單位向量，式（4）又可以表示為

2 轉臺幾何誤差辨識

用球桿儀測量旋轉軸幾何誤差時，球桿儀路徑是圓或者圓弧.對于轉臺來說，它的旋轉軸線可根據機床結構輕易定位得到，這樣轉臺的單獨旋轉就可以完成球桿儀的測量辨識.根據轉臺單獨運動時球桿儀讀數與轉臺幾何誤差的關系，提出了六步驟測量法.如圖2所示表示了六步驟測量法中每個步驟球桿儀的安裝位置.這些球桿儀的安裝時很簡單的，其位置也沒有特殊要求，可以很容易的定位得到，這樣就大大的提高了測量的效率.按照六步驟測量法得到各個步驟中相應的球桿儀讀數，可辨識得到轉臺的幾何誤差項.這六步驟可辨識得到轉臺所有的10項幾何誤差項.

2.1 六步驟測量法

根據每個步驟中球桿儀的方向向量和位置，結合球桿儀讀數與幾何誤差之間的關系可得到相應幾何誤差項的辨識公式.為了方便，根據式（1）可先不考慮垂直度誤差和位置誤差的影響.下面對每個步驟進行分析以得到幾何誤差辨識公式.

圖2 六步驟測量法中球桿儀的安裝位置Fig.2 Installation of ballbar in six-step measurement

如圖2所示，步驟1和2的球桿儀刀具球初始位置在轉臺旋轉軸線上，且球桿儀均位于轉臺坐標系的x 軸方向，但是刀具球z向高度有所區別.那么刀具球的初始位置坐標可表示為［0，0，z］.那么根據式（2）可得到球桿儀刀具球相對于轉臺的齊次坐標為

球桿儀工件球與刀具球在同一水平面上，當轉臺單獨旋轉時球桿儀隨轉臺同步運動與轉臺保持相對靜止，那么球桿儀在轉臺坐標下的方向向量保持不變，表示為V1，2＝［-1，0，0，0］T，工件球的坐標為［R，0，z］.那么根據式（5）可以得到步驟1和2中球桿儀讀數與相應幾何誤差關系為

即

式中：Δ1，2為步驟1和步驟2球桿儀讀數.為了方便辨識，步驟1中刀具球初始z 坐標為0，步驟2中z坐標為L，如圖2所示，根據式（7）可以得到相應線性和轉角幾何誤差辨識公式為

式中：Δ1為步驟1中球桿儀讀數，Δ2為步驟2中球桿儀讀數，

對于步驟3和4，刀具球坐標分別于步驟1和2中是一樣，即步驟3中刀具球初始z坐標為0，步驟4中z坐標為L，那么式（6）也表示了這2個步驟中球桿儀刀具球在轉臺坐標下的坐標.不同之處為球桿儀的方向向量與轉臺y 軸方向平行，即V1，2＝［0，-1，0，0］T，工件球坐標為［0，R，0］，那么同樣的根據式（5）可以得到球桿儀讀數與相應幾何誤差關系為

式中：Δ3，4為步驟3和步驟4球桿儀讀數，那么相應的幾何誤差辨識公式可由球桿儀讀數表示為

在步驟5中，刀具球和工件球都位于轉臺旋轉軸線上，刀具球初始z坐標為R，工件球z坐標為0，球桿儀方向向量為V1，2＝［0，0，1，0］T，那么同樣的根據式（5）和（6）得到

步驟6的工件球在轉臺旋轉軸線上，其坐標為［0，0，0］，而刀具球的初始位置坐標為［0，R，0］.當轉臺單獨旋轉時，球桿儀相對于轉臺的方向向量是隨著轉臺轉角發生變化的.如圖3所示表示了球桿儀方向與轉臺坐標系之間的關系.球桿儀與轉臺坐標系Y 軸之間的夾角為轉臺轉角γ，那么球桿儀方向向量可表示為V6＝［sinγ，cosγ，0，0］T，根據式（2）得到刀具球在轉臺工件坐標系下的坐標為

式中：γ表示轉臺的轉角，即轉臺的位置.那么球桿儀讀數和幾何誤差之間的關系可根據式（4）表示為

整理可以得到

式（11）、（12）中的δxc和δyc已經辨識得到，只需對εzc進行辨識即可.根據式（11）辨識時，在γ＝0°，180°，360°這幾個特殊位置處，球桿儀讀數在該式子中反映不出εzc誤差項，而在90°和270°處εzc對球桿儀讀數無影響.同樣的，用式（12）辨識時，在這幾個特殊位置處，球桿儀讀數無法反映該誤差項，或者該誤差項對球桿儀讀數無影響.為了能夠充分使用球桿儀讀數，同時式（11）和（11）辨識誤差，除了這幾個特殊位置外，幾何誤差項可表示為

當γ＝0°和360°時，轉臺基本誤差項數值應為零，而在γ＝90°，180，360處，εzc誤差值可根據前后相鄰位置點的誤差值進行插值得到.因為在球桿儀測量時，數據記錄間隔恒定的，那么在這3個角度處的誤差數值可表示為

式中：i為數據采集時這3個角度相應的位置序號.那么εzc的辨識公式可表示為

那么式（8）、（9）、（10）和（13）為轉臺幾何誤差表達式.轉臺旋轉一個角度，球桿儀就有個對應的讀數，那么由這4個式子根據球桿儀讀數得到的幾何誤差是相對于轉臺轉角變化的值.

圖3 球桿儀方向與轉臺坐標系之間的關系Fig.3 Relationship between direction of ballbar and coordinate system of turntable

2.2 垂直度誤差和位置偏差辨識

前面沒有考慮垂直度誤差和位置誤差的影響，采用的處理方法是根據式（1）將垂直度誤差作為相應轉角誤差的一部分，位置偏差作為相應線性誤差的一部分.那么就需要進一步對垂直度誤差和位置誤差進行辨識，同時進一步對六項基本誤差項進行修正.

垂直度誤差和位置誤差是與位置無關的誤差，即與轉臺旋轉角度無關，是一個恒定值.六項基本誤差項是隨著運動軸的運動而變化的，另外在運動軸初始位置基本誤差項數值為0.即根據式（8）、（9）、（10）和（13）得到的誤差項是基本誤差項加上相應的垂直度誤差或者位置偏差的綜合性誤差.可以根據在轉臺零位置處的綜合誤差數值分離得到相應的垂直度誤差和位置誤差，同時對其他轉角位置處的綜合誤差進行修正得到機床基本誤差項數值.

式（1）中垂直度誤差Sc為定值的y 方向的轉角誤差，Scy為x 方向的轉角誤差，位置誤差ocx作為x方向的線性誤差δxc，ocy是y 方向的線性誤差δyc.在轉臺轉角為零時，轉角誤差εyc和εxc為0，同時線性誤差δxc和δyc為0.所以在零角度處由式（8）和（9）辨識得到的綜合線性誤差δxc為位置誤差ocx，δyc為安裝誤差ocy，綜合轉角誤差εyc為垂直度誤差Scx，εxc為垂直度誤差Scy，.在轉臺其他轉角處分離出相應的垂直度誤差和位置誤差得到相應的基本誤差項，同時對于z方向的轉角誤差和線性誤差也需要進行同樣的分離處理得到符合誤差幾何性質的基本誤差數值.那么轉臺10項幾何誤差項表達式可表示為

式中：εkc′和δkc′表示由式（8）、（9）、（10）和（13）辨識得到的綜合幾何誤差項.k＝x，y，z.

2.3 仿真分析

對六步驟測量法采用仿真分析來驗證其正確性.首先產生轉臺的10項幾何誤差項數據，其中垂直度誤差和位置誤差為定值，6項基本幾何誤差項其隨C 軸旋轉角度的變化而變化，這里基本誤差項數據以三次多項式的形式產生.根據基本誤差項的性質，相應的三次多項式形式為

f（γ）＝aγ（γ-360）（γ-b）.不同的誤差項選擇不同的a 和b 值.產生的基本誤差項數據見圖5中仿真數據曲線所示，包括產生的線性誤差和轉角誤差.垂直度誤差和位置偏差數據設置見表1 中仿真值.仿真時球桿儀長度為100mm，步 驟2 中 球 桿 儀 工 件 球z 坐 標L ＝100 mm，同樣的步驟4中工件球z坐標L＝100mm.然后根據球桿儀讀數與幾何誤差之間的關系按照式（4）或者式（5）計算得到每個步驟中球桿儀讀數，同時增加隨機噪聲得到相應的測量數據.如圖4所示仿真得到的各個步驟中球桿儀數據.根據六步驟測量法，結合仿真產生的球桿儀數據結合式（8）、（9）、（10）、（12）和（13）辨識得到轉臺十項幾何誤差項.如表1所示為垂直度誤差和位置誤差的仿真結果.仿真產生和辨識得到的垂直度誤差殘差在1μm 以內，位置誤差的殘差更小.如圖5所示為6項基本誤差項的仿真值與計算值的比較結果.圖5（a）為三項線性誤差的仿真結果，圖5（b）為三項轉角誤差的仿真結果.線性誤差的計算值與仿真值非常接近，說明線性誤差的辨識精度很高.而轉角誤差計算值與仿真值之間殘差在噪聲范圍內.仿真結果表明了六步驟測量法是可行的.

表1 垂直度誤差和位置偏差的仿真結果Tab.1 simulated results of squareness errors and offset errors

3 安裝誤差的影響

圖4 各個步驟球桿儀仿真讀數Fig.4 Simulated ballbar readings of each step

球桿儀在安裝時不可避免的存在安裝誤差，安裝誤差對轉臺幾何誤差的辨識精度造成一定的影響.即使使用精密微調裝置，球桿儀也同樣的存在一定的安裝誤差，而球桿儀安裝誤差需要額外的工作量或者精密裝置來測量得到［10，17］.另外同樣的位置，安裝一次球桿儀其安裝誤差就可能不同.而用六步驟測量時每個步驟都需要重新安裝球桿儀，如果每安裝一次球桿儀就用測量一次安裝誤差，這會大大增加測量的工作量.這里通過分析每個步驟中球桿儀安裝誤差對球桿儀讀數的影響，然后采用最小二乘法根據其影響進行擬合，得到消除球桿儀安裝誤差后的讀數，然后再進行幾何誤差的辨識，這樣可以大大提高辨識精度，又不會增加測量的工作量.

球桿儀刀具球和工件球都存在安裝誤差，假設刀具球的安裝誤差為Δtx，Δty和Δtz，工件球的安裝誤差分別為Δwx，Δwy和Δwz.那么根據式（5）得到

那么根據式（15）結合各個步驟中球桿儀方向向量可以得到球桿儀安裝誤差對球桿儀讀數的影響為

圖5 轉臺6項基本誤差項的仿真結果比較Fig.5 simulated results of six basic geometric errors

球桿儀公稱長度公稱長度遠遠大于球桿儀長度變化量，則球桿儀實際長度本身一個近似圓.對于步驟1-4，球桿儀刀具球的安裝誤差會造成球桿儀軌跡的偏心偏差，而工件球的安裝誤差主要影響球桿儀軌跡的半徑.步驟5中球桿儀安裝誤差主要影響軌跡半徑.步驟6中刀具球誤差影響軌跡半徑，而工件球是引起軌跡的偏心誤差.如果已知球桿儀安裝誤差，那么從球桿儀實際讀數中消除安裝誤差影響可表示為

式中：Δj′為第j 步驟中球桿儀實際讀數.Δj為剔除球桿儀安裝誤差后球桿儀讀數.j＝1，2…6.根據式（15）和（16）結合各個步驟中球桿儀實際讀數，對球桿儀讀數進行擬合.將式（15）代入（16）得到擬合形式為

式中：Δj數值隨著轉角γ變化而變化，擬合式中只有球桿儀安裝誤差是常數項，根據最小二乘法進行擬合.球桿儀安裝誤差會遠遠大于機床的幾何誤差項，所以認為球桿儀長度本身近似圓的半徑偏差都是由于球桿儀安裝誤差造成的，即最小二乘法擬合的常數項是由球桿儀安裝誤差造成的，從而擬合得到相應的球桿儀安裝誤差以及相應的剔除安裝誤差影響后的球桿儀數據.然后根據相應的辨識公式得到相應的10項幾何誤差.

這樣六步驟測量法大大降低了球桿儀安裝誤差影響，提高了辨識精度，同時可以辨識得到轉臺10項幾何誤差.為了進一步提高辨識精度，每個步驟中安裝球桿儀后進行多次測量得到多組球桿儀讀數.該方法只需轉臺單獨旋轉，運動易實現，同時也消除了其他軸運動誤差的耦合影響.步驟1，3和5的刀具球位置是一樣的，而步驟2和4的刀具球位置是一樣的，且都很容易通過機床定位得到，使得球桿儀安裝很方便，提高了六圈法的測量效率，以達到快速測量的目的.

4 實 驗

圖6 球桿儀六步驟測量法測量轉臺誤差Fig.6 Scenes of measurement for turntable using sixstep measurement with ballbar

將六步驟測量法應用到北京精雕SmartCNC500五軸機床上采用雷尼紹公司的QW20球桿儀測量辨識轉臺C 軸的幾何誤差.如圖6所示為相應的六步驟測量轉臺誤差示.圖6（k）即為按照步驟k進行的測量.其中k＝1，2…6.步驟2和4中球桿儀刀具球z向高度L＝22mm.球桿儀安裝方便.測量時只需轉臺單獨旋轉，機床很容易實現.轉臺旋轉5°采集一次球桿儀數據，每個步驟安裝球桿儀后進行5次測量，其平均值作為該步驟球桿儀讀數測量值.如圖7所示為各個步驟的球桿儀測量數據.根據球桿儀安裝誤差對各個步驟球桿儀測量數據的影響采用最小二乘法進行擬合，得到降低安裝誤差影響的球桿儀讀數.然后根據六步驟測量法中各個誤差辨識公式得到轉臺10項幾何誤差.表2為辨識得到的轉臺垂直度誤差和位置誤差.如圖8（a）所示為轉臺三項線性誤差，圖8（b）為轉臺三項轉角誤差.

圖7 六步驟測量法各個步驟球桿儀讀數Fig.7 Ballbar readings of each step with six-step measurement

圖8 辨識得到的轉臺6項基本誤差項Fig.8 Six identified basic geometric errors of turntable

表2 轉臺垂直度誤差和位置誤差Tab.2 squareness errors and offset errors of turntable

圖9 步驟2中消除安裝誤差后球桿儀讀數Fig.9 Ballbar readings of second step without set-up errors

圖10 步驟4中消除安裝誤差后球桿儀讀數Fig.10 Ballbar readings of the fourth step without set-up errors

辨識得到的轉臺誤差進行補償，比較補償前后球桿儀各個步驟處球桿儀讀數來驗證六步驟測量法的辨識精度.轉臺誤差值可通過相應的平動軸來進行補償.因為該方法是轉臺單獨旋轉，補償是只是調整刀具球的坐標，這機床補償代碼也易實現，只需根據轉臺幾何誤差對機床精度的影響計算出刀具球位置調整值即可.比如步驟2中δxc，εyc，ocx和Scx影響機床精度，則可通過調整刀具球坐標值實現補償.步驟4中δyc和εxc影響機床精度，則可通過X 軸和Y軸來調整球桿儀刀具球坐標來實現補償.為了能夠更清楚地觀察補償效果，將補償前后球桿儀讀數進行消除安裝誤差處理，得到消除安裝誤差影響后的球桿儀讀數.如圖9所示為步驟2中消除安裝誤差后補償轉臺誤差前后球桿儀讀數比較圖.如圖10所示為步驟4中補償轉臺相應誤差前后球桿儀讀數比較圖.其中第3組數據為理想的標準圓軌跡讀數，即零誤差軌跡.消除安裝誤差后，步驟2 中誤差從±1.6μm 減少到±0.7μm，補償后誤差值減少了56%，而且補償后軌跡圓度大大提高.步驟4中誤差從±2.1μm 減少到±0.8μm，精度提高了61.9%，補償效果明顯.那么進一步驗證了六步驟測量法的辨識精度高.

5 結 論

旋轉軸幾何誤差是影響五軸數控機床的主要因素之一，本文針對轉臺旋轉軸提出了基于球桿儀的六步驟測量法來系統性的辨識得到十項幾何誤差項.六步驟測量法只需轉臺單獨旋轉，消除了其他運動軸幾何誤差對辨識精度影響，同時球桿儀安裝方便，運動易實現.

（1）本文運用球桿儀方向向量將球桿儀讀數和轉臺幾何誤差項結合起來.根據各個步驟中球桿儀方向向量，得到基本誤差項辨識公式，同時結合幾何誤差項的性質，辨識得到包括垂直度誤差和位置誤差在內的十項幾何誤差項，并通過仿真驗證六步驟測量方法的正確性.

（2）根據球桿儀讀數模型，分析了球桿安裝誤差對各個步驟中球桿儀讀數的影響，并采用最小二乘法根據球桿儀讀數與安裝誤差進行擬合從而消除安裝誤差的影響，以提高辨識精度.

（3）將六步驟測量法應用到北京精雕SmartCNC500五軸加工中心，測量辨識得到C 軸的十項幾何誤差項，測量方便.同時通過補償轉臺的幾何誤差對補償前后球桿儀讀數進行比較來驗證六步驟測量法的可行性與準確性.

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