由諧振動動力學特征導出運動方程的一種簡明方法

付志揚

（河北省衡水中學 河北 衡水 053000）

1 問題的提出——簡諧振動課后的困惑

高二階段物理課上學習過簡諧振動后，奧賽班的學生對簡諧振動的運動學方程如何從動力學特征導出產生了濃厚興趣.但課下查閱大學數學、物理教材和有關文獻后，發現受數學知識所限很難理解其給出的推導方法.文獻［1］就彈簧振子等模型闡述了諧振動原理和參數的相互關系，列出動力學特征方程后略過求解過程，直接給出解.文獻［2］在微分方程一章中，基于二階常系數齊次線性微分方程理論，以求特征方程、共軛復根的方法，從動力特征方程導出運動學方程，其他教材和文獻采用的方法與此方法大同小異.其求解過程簡潔，但方法背后的原理如通解、歐拉公式求導、特征方程等遠超出中學數學教學大綱，致使高中物理、數學奧賽班的學生也很難理解和掌握.通過機械能守恒定律、勢能曲線、微分方程求解，也能導出諧振動運動學方程［3，4］，但這種方法繞開了動力學特征，對動力學特征方程和運動學方程的關系不能給出解釋.

針對常規推導方法的不易被理解和高中學生現有數學基礎的局限性，本文以高中階段就已學過的運動學、動力學、復合函數求導、簡單積分為基礎，給出了一種簡明易懂的簡諧振動運動學方程推導方法，不僅能夠使高中學生深刻體會簡諧振動的內在原理，還有助于加深理解微積分思想及其在物理學中的運用.

2 簡諧振動的動力學特征

以彈簧振子為例，討論無阻尼簡諧振動的特征和運動規律.設平衡位置為坐標原點，按照胡克定律，物體所受的彈性力F與彈簧的伸長即物體相對于平衡位置的位移x成正比，即

式中κ是彈簧的勁度系數，負號表示力與位移的方向相反.根據牛頓第二定律，物體的加速度a為

彈簧振子的κ和m都是正值常量，取

代入上式得

式（1）稱為簡諧振動的動力學特征方程.而高中階段物理課程直接給出了簡諧運動的運動學方程即位移表達式

如何從簡諧振動的動力學特征方程導出運動學方程，即如何從式（1）推導出式（2），正是很多高中學生急欲求知的問題.式（1）為二階常系數線性齊次微分方程，此類微分方程的通常解法是列出特征方程，求出特征方程的兩個根，根據兩個根的不同情況寫出微分方程的通解.求解步驟雖簡單，但其背后的原理復雜，解題思想高中階段難以理解.

3 基于簡單微積分的運動學方程推導方法

基本思想是避開高中階段還未涉及的微分方程及其特征方程、通解等理論，僅應用導數、微分和積分等簡明易懂的理論推導和求解.

3.1 方法的思想和步驟

式（1）是二階導函數且右端只含有因變量x，不明顯的含有自變量t，無法直接通過導數微分轉換和分離變量求解積分.1728年，歐拉曾考慮了一類二階微分方程，通過引入新的變量和指數函數，利用變量替換將它轉換為一階微分方程，這是最早的二階微分方程系統研究［5］.這里需要避開微分方程理論及指數函數，但考慮無阻尼諧振動動力學特征方程的特殊形式，很容易通過變量替換對方程進行微分降階，進而通過簡單的分離變量和積分知識求解.

（1）根據運動學物體的位移、速度、加速度和時間的關系式，利用復合函數的求導法則，把位移對時間的二階導函數轉化為速度及其對位移一階導數乘積的形式，實現二階微分降階為一階微分，x對t的導函數轉換為v對x的導函數.

（2）通過分離變量x和v，形成位移微分和速度微分的等式，等式兩端再積分后，求得速度對位移的函數關系.此為第一次變量分離和積分.

（3）由位移對時間的導數替代（2）中的v，再通過分離變量x和t，形成位移微分和時間微分的等式，兩端積分后，求得位移對時間的函數關系，即簡諧振動的運動學方程.此為第二次變量分離和積分.

3.2 方法應用

根據導數和運動學知識，物體運動的位移x，速度v和加速度a有如下關系

利用復合函數的求導法則并結合上式，把位移對時間的二階導數轉化為速度及其對位移一階導數乘積的形式，即

因此，式（1）可轉換為

從式（1）轉換為式（5）的意義在于，把二階導函數降階為一階導函數，同時把x對t的導函數轉換為v對x的導函數，為求解v和x的函數關系創造條件.

將式（5）分離變量，化為微分形式并兩端積分

求解積分，得

上式中E＝mC1為總的機械能分別為動能和彈性勢能.

引入常量A2替換常量，將式（6）變形為

根據初始條件位移為x0，速度為v0，可確定常量A

根據式（7）解得

將式（3）代入式（8）

將式（9）轉換成微分形式并兩端積分

因

所以

根據初始條件位移為x0，時間t＝0，可確定出常數C2的值

上式即為式（2）給出的簡諧振動運動學方程的標準形式，式中A為振幅，ω為角頻率，φ0為初相位.通過上述推導，簡諧振動中各個特征量的物理、數學意義及相互關系也更加清晰.

3.3 方法的適用性

上述方法還適用于同為簡諧振動的LC震蕩電路中電流隨時間變化的規律推導.一般情況下對于型的動力學特征方程求解問題仍然適用，亦即加速度函數僅明顯含有位移變量、不明顯的含有時間變量的情況，如萬有引力場、點電荷電場中物體或帶電粒子的速度、位移求解問題.

【例題】帶正電量Q的點電荷固定在長度為2l的絕緣平直光滑軌道左端，帶正電量q，質量為m的粒子從軌道中點由靜止釋放.假設帶電粒子除電場力外不受其他外力作用，求帶電粒子位移隨時間變化的運動學方程和從軌道右端滑出時的速度.

求解過程：取連結點電荷和帶電粒子的直線為x軸，其方向水平向右，取點電荷為坐標原點.

設t時刻帶電粒子的位置則速度和加速度分別為

根據庫侖定律和牛頓第二定律，得

根據式（4）進行微分降階并分離變量、兩端積分

求解積分，得

所以

帶電粒子從軌道右端滑出時，x＝2l，代入上式，即可求得帶電粒子滑出軌道時的速度

將式（11）中的v用表示，并進行分離變量和兩端積分

通過換元法令x＝lsec2α，對上式積分求解

4 結束語

簡諧振動極大地促進了近代數學和物理學融合發展［5］，學習理解從諧振動動力學特征方程導出運動學方程的數學原理和過程，對高中階段微積分、三角函數、運動學、動力學、電磁場的系統學習和融會貫通都很有幫助，本文給出的方法具有如下作用：

（1）避開了微分方程理論，通過簡明易懂的微分降階、變量替換、變量分離和積分求解，從動力學特征方程導出簡諧振動運動學方程，能夠被高中生理解，可用于課上講解，激發學生向更高層次學習的求知欲.

（2）將微積分思想貫穿始末，能夠啟發高中生運用近現代數學思想建模和解決物理問題.推導過程串聯了運動學、動力學、能量守恒、微積分、三角函數等重要知識點，有助于數學、物理學科融會貫通.

1 程守珠，江之永.普通物理（下）.北京：高等教育出版社，2006.2～6

2 同濟大學數學系.高等數學（上）.北京：高等教育出版社，2007.335～336

3 蔡群，劉燕.簡諧振動運動方程的推導.蒙自高等師范?？茖W校學報，2001（2）：4～6

4 胡濟通.簡諧運動的能量、圓頻率以及振動方程的確定.物理教師，2002（08）：12～15

5 （美）莫里斯·克萊因.古今數學思想（第二冊）.張理京，張錦炎，江澤涵，等譯.上海：上?？茖W技術出版社，2014.70～82