欠定盲分離時變混合矩陣的估計

付衛紅，李愛麗，黃 坤，馬麗芬，嚴 新，楊 博

(1. 西安電子科技大學綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室 西安 710071; 2. 航天恒星科技有限公司 北京 海淀區 100086)

欠定盲分離時變混合矩陣的估計

付衛紅1，李愛麗1，黃 坤1，馬麗芬1，嚴 新1，楊 博2

(1. 西安電子科技大學綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室 西安 710071; 2. 航天恒星科技有限公司 北京 海淀區 100086)

針對欠定盲分離中時變混合矩陣的估計問題，在稀疏域二維最小偏差角算法的基礎上，提出了一種改進的欠定盲分離時變混合矩陣估計算法。該算法通過判斷原始陣各列上是否都有觀測點聚集和聚集在原始陣上的觀測點以外的點的聚集方向，來檢測變化時刻；并利用基于點密度大區域檢測算法估計混合矩陣。改進算法對于混合矩陣發生某些列增加、消失和變化時均能檢測出變化，并且在大幅提高變化時刻檢測概率和混合矩陣估計精度的同時，降低了復雜度。實驗仿真結果表明，在20 dB信噪比時，混合矩陣估計精度提高了60%以上。

盲源分離; 混合矩陣估計; 信號處理; 時變; 欠定

盲源分離[1-2]是指在一個通信系統中，源信號和信道均未知，在只有觀測信號的情況下，恢復出源信號的技術。根據源信號個數和觀測信號個數的不同可以分為欠定盲分離[3-4](源信號個數大于觀測信號個數)和非欠定盲分離[5-7](源信號個數小于觀測信號個數)兩種情況。

對于欠定盲分離，目前主要集中在靜態情況下的研究[8-11]，即源信號個數不變、信道不變。而實際情況中，源信號個數常會發生變化，在增加、減少或者某些源信號消失的同時又有新的源信號產生。受環境的影響，信道也在不斷發生變化。對于這種時變情況下的欠定盲分離，目前研究甚少。文獻[12]提出了一種源信號和混合矩陣時變情況下的欠定盲分離方法，將時變的混合矩陣的估計分為兩步：1) 變化時刻的檢測。通過將觀測信號分幀；然后檢測每幀中觀測信號是否聚集在原始矩陣的各列上來判斷是否發生變化。該方法適用于混合矩陣有新列增加的情況，但是當某些源信號消失時，不能檢測出變化。2) 混合矩陣的估計。采用搜索重構觀測信號采樣點法[9]，該方法抗噪聲能力較差，且受區間數影響較大。本文針對文獻[12]進行改進，提出了一種改進的欠定盲分離時變混合矩陣的估計方法，即改進的變化時刻檢測方法和新的混合矩陣估計算法——基于點密度大區域檢測的混合矩陣估計算法。改進的變化時刻檢測方法在混合矩陣發生某列增加、某列減少、某列消失的變化時均能檢測出變化，而點密度大區域檢測法相比于文獻[12]中的搜索重構觀測信號采樣點法具有更高的估計精度，從而使本文方法在時變混合矩陣估計時具有更好的性能。

1 欠定盲分離的模型

考慮最簡單的線性瞬時混合欠定盲分離，其數學模型可以表示為：

式中，s(t)=[s1(t),s2(t),,sn(t )]T為n維源信號矢量；x(t)=[x(t)x(t),,x(t )]T為m維觀測信號矢量；m n>m；A為m×n的混合矩陣，A=[a1,a2,,an]，ai(i=1,2,,n)為A的列向量；t表示觀測時刻，t=1,2,,T。若將A寫成列向量的形式，則式(1)可寫為：

欠定盲分離一般采用兩步法：首先估計混合矩陣；然后在混合矩陣已知的基礎上分離源信號?；旌暇仃嚨墓烙嬀戎苯佑绊懛蛛x信號的質量，因此，混合矩陣的估計在欠定盲分離中起著至關重要的作用，無論是靜態還是動態情況下的盲分離。在欠定模型下，源信號和混合矩陣動態變化時，應首先估計出變化時刻，然后根據變化后的觀測信號估計出變化后的新矩陣。因此，對于欠定盲分離時變混合矩陣的估計，包括檢測變化時刻和估計混合矩陣。

2 變化時刻的檢測

對于時變情況下的欠定盲分離，關鍵是檢測出變化時刻，再根據變化前后的觀測信號分別估計出混合矩陣。在每一次變化時，都將變化前的混合矩陣作為已知(稱為原始陣)，檢測觀測信號聚集方向與原始陣間是否出現偏差，若連續出現偏差，則混合矩陣已發生變化，從而估計出新的混合矩陣。

文獻[12]主要思想是檢測觀測信號是否聚集在原始陣各列上。對變化時刻的檢測主要依據兩個門限值：稀疏域二維最小偏差角的門限a和每幀觀測信號中超出門限a的比例的門限b。

文獻[12]主要依據連續數幀中有高于門限值數目的觀測信號沒有聚集在原始矩陣的方向上來判斷變化，比較籠統，尤其在混合矩陣變化情況為某列消失時，觀測信號仍然聚集在原始陣的部分列上，導致檢測不出變化。門限b的設定依賴于噪聲大小和混合矩陣變化的大小，不好設定。另外文獻[12]需要先求出原始矩陣的方向角和觀測信號的方向角，增加了計算量。

本文提出了一種改進的檢測變化時刻的方法。首先分析了混合矩陣變化具體有哪些情況，在檢測時，對每一幀檢測原始陣各列上是否都有觀測信號聚集并估計出不在原始陣各列上的觀測信號的聚集方向。該方法不用計算方向角，沒有門限b，且可以檢測混合矩陣變化為某列消失的情況。

針對源信號和混合矩陣動態變化的情況，變化時刻檢測的方法如下：將t=0,1,,T1,,T2時刻的觀測信號分為M幀，每幀的觀測信號點數為T2/M，按幀處理。首先，在每一幀內檢測原始陣各列上是否有觀測信號聚集，若某些列上連續k幀沒有觀測信號聚集，則混合矩陣發生改變。若原始陣上各列均有觀測信號聚集，檢測除聚集在原始陣上的觀測點以外的點的聚集方向，若這些點連續k幀聚集在某些確定方向上，則混合矩陣發生改變。

由以上原理得到，改進的變化時刻檢測方法的具體步驟如下：

1) 將觀測信號進行歸一化，得到X。

3) 根據第i(初始值為0)幀觀測信號X(1),X(2),,X(N)估計混合矩陣A1。

4) i=i+1。

5) 檢測第i幀中，原始陣A1各列是否有觀測信號聚集；檢測聚集在原始陣上的觀測點以外的點的聚集方向。

6) 若i>2

① 若存在某些列上連續3幀沒有觀測信號聚集，則混合矩陣發生變化，跳到步驟7)；否則，執行②；

② 若原始陣以外的觀測點連續3幀聚集在某些方向上，則混合矩陣發生變化，跳到步驟7)；否則，回到步驟4)。

7) 利用變化后的3幀觀測信號估計出新的混合矩陣，并將該陣賦值給A1作為原始陣?；氐讲襟E4)。

3 混合矩陣的估計

文獻[12]對混合矩陣的估計采用了搜索重構觀測信號采樣點的方法，該方法抗噪聲能力較差，并且涉及區間個數設置的問題，區間設置的個數對估計效果影響很大，卻沒有理論指導應該設置多少。下面對本文提出方法進行介紹。

3.1 點密度大區域檢測法原理

在欠定情況下，當源信號充分稀疏時，觀測信號具有線聚類特性，即聚集在混合矩陣A的各個列向量上。若把觀測信號和混合矩陣列向量進行歸一化，則觀測信號聚集在A的各個列向量確定的點上。如圖1所示，m=3，n=4，有噪情況下的3個觀測信號x1,x2,x3的散點圖。

圖1 m=3、n=4情況下觀測信號散點圖

從圖1可以看出，觀測信號點清晰地分為4類。在混合矩陣列向量確定的4個點附近有較多的觀測信號點。定義某個點的密度為以該點的方向為中心，以θ為角度差的方向內的觀測信號點數，則位于混合矩陣A確定的4個點周圍的觀測信號點，其密度明顯大于遠離這4個點的觀測信號點。而密度比較小的點往往是受噪聲影響較大的點，且這些點也含有一定的有用信息。

若將這些密度比較小的點先去掉，那么剩下的點則清晰地分為4類。以保留下來的密度比較大的點為對象，隨機選取某個觀測點為初始點；然后按照距離原則，將離該點較近的觀測點都劃分為一類，將該類中的觀測信號點求均值，即得到混合矩陣某列的估計。再對剩下的點隨機選取一個觀測信號點為初始點，按照距離原則，將離初始點較近的觀測信號點劃分到一類并求均值，得到混合矩陣第二列的估計。以此類推，直到所有的觀測信號點都被聚類完畢，得到混合矩陣的初始估計。

將得到的混合矩陣的初始估計作為初始聚類中心，將所有的觀測信號(包括點密度大的和點密度小的)以初始聚類中心開始進行k均值聚類[13]。經過k均值聚類后得到混合矩陣的精確估計。

3.2 點密度大區域檢測法

1) 將觀測信號進行歸一化，得到觀測信號X。2) 計算每個觀測信號點的點密度。

3) 將點密度比較大的觀測信號點篩選出來，組成集合1X。

4) 對于集合1X中的觀測信號點，隨機選取某個點為初始點，將離該點較近的點歸到一類，并求出這一類中觀測信號點的均值，該均值為混合矩陣某一列的初始估計。

5) 對于1X中未參與聚類的點重復步驟4)，直到X1中所有觀測信號點都參與了聚類。

6) 將得到的混合矩陣的初始估計作為初始聚類中心，利用k均值算法對X進行聚類。

聚類中心即為混合矩陣的估計。

4 實驗結果與分析

分別從變化時刻檢測概率和混合矩陣估計誤差兩方面對本文算法及文獻[12]算法進行了比較；另外研究了每幀所取點數對估計效果的影響。

4.1 仿真實驗一

該實驗為變化時刻檢測概率的對比試驗。仿真條件如下：源信號個數為n(取值為3和4)；觀測信號個數m=2；源信號由函數randn隨機產生，源信號長度T=4 000；分幀數M=20；信噪比SNR=15～25 dB，每個信噪比下仿真2 000次?；旌暇仃嘇1、A2和A3分別為：

圖2～圖4為變化時刻估計準確度的對比圖，混合矩陣均從第11幀發生變化，即1～10幀為一個矩陣，第11～20幀為變化后的矩陣。其中圖2為混合矩陣從A1變化到A2時的對比圖，對應混合矩陣某列發生變化的情況；圖3為混合矩陣從A2變化到A3時的對比圖，對應混合矩陣發生增加某列的情況；圖4為混合矩陣從A3變化到A2的對比圖，對應混合矩陣發生某列消失的情況。

圖2 混合矩陣變化一列情況下變化時刻檢測概率

圖3 混合矩陣增加一列情況下變化時刻檢測概率

圖4 混合矩陣減少一列情況下變化時刻檢測概率

從圖2和圖3可以看出，本文方法在變化時刻檢測概率方面明顯高于文獻[12]的算法，尤其在低信噪比時，文獻[12]無法使用，而本文方法仍然可以檢測出變化時刻，檢測概率在30%以上。從圖4可看出，在混合矩陣發生列數減少時，文獻[12]完全不能使用，而本文方法不僅能夠估計出變化，且準確率較高，在信噪比20 dB以上時，準確率達到80%以上。

4.2 仿真實驗二

該實驗為混合矩陣估計誤差的對比試驗。仿真條件如下：源信號個數為n(取值為3和4)；觀測信號個數為m=2；源信號由函數randn隨機產生，源信號長度T=600；信噪比SNR=15～25 dB，每個信噪比下仿真2 000次?；旌暇仃嚪謩e為4.1節中的A1、A2和A3，分別采用搜索重構觀測信號采樣點法和點密度大區域檢測法估計混合矩陣，混合矩陣估計誤差圖如圖5所示。

圖5 混合矩陣估計誤差對比

從圖5可以看出，在混合矩陣估計精度方面，點密度大區域檢測法明顯優于搜索重構觀測信號采樣點法，如在信噪比為20 dB時，對矩陣A1、A2和A3的估計精度，點密度大區域檢測法分別比搜索重構觀測信號采樣點法提高了60%、60%和65%，這是因為點密度大區域檢測法抗噪聲能力較強，而搜索重構觀測信號采樣點法不僅抗噪能力差，而且區間數的設置不好把握。由于點密度大區域檢測法對混合矩陣的估計精度較高，結合改進算法中提出的變化時刻檢測方法，使得改進的時變欠定盲分離混合矩陣估計算法在時變混合矩陣估計中具有很好的性能。

4.3 仿真實驗三

該實驗為每幀內點數N對變化時刻檢測概率的影響實驗。仿真條件如下：源信號個數n=4；觀測信號個數m=3；源信號由函數randn隨機產生，源信號長度T=4 000；信噪比SNR=15～25 dB，每個信噪比下仿真1 000次；分幀數M=20, 40, 80，對應的每幀內的點數N=200, 100, 50。變化前的混合矩陣為A4，變化后的混合矩陣為A5。當M=20時，混合矩陣從第11幀變化為矩陣A5；當M=40時，混合矩陣從第21幀變化為矩陣A5；當M=80時，混合矩陣從第41幀變化為矩陣A5。參數N對檢測概率的影響如圖6所示。

從圖6可以看出，每幀內點越多(N值越大)，檢測概率越高，但是N值不宜過大，過大不容易跟蹤并檢測矩陣發生變化的精確時刻。一般N值取100～200比較合適。

圖6 參數N對檢測概率的影響

5 結 束 語

對于欠定盲分離時變混合矩陣的估計，本文提出了一種新的方法，該方法采用改進的變化時刻檢測方法和新的混合矩陣估計方法——點密度大區域檢測法。改進算法具有較低的復雜度，不僅提高了變化時刻的檢測概率，且可以估計混合矩陣某列消失時的變化。點密度大區域檢測法在估計混合矩陣方面具有更高的估計精度，和改進的變化時刻檢測方法結合較原來的方法在時變混合矩陣估計時具有更好的性能。

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編輯張 俊

Time-Varying Mixing Matrix Estimation for Underdetermined Blind Source Separation

FU Wei-hong1, LI Ai-li1, HUANG Kun1, MA Li-fen1, YAN Xin1, and YANG Bo2
(1. State Key Laboratory of Integrated Service Networks, Xidian University Xi’an 710071; 2. Space Star Technology Co., Ltd. Haidian Beijing 100086)

Aiming at the problem of time-varying mixing matrix estimation in underdetermined blind source separation, an improved time-varying mixing matrix estimation algorithm is presented based on the method of planar minimum offset angle of sparse domain. By determining whether the original columns has observed the signals and the direction of the observed signals that are not in the direction of the original matrix the change time instant can be detected. The mixing matrix can be estimated by the method called the large point density area detecting. The improved algorithm can detect the changes of the columns increasing, disappearing and changing. Moreover, the detection probability of the changed time instant and the estimation accuracy of the mixing matrix are substantially increased, while the complexity of the algorithm is decreased. Experimental results show that when SNR is 20 dB, the estimation accuracy of the mixing matrix is improved by more than 60%.

blind source separation; mixing matrix estimation; signal processing; time-varying; underdetermined

TP911.7

A doi:10.3969/j.issn.1001-0548.2015.04.006

2014 ? 03 ? 04;

2015 ? 04 ? 09

國家自然科學基金(61201134, 61201135)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金(72124669)；高等學校學科創新引智計劃(B08038)；重大專項(2012ZX03001027-001)；中國航天科技集團公司衛星應用研究院創新基金(2014_CXJJ-TX_06)

付衛紅(1979 ?)，女，博士，副教授，主要從事寬帶無線通信、通信信號處理方面的研究.