基于Sobol指數法作戰能力全局敏感性分析方法

尹文進，張靜遠，饒　喆，馮　煒

（海軍工程大學兵器工程系，武漢430033）

基于Sobol指數法作戰能力全局敏感性分析方法

尹文進，張靜遠，饒喆，馮煒

（海軍工程大學兵器工程系，武漢430033）

本文采用的 Sobol 指數法，將模型分解為單個參數及參數之間相互組合的函數，通過計算單個輸入參數或輸入參數集的方差對總輸出方差的影響來分析參數的重要性以及參數之間的交互效應。并將Sobol指數法應用于一定作戰條件下的魚雷作戰能力分析，探討了相關關鍵技術指標及其交互作用對魚雷作戰能力的影響，為魚雷武器的論證工作提供依據和參考。

Sobol指數作戰能力交互影響

0　引言

為了提升武器裝備的作戰能力，需要對作戰能力的影響因素進行分析研究。由于武器裝備作戰能力分析涉及多個方面因素，但總體可以歸納為武器裝備戰術技術性能水平和裝備作戰使用兩個方面。在一定的作戰使用條件下，由于各個輸入因素（武器裝備戰術技術性能指標）之間的交互作用較為復雜，需要分析各個因素、各個因素組合對武器裝備作戰能力的影響。傳統的作戰能力分析方法由于分析因素少、因素變化范圍窄、不能分析因素之間的交互作用，不能適應武器裝備作戰能力分析的需求。而在一定作戰使用條件下，Sobol 指數法能夠通過分析輸入數據和效能輸出數據之間的關系，分析各個輸入數據與裝備作戰能力之間的關系，為武器裝備論證研究提供依據和參考。

1　Sobol 指數法

俄羅斯數學家 I.M.Sobol于上個世紀 90 年代提出了一種全局敏感性分析方法，并以他的名字命名，學者們稱之為“Sobol指數法”[1]。它的核心思想是方差分解，把模型分解為單個參數及參數之間相互組合的函數，通過計算單個輸入參數或輸入參數集的方差對總輸出方差的影響來分析參數的重要性以及參數之間的交互效應。

假設模型為Y=F(X)，其中X=F(x1，x2，…，xn)，xi(i=1,2,…,n)服從[0，1]之間的均勻分布，F(X)平方可積。把模型F(X)分解為以下形式

Sobol指數法的研究思路是：用總方差、偏方差分別表示全體變量對輸出量的影響、單變量或多變量對輸出量的影響情況。其中總方差為偏方差，表示相應的單變量對輸出量的影響，偏方差表示輸入變量間的相互作用對輸出量的影響。如下公式為該算法對方差比率的定義：

采用上述Sobol指數對該模型的敏感性進行度量是否具有理論價值和實踐意義，以及如何對定義該指數具體的概念，下面將對此進行討論。假設函數為 Y=F(X)，其中 X=(X1，X2,… Xn)，(X=1,2,…n)相互獨立，而且同時服從同一分布。當 Xi取 xi時函數的條件方差是 V(Y|xi)。V(Y)與V(Y|xi)之間的差值反映出了變量Xi對函數的影響程度。函數為非線性時的某些情況下，V(Y|xi)的數值有可能超出了V(Y)值。為使該算法具有更好地適應性，在變量Xi的有效變化范圍內對該變量的條件方差求均值得到EXi(V(Y|xi))。如果EXi(V(Y|xi))很小，說明當變量 Xi為某一取值時，對于函數Y來說，其不確定性很小。換言之，函數Y的不確定性是多源的，但主要是由變量 Xi的不確定性引起的，因此可以得出如下結論：Xi對Y的有較大的影響。根據文獻[2]有：

由式(3)知，VXi(EXi(V(Y|xi))越大，則變量 Xi對函數Y的影響程度也就越大。因此Sobol指數法的敏感性指標可以定義為式(4)的形式[3]：

SXi稱作Xi的“主效應”指數，也可以稱之為一階敏感性指數，它體現了變量Xi“獨自”對函數Y的總方差的貢獻程度，其數值的取值范圍在[0,1]內?？梢愿鶕餍笖档拇笮Ω鱾€變量進行敏感性排序，主效應指數越大，表明該變量的變化對最終的輸出的變化影響也就越大。因此，要控制最終輸出的變化，就需要把重點放在控制主效應指數較大的輸入量的變化。

若將所有的輸入因素分為 Xi和 X-i（除去 Xi因素的其它因素）兩類情況。將除Xi之外的所有因素看作為一個整體，VX-i(V(Y|x-i))描述該整體因素對函數Y的方差的綜合影響，那么 V(Y)-VX-i(E(Y|x-i))能夠表示所有與變量 Xi關聯的效應或稱之為變量 Xi的“全效應”對函數Y方差的影響程度。因此，敏感性指標可以定義為如式(5)所示的形式[3]：

由于主效應與全效應指數對對應分析函數形式和類型并沒有較為特殊的要求，因此該指數的定義適用性較強。如果函數Y=F(X)為武器裝備的作戰能力函數，Xi為影響作戰能力的某個變量。根據和XiS之間的差異表示變量 Xi與其它變量的相互交叉作用對作戰能力方差的貢獻程度大小。為分析變量i與哪些變量存在較強相互交叉效應時，可根據二者之間的交互效應指數來分析。當分析兩個變的相互交叉效應時，VXiXj(E-XiXj(Y|xixj))描述變量Xi和變量Xj作為一個整體對作戰能力方差的影響程度。這個影響程度包含變量 Xi與變量 Xj主效應和二者之間的交互效應。因此，

描述了變量Xi與變量Xj的相互交叉效應對作戰能力的影響程度大小。因此，交互效應指標可以定義為如式(7)所示的形式[3]：和SXi可知，SXiXj稱作變量Xi與變量Xj的二階交互效應指數。根據同樣的原理，可以將三階交互效應指數SXiXjXk定義為如式(8)所示的形式[3]：

在做相關變量對武器裝備作戰能力影響程度分析時，如果變量 Xi為影響因素之一，則根據和SXiXj可知表示全部與Xi相關的效應對武器裝備作戰能力總方差的貢獻程度大小，對影響變量的重要性進行排序時，應選擇為重要性的評價標準；和XiS之間差異表明變量 Xi與其它變量之間的相互交叉效應對作戰能力函數的貢獻程度，因此，在分析變量之間的相互交叉效應時，可以根據的大小進行選擇分析何種變量；SXiXj表明變量Xi與變量Xj之間的相互交叉效應對武器裝備作戰能力方差的貢獻程度大小，如果SXiXj較大，則可以說明變量Xi和變量Xj之間具有較強的相互交叉效應，兩個變量的不同數值組合會對武器裝備作戰能力的取值有較大的影響；若SXiXj，SXiXk，SXjXk的計算值都比較大，則可以說明變量i是較為關鍵的變量，且變量i對變量 j和k都有具有一定的作用。綜上分析可知，通過和SXiXj的數值分析，不僅可以得到武器裝備的關鍵變量，而且可以獲得各個變量之間的相互交叉效應的具體定量化的表述。

3　仿真分析

本文以魚雷攻擊艦船為例，采用Sobol 指數法對魚雷相關的技術指標進行分析。

魚雷的基本戰技性能指標有：航速、航程、自導作用距離、自導扇面、聲脈沖周期、引信作用距離、旋回角速度。為了探尋上述魚雷武器性能指標的變化對魚雷作戰能力（命中目標概率）的影響，對上述技術指標進行抽樣，設計不同的輸入變量組合，假定各個輸入變量的變化范圍如表1所示：

表1　各輸入變量取值情況

根據相關的作戰模型，采用均勻抽樣設計方法，計算不同技術指標的魚雷命中概率，在此基礎上，根據公式（5）、（7）進行Sobol指數的計算，分別得到表2各個輸入變量的全效應指數和表3輸入變量之間的二階交互效應如下所示。

表2　各個輸入變量的全效應指數

該表中的全效應指數能夠表明單變量和其它變量與該單變量之間的相互交叉效應對作戰能力（以命中概率為度量指標）的影響。全效應指數較大的變量，表明其全效應及其與其它變量之間的交互效應均較大，即其變化對作戰能力變化影響程度較大。由表可得，魚雷的自導作用距離（X1）的全效應最大。

表3　輸入變量之間的二階交互效應

由表可知，魚雷自導作用距離（X1）與自導扇面角（X2）之間以及航速（X3）與聲脈沖周期（X5）之間存在明顯的交互效應，因此在裝備論證過程中，應該關注相關性能指標之間的相互關系。

4　結論

本文采用的Sobol將模型分解為單個參數及參數之間相互組合的函數，通過計算單個輸入參數或輸入參數集的方差對總輸出方差的影響來分析參數的重要性以及參數之間的交互效應。通過該方法在魚雷作戰能力分析的應用，探討了相關關鍵技術指標及其交互作用對魚雷作戰能力的影響，對魚雷的論證工作提供一定的參考和依據。

[1] Sobol IM. Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models. Math Model ComputExp，1993 : 407-414.

[2] John.A.Rice. 數理統計與數據分析[M]. 北京: 機械工業出版社，2003.

[3] Saltelli，A. et al. Sensitivity Analysis in Pratice: A Guide to Assessing Scientific Models[M]. Chichester: John Wiley and Sons,2008.

[4] 李睿. Sobol靈敏度分析方法在結構動態特性分析中的應用研究 [D]. 長沙: 中南大學，2003.

[5] 徐培德. 軍事運籌學基礎 [M]. 北京: 國防科技大學出版社，2003.

Global Sensitivity Analysis Method Based on Sobol Index Method

Yin Wenjin，Zhang Jingyuan，Rao Zhe，Feng Wei
(Department of Weapon Engineering，Naval Engineering University，Wuhan 430033，China)

The Sobol index method is used to decompose the model into a function of single parameter and its mutual combination，and the importance of the parameters and the interaction effect between the parameters and the parameters is analyzed by calculating the impact of variance of input parameter. The Sobol index method is applied to the analysis of torpedo operational capability under certain operational conditions，and the influence of the key technical indexes and their interaction on the operational capability is discussed which provides the basis and reference for the demonstration of torpedo weapon.

Sobol index; combat capability; interaction effect

TP27

A

1003-4862（2015）12-0021-03

2015-10-08

尹文進(1988-)，男，博士研究生。研究方向：兵器制導與控制技術。