調和級數1/n發散性的證明

段佩

摘要：級數是數與函數的一種重要表示形式，是微積分理論研究與實際應用中的一種強有力的工具。在級數斂散性的討論中，調和級數的應用很廣泛，關于調和級數發散性的各種方法，對級數斂散性的學習和研究是有益的，特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會貫通的作用。本文對調和級數發散性的證明方法進行了整理，其中有些采用了與原證不同的敘述，但比原證更加具體明了。

關鍵詞：調和級數；發散性；部分和；積分法

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）16-0203-02

1 引言

級數是數與函數的一種重要表示形式，是微積分理論研究與實際應用中的一種強有力的工具。而在級數斂散性的討論中，調和級數的應用很廣泛。關于調和級數發散性的各種方法，對級數斂散性的學習和研究是有益的，特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會貫通的作用。本文對調和級數發散性的證明方法進行了整理，其中有些采用了與原證不同的敘述，但比原證更加具體明了。

2 調和級數的證明方法

證法一：利用柯西收斂原理證明[1]

證明：令ε■=■，？坌n∈N

由S■-S■=■+■+…+■

>■

=■>■

∴該級數發散

證法二：利用比階判斂法證明

證明：當P=1時，■n■·■=■n·■=1>0

根據比階判斂法可知，級數■■發散

證法三：利用反證法證明

證明：假設級數■■收斂，即1+■+■+…+■

+…=S

∵■>■，n∈N

∴S=1+■+■+…+■+…

=1+■+（■+■+■+…）+（■+■+■+…）

≥1+■+2（■+■+■+…）

=1+■+（■+■+■+…）

=■+S

即S≥■+S，矛盾

∴假設不成立，■■發散

證法四：將級數分成兩個級數證明

證明：■■分為分母是奇數和偶數的兩個級數

■■=■+■+■+■+…+■+…和？搖

■■=1+■+■+■+■+…+■+…

由于1>■>■>■>…>■>…

■2■·a■=■■=■■

而■■=■

∴■2■·a■發散，即■2■·a■=■■=■■發散

同理■■=■+■+■+…+■+…也發散

∴■■發散

證法五：應用級數■a■與■2■·a■有相同的斂散性（a■≥a■≥…≥a■≥…≥0）

證明：取a■=■（n=1，2，…）1>■>■>…>■>0

而級數■2■·a■=■2■·■=■1=+∞發散

故調和級數■■發散

證法六：利用Bertrand判別法證明■■發散

證明：a■=■

r=■（lnn）n（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n·（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n·■-1

=0<1

∴級數■■發散

證法七：證明部分和數列S■的子列S■發散

證明：S■=1+■+■+…+■…

S■=1+■+（■+■）+（■+■+■+■）+…+（■+■+…+■）

>1+■+2×■+4×■+…+2■×■

=1+（■）

=1+■

∴■S■≥■（1+■）=+∞

即■S■=+∞

∴S■發散，從而調和級數■■發散

證法八：積分法證明調和級數■■發散

證明：取f（x）=■，則f（x）在1，+∞內單調遞減連續，且f（n）=■

∵■■dx=■■■dx=■lnA=+∞

∴■■發散

3 關于調和級數■■的應用舉例

（1）判斷級數■■的收斂性。

解：∵正項級數■>■=■，

而■■發散的調和級數

由比較判別法，級數■■發散

（2）用比較判別法判斷1+■+■+■+…+■

+…的斂散性。

解：∵u■=■>■

又■■=■■■

調和級數■■是發散的，故■■發散

根據比較判別法■■=1+■+■+■+…+■+…發散

4 結語

調和級數是判斷另外一個級數發散的一種重要工具，該級數的證明方法也精彩紛呈。本文綜合了一些證明，也給出了筆者根據有關定理對該級數的證明，有一定的創新意義。

參考文獻：

[1]吉米多維奇.數學分析習題集（4）[M].費定暉，周學圣，譯.濟南：山東科學技術出版社，2005：2-16.endprint