關于數字5與7的神奇特征

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關于數字5與7的神奇特征

王仲才

（南昌理工學院江西南昌330044）

摘要：本文給出數字5與7的神奇特征，即接連的5個與7個正整數、偶數、奇數的1次方、2次方、3次方之和分別都是5與7的整數倍。

關鍵詞：5；7；正整數；平方；立方；作和

［引理1］接連的5個正整數之和是5的整數倍

證明設n為正整數，則接連的5個正整數是

n,n+1,n+2,n+3,n+4

它們之和是

證畢

［引理2］接連的5個偶數之和是5的整數

證明設n為正整數，則接連的5個偶數是

2n,2（n+1）,2（n+2）,2（n+3）,2（n+4）

它們之和是

2×［n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)］

［引理1］得知，它等于5×［2n+4］

證畢

［引理3］接連的5個奇數之和是5的整數倍

證明設n為正整數，則接連的5個奇數是

2n-1,2n+1,2n+3,2n+5,2n+7

它們之和是

證畢

［定理1］接連的5正整數的平方和是5的整數倍。

證明設n為正整數，則接連的5個正整數的平方和是

n2+(n+1)2+(n+2)2(n+3)2(n+4)2

=n2+(n2+2n+1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+ 16)

=5n2+20n+30=5×［n2+4n+6］

證畢

［推論1］接連的5的正整數倍個正整數的平方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理1］即得結論.

證畢

［定理2］接連的5個偶數的平方和是5的整數倍.

證明：設n為正整數，由［引理2］接連的5個偶數的平方和是

(2n)2+［2(n+1)］2+［2(n+2)］2+［2(n+3)］2+［2(n+4)］2

由［定理1］得知，它等于

5×［4n2+16n+24］

證畢

［推論2］接連的5的整數倍個偶數的平方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理2］即得結論.

證畢

［定理3］接連的5個奇數的平方和是5的整數倍.

證明：設為正整數，則接連的5個奇數的平方和是

(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2+(2n+5)2+(2n+7)2

=(4n2-4n+1)+(4n2+4n+1)+(4n2+12n+9)+(4n2+ 20n+25)+(4n2+28n+49)

=20n2+60n+8.5

=5×［4n2+12n+17］

證畢

［推論3］接連的5的正整數倍個奇數的平方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理3］即得結論.

證畢

［定理4］接連的5個正整數的立方和是5的整數倍.

證明：設n為正整數，則接連的5個正整數的立方和是

n3+(n+1)3+(n+2)3(n+3)3(n+4)3

=n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)+(n3+9n2+ 27n+27)+(n3+12n2+48n+64)

=5n3+30n2+90n+100

=5×［n3+6n2+18n+20］

證畢

［推論4］接連的5的正整數倍個正整數的立方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理4］.即得結論.

證畢

［定理5］接連的5個偶數的立方和是5的整數倍.

證明：設n為正整數，接連的5個偶數的立方和是

8［n3+(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3+(n+4)3］

由［定理4］得知，它等于

5×［8n3+48n2+144n+160］

證畢

［推論5］接連的5和正整數倍個偶數的立方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理5］即得結論.

證畢

［定理6］接連的5個奇數的立方和是5的整數倍.

證明：設n為正整數，則接連的5個奇數的立方和是

(2n-1)3+(2n+1)3+(2n+3)3+(2n+5)3+(2n+7)3

=(8n3-12n2+6n -1) +(8n3+12n2+6n +1) +(8n3-36n2+54n+27)+(8n3+60n2+150n+125)+(8n3+84n2+ 294n+343)

=40n3+180n2+510n+495

=5×［8n3+36n3+102n2+99］

證畢

［推論6］接連的5的正整數倍個奇數的立方和是5的整數倍.

證明：每5個一組，由［定理6］即得結論.

證畢

［引理4］接連的7個正整數之和是7的整數倍.

證明設n為正整數，則接連的7個正整數是

n,（n+1）,（n+2）,（n+3）,（n+4），（n+5）,（n+6），

它們之和是

證畢

［引理5］接連的7個偶數之和是7的整數倍.

證明設n為正整數，接連的7個偶數是

2n,2（n+1）,2（n+2）,2（n+3）,2（n+4），2（n+5），2 （n+6），

它們之和是

2n+2（n+1）+2（n+2）+2（n+3）+2（n+4）+2（n+5）+2（n+6）

=2×7(n+3)=7(2n+6)

證畢

［引理6］接連的7個奇數之和是7的整數倍

證明：設n為正整數，接連的7個奇數是

2n-1,2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,2n+9,2n+11

它們之和是

證畢

［定理7］接連的7個正整數的平方和是7的整數倍。

證明設n為正整數，則接連的7個正整數的平方和是

n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2

=n2+(n2+2n+1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+ 16)+(n2+10n+25)+(n2+12n+36)

=7n2+42n+91=7×［n2+6n+13］

證畢

［推論7］接連的7的正整數倍個正整數的平方和是7的整數倍.

證明：每7個一組，由［定理7］即得結論.

證畢

［定理8］接連的7個偶數的平方和是7的整數倍.

證明：由［引理5］和［定理7］得知這個和是

4×7×［n2+6n+13］

=7×［4n2+24n+52］

證畢

［推論8］接連的7的整數倍個偶數的平方和是7的整數倍.

證明：每7個一組，由［定理8］即得結論.

證畢

［定理9］接連的7個奇數的平方和是7的整數倍.

證明：由［引理6］得知，7個接連的奇數的平方和是

(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2+(2n+5)2+(2n+7)2+(2n+ 9)2+(2n+11)2

=(4n2-4n+1)+(4n2+4n+1)+(4n2+12n+9)+(4n2+ 20n+25)+(4n2+28n+49)+(4n2+36n+81)+(4n2+44n+ 121)

=28n2+140n+287=7×［4n2+20n+41］

證畢

［推論9］接連的7的整數倍個奇數的平方和是7的整數倍.

證明：每7個一組，由［定理9］即得結論.

證畢

［定理10］接連的7個正整數的立方和是7的整數倍.

證明：設n為正整數，則接連的7個正整數的立方和是

n3+(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3+(n+4)3+(n+5)3+(n+6)3

=n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)+(n3+9n2+ 27n+27)+(n3+12n2+48n+64)+(n3+15n2+75n+125)+ (n3+18n2+108n+216)

=7n3+63n2+273n+441

=7×［n3+9n2+39n+63］

證畢

［推論10］接連的7的正整數倍個正整數的立方和是7的整數倍.

證明：每7個一組，由［定理10］即得結論.

證畢

［定理11］接連的7個偶數的平方和是7的整數倍.

證明：設n為正整數，則接連的7個偶數的立方和是

(2n)3+［2(n+1)］3+［2(n+2)］3+［2(n+3)］3+［2(n+4)］3+［2(n+5)］3+［2(n+6)］3

=8［n3+(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3+(n+4)3+(n+5)3+(n+ 6)3］

由［定理10］得知，它等于

7×［8n3+72n2+504+312n］

證畢

［定理12］接連的7個奇數的立方和是7的整數倍.

證明：設n為正整數，則接連的7個奇數的立方和是

(2n-1)3+(2n+1)3+(2n+3)3+(2n+5)3+(2n+7)3+(2n+ 9)3+(2n+11)3

=(8n3-12n2+6n -1) +(8n3+12n2+6n +1) +(8n3-36n2+54n+27)+(8n3+60n2+150n+125)+(8n3-84n2+ 294n +343) +(8n3-108n2+486n +729) +(8n3-132n2+ 726n+1331)

=56n3+420n2+1722n+2555

=7×［8n3+60n2+246n+365］

證畢

［推論12］接連的7的正整數倍個奇數的立方和是7的整數倍.

證明：每接連的7個一組，由［定理12］即得結論.

證畢

參考文獻：

［1］王仲才.關于12與18的整數倍的另一神奇特征（續十一）［J］.江西廣播電視大學學報，2013(1).

［2］王仲才.關于數字10的神奇特征（續十二）［J］.江西廣播電視大學學報，2013(2).

責任編輯：羅義

[作者簡介]王仲才（1939-），男，遼寧遼陽人，原南昌大學教授，碩士生導師，研究方向：幾何與微分拓撲學。

[收稿日期]2015－1－27

中圖分類號：O1

文獻標識碼：A

文章編號：1008-3537（2015）02-0094-03