精細積分法在結構碰撞中的應用研究

李傳亮　王孟豪

(1.貴州省交通規劃勘察設計研究院股份有限公司　貴陽　550081;　2.河南世紀博通工程咨詢有限公司　鄭州　450000)

精細積分法在結構碰撞中的應用研究

李傳亮1王孟豪2

(1.貴州省交通規劃勘察設計研究院股份有限公司貴陽550081;2.河南世紀博通工程咨詢有限公司鄭州450000)

摘要地震會引起相鄰結構發生碰撞，導致結構損傷甚至倒塌。為更準確研究結構的碰撞問題及影響，文中將精細積分算法用于結構碰撞的求解中，并進行了公式推導和算例驗證。結果表明，精細積分法對于結構的碰撞問題是適用的，并有無條件穩定、精度高和受時間步長限制小的優點。

關鍵詞結構碰撞力學模型精細積分法積分步長

地面上相鄰的結構動力特性若存在差異，在地震發生時會引起兩結構的不同步振動[1-2]，從而導致碰撞，碰撞會對結構造成一定的損害[3]。對于地震作用引起的結構碰撞，碰撞作用力相當于突加荷載，需要做瞬態歷程分析。目前采用的求解方法[4-5]是常用的隱式積分格式，將微分化成為差分算子，使得這些方法僅具有二階精度或三階精度，且對積分步長非常敏感，從而導致計算效率的降低。文獻[6]采用具有四階精度的Runge-Kutta法求解碰撞動力方程，但是對于高頻振動計算容易發生不穩定和發散現象，而且計算所需的時間也相對比較長。

精細積分法是鐘萬勰教授于1994年提出，該方法從現代控制論的數學問題與結構力學問題互相模擬[7]，通過引入哈密頓體系中的對偶變量,對二階的動力微分方程進行降階,然后利用指數函數的精細算法得到高精度的解，可將逐步積分的計算精度極大提高，且受時間步長限制小。本文將其引入結構的碰撞問題求解中，通過結構碰撞的解析解算例，驗證精細積分法的有效性和適用性。

1碰撞理論

圖1為結構碰撞的力學模型，碰撞結構體系的動力平衡方程為

(1)

圖1結構碰撞力學模型

2精細積分法求解碰撞問題

對式(1)采用精細積分法求解如下。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式(2)～(4)可化為

(8)

式(8)即為結構碰撞問題的狀態傳遞方程。一般解為[8]

(9)

將荷載作用離散成步長Δt時間間隔，任意時刻表示kΔt為(k=0，1,2,…)，tk+1=tk+Δt，有

(10)

令T(Δt)=eHΔt

(11)

(12)

指數矩陣T(Δt)求解如下。

(13)

將指數矩陣展開為泰勒級數

(14)

(15)

式中:l為截斷階數。

若Ta與直接矩陣I相加后進行2N運算，會因計算機的舍入操作而喪失精度。為避免這一問題，式(14)計算過程如下。

(16)

計算得到(Ta)N，則

(17)

計算通過編程語言實現，求解過程為：

(2) 由式(12)得位移響應u1(tk)，u2(tk)。

(5) 重復以上(2)～(4)步驟，直至地震動輸入完成，輸出結果。

3算例驗證

通過對2小球自由彈性碰撞進行模擬，圖1中間隙d=0，2小球質量均為 2kg，自振角頻率為10.25rad/s，初始時刻u1(0)=0.1 m,u2(0)=0m，左側小球從初始位置向右側自由運動與右側小球發生彈性碰撞，假定碰撞過程中無能量損失，結構位移響應理論解見圖2。

圖2　位移響應理論解

3.1接觸單元模型

算例假定碰撞過程中無能量損失，采用線性彈簧接觸單元模型[9]模擬碰撞力。線性彈簧接觸單元模型定義當2個結構間的相對位移大于伸縮縫間距時，碰撞彈簧發揮作用，在碰撞過程中產生碰撞力。線彈性模型加載和卸載過程的力-位移關系見圖3，碰撞力的計算公式為

(18)

式中：d為伸縮縫初始間距；u1為1號結構位移；u2為2號結構位移；u2-u1為相對位移；F為碰撞力；kl為碰撞剛度。

a)　線彈性模型

b)　力-位移關系

3.2精細積分算法驗證

采用精細積分法求解，積分步長0.000 2s，位移和碰撞力時程見圖4～圖5。分析發現，基于精細積分法求解的結構響應與理論解較為吻合；計算碰撞次數為6次，總體與理論相符，但是碰撞的位置隨著時間推移出現差異，這是由于理論解滿足動量守恒定律，但真實碰撞是在瞬間完成的，而采用線性彈簧接觸模型的碰撞力總是有作用過程，這一過程隨著接觸彈簧剛度的增大而減小，其位移解也更接近理論解。

基于精細積分法求解的結構碰撞響應與文獻[10]較為一致，但文獻[10]采用隱式求解方法，積分步長為0.000 1s，是精細積分法積分步長的1/2，表明精細積分法選擇較大積分步長也不影響其穩定性，因此計算效率也較高。

分析可知，精細積分法求解碰撞問題是有效和實用的，由式(14)和(15)，精細積分法理論上可以實現任何精度。

圖4　基于精細積分法的位移解

圖5　基于精細積分法的碰撞力時程

4結語

精細積分法是一種顯示積分方法，用于結構的碰撞響應分析，使求解具有高精度和高效率的特點。經算例驗證，基于精細積分法推導的碰撞計算公式適宜于結構的碰撞研究與應用，理論上可實現任意精度，本文截斷階數取7也是合適的。

參考文獻

[1]ANAGNOSTOPOULOSSA,SPILIOPOULOSKV.Aninvestigationofearthquakeinducedpoundingbetweenadjacentbuildings[J].Earthquakeengineering&structuraldynamics,1992,21(4):289-302.

[2]MAISONBF,KASAIK.Dynamicsofpoundingwhentwobuildingscollide[J].Earthquakeengineering&structuraldynamics, 1992, 21(9): 771-786.

[3]KASAIK,MAISONBF.Buildingpoundingdamageduringthe1989LomaPrietaearthquake[J].EngineeringStructures,1997,19(3):195-207.

[4]NEWMARKNM.Amethodofcomputationforstructuraldynamics[J].JournalofEngineeringMechanics,1959,85(3):249-260.

[5]WILSONEL.Nonlineardynamicanalysisofcomplexstructures[J].EarthquakeEngineeringandStructuralDynamics,1973(3):241-252.

[6]YAGHMAEI-SABEGHS,JALALI-MILANIN.Poundingfor-ceresponsespectrumfornear-fieldandfar-fieldearthquakes[J].ScientiaIranica,2012,19(5)：1236-1250.

[7]鐘萬勰.結構動力方程的精細時程積分[J].大連理工大學學報，1994,34(4):131-136.

[8]常春馨.現代控制理論基礎[M].北京:機械工業出版社，1988.

[9]ZANARDOG,HAOH,MODENAC.Seismicresponseofmulti-spansimplysupportedbridgestoaspatiallyvaryingearthquakegroundmotion[J].EarthquakeEngineeringandStructuralDynamics,2002,31:1325-1345.

[10]ZHUP,ABEM,FUJINOY.Modellingthree-dimensionalnon-linearseismicperformanceofelevatedbridgeswithemphasisonpoundingofgirders[J].EarthquakeEngineering&StructuralDynamics,2002,31(11):1891-1913.

收稿日期：2014-09-30

ThePreciseIntegrationMethodintheApplicationofStructureImpactStudy

Li Chuanliang1,WangMenghao2

(1.GuizhouCommunicationsPlanningSurvey&DesignInstituteCo.,Ltd.,Guiyang550081,China；

2.HenanCenturyBoTongEngineeringConsultingCo.,Ltd.,Zhengzhou450000,China)

Abstract：Adjacent structures will collide with each other when the earthquake occur, resulting in structural damage even collapse, therefore the research of the collision problem of the structure is very important. In order to more accurately research the collision problems of the structure and its influence, in this paper, the precise integration algorithm is used to structure in the solution of the collision, and formula deduction and numerical example verification. The results show that the precise integration method for collision problem of the structure is applicable, and has the unconditional stability, high precision and restricted by time step of small advantages.

Key words:collision of the structure; mechanical model; precise integration method; integral step

DOI10.3963/j.issn.1671-7570.2015.01.039