計算δ函數勢阱中平均動能的方法

李明明，劉海英(濟南大學物理科學與技術學院，山東濟南　250022)

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計算δ函數勢阱中平均動能的方法

李明明，劉海英
(濟南大學物理科學與技術學院，山東濟南250022)

摘要:用量子力學基本公式F=∫ψ*F^ψdτ計算粒子在δ勢阱中運動的平均動能時，結果為負，這是由求解δ勢阱中運動方程的特殊方法造成的。采用由解定態方程得到的定態能量減去平均勢能得到平均動能的新方法，計算公式為T= E－∫ψ*Vψdτ。并研究了粒子在勢阱V( r) =－γδ( r－a)基態的平均動能。

關鍵詞:δ勢阱;平均動能;維里定理

在量子力學中，計算粒子的力學量F^平均值F—是一個核心問題［1－7］，其計算公式［8］為:

式中:ψ是粒子的歸一化波函數;ψ*是ψ的復共軛。

在微觀領域中，δ函數勢阱是一種反映微觀現象共同特征的常用的理想模型［9－12］。然而，當粒子處于δ函數勢阱束縛定態時，用式( 1)算出的平均動能是負的。這說明式( 1)不能用來計算δ函數勢阱中粒子的動能。鑒于此，本文提出了一種函數勢阱中粒子的平均動能的計算方法，并討論了式( 1)為負的原因。

1　在勢阱V( x) =－γδ( x)中的定態能量和波函數

粒子波函數ψ( x)滿足的定態方程為:

式中:μ為粒子的質量; E為束縛態能量;γ為代表δ勢阱強度的常數;為普朗克常數。

式( 2)存在束縛態的條件是E＜0。令

式( 2)變為

求解式( 3)的方法是去掉勢能發散點x=0，再解方程。在不包含x=0的全部x空間，式( 3)變為

式( 4)的解為ψ=e±ax。式( 4)滿足束縛態條件ψ( +∞)及ψ在x=0連續的一般解為

由波函數ψ的歸一化條件∫+∞ψ( x)2dx = 1，得A=槡α，則式( 5)可寫為:

－∞

式( 6)中α決定粒子的能量E，由ψ'( x)在x=0處的不連續條件［13］

確定為

由此得束縛定態能量

將式( 6)代入式( 1)，可得:

平均動能為負，這顯然不對。因此，式( 1)不能用來計算平均動能，同樣不能用來計算平均能量，因為

然而，可以證明，式( 1)計算平均勢能是正確的:

根據維里定理［14］，在束縛定態下

如果V( r→)是r→的v次齊次函數，則r→·▽V( r→) = vV( r→)，式( 9)寫為:

對于V( x) =－γδ( x)，V(λx) =－γδ(λx) =λ－1γδ( x) =λ－1V( x)，V( x)是x的v=－1的齊次函數。于是，式( 10)改寫為:

將式( 8)代入式( 11)，得T =μγ2/( 22)。由此得到的能量為:

這個結果同式( 7)一致。這就證明了，用式( 1)來計算粒子的平均勢能是正確的。因此，正確計算平均動能的方法是由解定態方程得到的定態能量E減去由公式( 1)的算出平均勢能V ，得:

由式( 12)算出平均動能T=μγ2/( 22)，這是正確的結果。雖然，式( 11)也給出了正確的平均動能，但是式( 11)不具有一般性，如果δ函數勢阱形式稍有改變，如改為三維勢V(→r) =－γδ(→r－→α)，式( 11)就不適用了。而式( 12)具有普遍性，因為它來源于基本的能量公式H=T+V。

2　粒子在勢阱V( r) =－γδ( r－a)基態的平均動能

在中心力場V( r) =－γδ( r－a)中，軌道角動量是守恒量。令定態波函數

式中Ylm(θ，φ)為球諧函數。

將式( 13)代入定態方程

得徑向波函數u1( r)滿足的方程［15］

基態必定是l=0的態。令l=0的波函數u0( r)≡u( r)。在式( 14)中，令l=0得u( r)滿足的方程

在勢阱V( r) =－γδ( r－a)中，要形成束縛態，能量E＜0。令

式( 15)變為:

在r≠a的全空間，方程( 17)改寫為:

式( 17)的解為u( r) = e±kr。方程( 16)的一般解由ekr與e－kr的線性組合構成，而滿足條件u( 0) = 0與u(∞) = 0的解為

由波函數的連續條件u1( a) = u2( a)得B=( e2ka－1) A，代入式( 18)，得

于是，l=0的基態波函數為

由波函數歸一化條件∫∞ψ( r)24πr2dr = 1，得ψ( r)中的歸一化常數

0

徑向波函數一階導數u'( r)在r=a處的不連續條件為:

波函數k中以及定態能量E決定。將式( 19)代入式( 21)，得

式( 22)是k或k中所含定態能量E滿足的超越方程。這個方程只能用作圖法或數值計算法求解。由作圖法得，方程( 22)有解的條件是勢阱強度γ＞2/( 2μa)。選擇勢阱強度γ=2/(μa)，用數值計算法計算值與定態能量E。令γ=2/(μa)，并令x=2ka，式( 22)變為

用數值計算法求得式( 23)的解為x=1．593 6。再由x=2ka=槡2μ E/2，算出

將式( 20)代入式( 1)得

計算出的平均動能是負的。這又一次說明公式( 1)是不適用的，必須用式( 12)計算平均動能。式( 12)中的定態能量E已經求出，E=－0．317 42/(μa2)，則平均勢能

3　討論

平均動能取負值的原因是由δ勢場定態方程的求解方法決定的。以式( 13)為例。由于在此勢阱的束縛態能量E＜0，令E=－|E|。方程變為

式( 25)含有δ函數，這個方程是無法求解的。為了能求解這個方程，不得不去掉r=a點，在不包括r=a點的空間，方程變為這正是動能算符T=－2▽2/( 2μ)的本征值T=－|E|的本征方程。這就是說，要求解的波函數是動能算符的本征值為－|E|(這也是束縛定態能量)的本征函數E。因此，由這個波函數算出的動能平均值必然是負的。

在求解定態方程時，去掉了勢能發散點，因而去掉了δ函數勢，卻能求出δ函數勢中的定態能量。這是因為計算中用到ψ'在勢能發散點r=a的不連續條件這個條件是由含有δ函數勢的定態方程推導出的。

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(責任編輯:郎偉鋒)

Method for Calculating Average Value of Kinetic Energy in the Potential Well Function

LI Mingming，LIU Haiying
( School of Physics and Technology，University of Jinan，Jinan 250022，China)

Abstract:In quantum mechanics，the general formula of the average value for physical quantity F^is F= ∫ψ*F^ψdτ．However，it is not valid for the calculation of the kinetic energy of the particle in a δ-function potential well，since it gives a negative value for the kinetic energy，which is caused by the special method of solving the motion equation of the potential well．A new method to obtain kinetic energy is adopted by using the steady state energy obtained by the solution of the steady state equation minus the average potential energy，the function is T = E－∫ψ*Vψdτ．The average kinetic energy of particles in the ground state of the potential well V ( r) =－γδ( r－a) is studied．

Key words:δ－function potential well; average kinetic energy; Virial theorem

作者簡介:李明明( 1965—)，女，山東壽光人，副教授，主要研究方向為理論物理．

基金項目:濟南大學教研項目( W201402)

收稿日期:2015－05－10

DOI:10．3969/j．issn．1672－0032．2015．02．016

文章編號:1672－0032( 2015) 02－0082－05

文獻標志碼:A

中圖分類號:O41