一維有限深勢阱的轉移矩陣法求解

陳鳳翔 曹功輝 汪禮勝

(武漢理工大學理學院物理科學與技術系，湖北 武漢 430070)

一維勢阱是量子力學中最簡單最基本的模型，在量子力學教學和科研過程中起著基礎性作用[1]。其理論結果在許多實際系統中也得到了很好的應用，比如在低維量子系統(如量子點、量子面、量子線等)中[2]。但作為量子力學中的基本方程，薛定諤方程[3]的求解卻并不簡單，在《量子力學》課程的教學過程中，除了一維無限深勢阱、一維諧振子勢等特殊一維情形有解析解外，一般情形很難求解。即使對于處在一維有限深勢阱中的運動的粒子，當其處于束縛態時，由于確定其能級的是超越方法，無法具體給出它們的能級的解析表達式和歸一化波函數[4]。

薛定諤方程的求解可分為解析法和數值法兩種，解析法主要有WKB法、變分法等，數值法有打靶法[5]和有限元(FEM)法等。作為一種有益的探索，本文以處理多層光波導問題的轉移矩陣(TM)法為算法，求解粒子在不同一維有限深勢阱中運動的能量本征值，并利用Matlab作為計算工具，繪制出對應的波函數圖像。采用TM方法計算，通過不同勢阱的設置，可以得到定性的準解析規律性結論，為解釋實驗現象提供重要的理論依據。而且，在《量子力學》課程的學習中，學生可借助不同勢阱的計算分析將理論學習進行拓展，更直觀更透徹地理解一維勢阱相關方面的知識點，加深對相關物理概念的理解。

1 轉移矩陣法

1.1 算法應用依據

轉移矩陣法起源于光學，用于計算多層薄膜介質的反射率和透射率。在光波導技術中，轉移矩陣法用來建立不同介質層間的場分布聯系。而經過對比發現：不含時的薛定諤方程與平板波導的波動方程在形式上是一致的；同時一維勢阱模型與平板波導模型相類似，因而轉移矩陣法也能夠用于解決一維有限深勢阱問題[6]。

平板波導的波動方程為[7]

(1)

其中k0=2π/λ，是光在真空中的傳播常數，Ey為y方向的電場，β為電磁場沿z方向的傳播常數，nj對應于波導中不同層的折射率，j=0,1,2。

不含時的一維薛定諤方程形式為

其中V(x)表示勢能，m為粒子質量，E和ψ分別代表粒子的能量本征值和本征函數，上式經過變形，有：

(2)

對比方程(2)與方程(1)即可發現：這兩個方程在形式上是一致的，方程(2)中的本征函數ψ即對應方程(1)中的電場強度Ey，因此兩個方程可采用相同的方法求解。

按照波動光學理論，光波是電磁橫波，光波在空間任意位置的電磁場強度及所在介質性能之間的聯系都是通過Maxwell方程組和物質方程建立，電磁波在兩種介質形成的界面上反射和透射時的振幅反射因數和透射因數均可以由菲涅耳公式確定。若是一個多界面的薄膜系統，則根據以下兩點[8]：(1)在每一界面處運用電磁場邊界條件，將同一界面兩側的場分布聯系起來；(2)利用與電磁場傳播相伴隨的相位差，將同一膜層上下兩界面內側的場分布聯系起來，可將多界面系統看作是入射介質與薄膜、基底形成的等效介質之間的界面。將以上思路應用到任何一個復雜的薄膜系統，此時系統中光反射率和透射率問題，都可以通過其等效界面對應的等效介質進行計算。等效介質的光譜特性可以采用一個特征矩陣來表示，該矩陣也稱之為轉移矩陣。

非對稱平板波導的模型如圖1所示。通常來說折射率有n1>n0>n2，導波光可被約束在導波層中進行傳播。將導波光類比為勢場中運動的粒子，粒子會被約束在勢能較低處運動，則導波層可看作勢阱中勢能低的地方，襯底層和覆蓋層可看作勢能相對較高的地方。從這一角度看，勢阱中粒子運動的模型和波導中導波光的傳播模型是一致的?；谝陨戏治?，可將轉移矩陣法應用到不含時薛定諤方程的求解。而在實際應用中，例如超晶格量子阱，雖然由能隙不同的材料組成可以形成復雜的勢阱，但系統的基本特征完全可以通過有限深勢阱問題獲得很好的理解[2]。

圖1 非對稱平板波導模型

1.2 建模與求解

對方程(1)的求解，首先選取兩個特解E1(x)和E2(x)，使之滿足E1(0)=E′2(0)=1和E′1(0)=E2(0)=0。則方程(1)的通解可設為E1(x)和E2(x)的線性疊加，即

Ey(x)=C1E1(x)+C2E2(x)

(3)

在區間(0，d)界面上，根據(3)式可給出場分布及其導數，建立0-d界面上的轉移關系：

(4)

(5)

可以看出，轉移矩陣僅和區間內的折射率分布、傳播常數以及d有關。借助轉移矩陣M，界面x= 0和x=d處的電磁場分布建立起聯系。而利用矩陣逆陣的概念，可得反向傳遞關系，有：

(6)

由于矩陣M及其逆陣是互為逆矩陣的關系，通常兩者都被稱為轉移矩陣。

轉移矩陣法理論上可以求解任意的一維勢阱，一維勢阱的基本型就是一維方勢阱或一維類方勢阱。對于基本的一維方勢阱，勢能分布如圖2所示。

圖2 一維方勢阱

對應束縛態的波函數為[7]

(7)

其中

(8)

由轉移矩陣理論，波函數ψ(x)及其一階導數ψ′(x)應滿足矩陣方程

(9)

根據束縛態波函數以及一維方勢阱勢能分布，可以得到波函數邊界條件

(10)

將邊界條件代入矩陣方程并進行一些簡單的變換，就可得到方程

(11)

求解方程(11)即可獲得粒子的能量E和相應的波函數ψ(x)。

圖3 一維任意勢阱

根據以上算法，可將一維方勢阱推廣到任意的一維任意勢阱。對于一維任意勢阱，其勢能分布如圖3所示。在x<0和x>d的區域，波函數已衰減到足夠小，勢場的變化帶來的影響微乎其微，因此可在這兩點截斷，考慮x<0時，V(x)=V0，x>d時，V(x)=V2(V0，V2均為有限值)。在0

(12)

于是有

(13)

若在0E，即勢場能量高于粒子能量，此時可定義

κi=iαi

(14)

利用恒等式

sin(ix)=isinh(x),cos(ix)=cosh(x)

則無需改變運算規則，同樣可利用轉移矩陣方法運算?？梢园l現計算過程中微元細分得越多，得到的能量本征值和波函數就越精確。

2 四種一維有限深勢阱計算結果

圖4給出了采用Matlab計算的流程圖。對于不同的有限深勢阱，在勢阱形狀參數設定后，可根據方程(11)求解粒子能量E值，如果E值滿足束縛態條件，則繼續運行得到勢阱中的波函數和粒子的位置分布概率圖示。

圖4 一維有限深勢阱中波函數、位置分布概率圖像繪制流程圖

2.1 一維對稱有限深勢阱

圖5(a)為一維對稱有限深方勢阱，圖中勢阱為2nm寬，兩邊勢壘高度為2eV，勢阱內以不同顏色的線從低到高分別來表示n=1,2,3所對應的基態能量和激發態能量。圖5(b)和圖5(c)則分別給出了相對應能級的波函數和位置分布概率。在實際物理問題中，微觀粒子可以被勢阱所束縛，但勢阱并不是無限深，而是幾個電子伏的有限深勢阱。從圖5中結果可以看出：有限深勢阱中粒子的能量仍然是離散化的；在基態情況下，微觀粒子最可能的位置仍然是位于勢阱正中。此結果表明，無限深勢阱雖是一個理想模型，但在一定條件下，很多系統都可以抽象為無限深勢阱問題來處理。但有限深勢阱結果和無限深勢阱結果仍略有不同。由于微觀粒子并不能穿透無限深勢阱，因此在無限深勢阱中粒子波函數表現為在邊界上截斷的正弦波，而有限深勢阱中，無論是處于基態還是激發態，粒子均有一定幾率穿出勢阱，粒子波函數延續超出勢阱邊界，而且隨著粒子能量的增加，穿出勢阱的概率逐漸增大。

2.2 一維不對稱有限深勢阱

在三層材料體系中，若是左右兩邊生長的薄層材料不一樣，則為不對稱有限深勢阱，如常見的非對稱平板波導結構。圖6(a)給出了不對稱有限深勢阱的典型結構，為便于與圖5結果對比，勢阱仍設置為2nm寬，但左勢壘高度降為1eV，而右勢壘高度保持為2eV。圖6(b)給出n=1,3,5時的粒子波函數結果，可以看出：當粒子能量較低時，如n=1,3時，此時不對稱勢阱對粒子的波函數并無太大影響；而當粒子能量較高，如n=5時，粒子能量高于左勢壘，此時的波函數連續進入左勢壘，類似波導結構中的“輻射?！?。而從圖6(c)來看，不對稱勢阱對粒子的位置分布概率也有影響，n=1基態時位置分布概率不對稱情形并不明顯，但隨著能量的升高，如n=3時，位置分布概率的不對稱性明顯增加，粒子進入低勢壘側的幾率增大，

圖6 一維不對稱有限深勢阱結果演示(a) 勢阱； (b) 波函數； (c) 位置分布概率

而對于n=5，粒子有更高的概率存在于低勢壘中。

2.3 一維類三角勢阱

超晶格量子阱物理自20世紀70年代以來得到了長足的發展，不同形式的載流子的運動規律及在外場作用下的輸運問題得到較好的研究[9]。在半導體器件中，單個異質界面，如MOS結構中Si/SiO2，GaAs/AlGaAs界面附近，載流子被限制在一很窄的勢阱中，通常將這類勢阱稱為類三角量子阱，這是在電子器件問題中最常遇到的情形[10]，同樣可以采用TM理論來討論類三角勢阱中的波函數分布。

圖7 一維類三角勢阱結果演示(a) 勢阱； (b) 波函數； (c) 位置分布概率

圖7給出了一維類三角勢阱的形式、波函數與位置分布概率的演示，給出的能級分別為n=1,2,3。從圖7(a)來看，此時勢阱中能級分布并不是均勻的，隨能級升高，能級間的能量間隔逐漸減小。在圖7(b)中，粒子的波函數在勢阱左端全部為零，這是因為在實際的Si/SiO2界面，勢壘高度可到3eV，波函數向勢壘區滲入的影響完全可以忽略，效果類似無限深勢阱中的“剛性壁”。而從圖7(c)來看，隨能級升高，粒子的分布概率呈準周期性的振蕩，振蕩周期越來越大，振蕩幅度也越來越大，粒子很容易穿出右側勢阱而到達勢阱外。對比分析類三角勢阱和方勢阱，可以發現：方勢阱的底部水平，因此能量一定時德布羅意波長是個常數，對應波函數相鄰兩個節點的間距相等，這滿足正弦函數的數學表征[9]；而對于類三角勢阱，勢阱底部從左到右上升，粒子的能量與勢能之差減小，因此能量一定時德布羅意波長從左到右不斷增大，波函數相鄰兩個節點的間距越來越大，振蕩周期就越來越大。

2.4 一維有限對稱雙階梯勢阱

在半導體多層材料體系中，不同材料間的緩沖層設計可用來減少材料間的晶格失配，降低材料的表面、界面復合，形成的雙面異質結的能帶結構，則對應圖8(a)中的對稱雙階梯勢阱，也可以將它視為一個簡化的雙勢阱模型[11]。

圖8 一維有限雙階梯勢阱結果演示(a) 勢阱； (b) 波函數； (c) 位置分布概率

圖8(b)中給出了n=1,3,5時的波函數演示結果。從圖(b)中可以看出，在對稱勢阱中，波函數的分布始終是對稱的。當n=5時，粒子的相應能量高于較低勢阱，此時波函數連續進入了中間勢阱。而從圖8(c)的位置分布概率來看，此時粒子有更高的概率進入在中間勢阱中。

3 總結

本文將處理光導波問題的TM法成功運用到求解一維有限深勢阱的不含時薛定諤方程中，得到了粒子在不同勢阱內運動的能量本征值，并給出了粒子波函數和位置分布概率的圖像，直觀地反映出粒子在勢阱內的分布情況。借助Matlab強大的計算功能，可根據實際的物理問題和物理圖像，對四種不同的一維有限深勢阱進行設置，直觀地顯示不同勢阱中的計算結果，這對學生學習《量子力學》是一個很好的輔助應用，能夠幫助學生更深入地理解粒子在勢場內的位置分布概率、運動行為等，加深對量子知識的理解。