例說習題資源的使用——以線性代數課程為例

例說習題資源的使用
——以線性代數課程為例

張 群 英，陳 建 華

(揚州大學 數學科學學院，江蘇 揚州 225002)

摘要：大學數學教與學的過程中，如何充分發揮教材習題的功能呢?本文以線性代數課程為例，通過具體案例從習題求解、合理變通和尋找聯系三個層面進行了初步探究，并深度思考了在教學過程中如何將習題進行適當地引申、拓展、調整和重組，既要深入領會習題的編寫意圖，充分發揮習題的練習功能，又要創造性地使用習題，提高練習的有效性。

關鍵詞：習題；功能；優化使用；矩陣；向量組

收稿日期：*2015-01-04

基金項目：江蘇省研究生教改課題(教育碩士數學方法論課程問題化學習的構想與實踐)(JGLX14-131)

作者簡介：張群英(1975-)，女，江蘇省泰州人，博士，講師，研究方向：應用數學。

中圖分類號：O151.21；G642文獻標識碼：A

0引言

習題是學生進行有效學習的載體，大學數學課程也是如此。對于學生來說，習題是數學學習過程中不可或缺的重要環節，是學生掌握知識、形成技能、發展能力的主要載體，是溝通知識與能力的橋梁；同時也是教師了解學生知識掌握情況的主要途徑。然而，在實踐中，許多大學生在學習大學數學的過程中，特別是考研復習過程中，過多地關注練習卷、教輔書等課外資料，而忽視課本上的例題和習題，丟棄了很多重要的學習資源。教師對教材習題及其練習過程的設計也較少深入研究，往往只是把教材習題作為作業布置給學生，缺少對習題深度的挖掘，使得習題功能弱化，教材意圖不能凸顯，教學效果不盡如人意。如何幫助學生充分發揮習題功能，讓學生能練出一片精彩呢？為此，我們依托線性代數課程，進行了膚淺的探究。

1案例解析

1.1從一道研究生入學試題說起

習題A設向量組α1,α2,α3線性無關，則下列向量組中，線性無關的是()。

(A)α1+α2,α2+α3,α3-α1，

(B)α1+α2,α2+α3,α3+2α2+α1，

(C)α1+2α2,2α2+3α3,α1+3α3，

(D)α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3

該題是1997年全國碩士研究生入學考試高等數學試題，是檢查學生基礎知識掌握情況，具有較好區分度的一道題。

從題面看該題是關于向量組的線性相關性的判定，在與學生交流解法時發現，有一半同學是根據線性無關的定義去解題，這樣做不但容易出現表述錯誤，而且也很費時間。仔細解讀，我們應該會意識到命題者不可能讓考生一種做法重復多遍。事實上，選項(A)通過直接觀察很快會得到判定：第二個向量減去第一個向量就是第三個向量，即第三個向量可以通過前兩個向量線性表示，當然是線性相關的。同理可以給出選項(B)的判定。關于選項(C)和(D)，我們將其表述作如下改變：

聯系分塊矩陣運算和矩陣秩的結論，那么向量組的線性相關性取決于矩陣P,Q的秩，很快就能得到結論。實際上，這就是波利亞在總結解題時的觀點：我們必須一再地變化它，重新敘述它、變換它[1]。矩陣的秩是線性代數課程的核心概念之一，在這個改變的動態過程中，學生能夠感性地認識到矩陣秩的本質意義。而借助于矩陣秩來討論向量組的線性相關性，也正是通過矩陣分塊方法產生的簡潔的、一般化的解法。這兩者之間是有著內在關聯的，教材習題就有這方面的體現，如文獻[2]第四章習題19就是這一思路的課本原題，參見習題B。

習題B設向量組(B):β1,β2,…,βr能由向量組(A):α1,α2,…,αs線性表示為

(β1,β2,…,βr)=(α1,α2,…,αs)K(*)

其中K為s×r矩陣，且向量組(A):α1,α2,…,αs線性無關。證明：向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關的充分必要條件是矩陣K的秩為r。

1.2合理變通，揭示規律深化理解

如何讓學生在理解上述方法意義的基礎上，感悟方法選擇的靈活性、促進知識的自主建構呢? 讓我們對習題B做進一步解讀。

習題B條件的必要性：令B=(β1,β2,…,βr),A=(α1,α2,…,αs)，則由向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關，可得矩陣向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關，即它的秩為r，再由r≥R(K)≥R(AK)=R(B)=r可知R(K)=r；而條件的充分性可以用反證法考慮如下：

假設向量組(B):β1,β2,…,βr線性相關，則存在不全為零的r個數l1,l2,…,lr使得(β1,β2,…,βr)(l1,l2,…,lr)T=0，即有(α1,α2,…,αs)K(l1,l2,…,lr)T=0，又因為α1,α2,…,αs線性無關，故有K(l1,l2,…,lr)T=0，這表明矩陣K的列向量組線性相關，與矩陣K的秩為r矛盾。

特別地，當r=s=n時，關系式(*)就是n維向量空間中兩組基的關系，而矩陣K就為一組基到另一組基的過渡矩陣?；氐皆囶}A，那就是當α1,α2,α3是3維空間的一組基時，哪一選項中的向量組也是空間基向量組。如果能聯系線性方程組理論習題B還有下列解法：

構造齊次線性方程組

x1β1+x2β2+…+xrβr=0(* *)

記X=(x1,x2,…,xr)T，B=(β1,β2,…,βr)，則(* *)為BX=0，由下列充要條件：

向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關?齊次線性方程組BX=0只有零解?

AKX=0只有零解?KX=0只有零解?R(K)=r。

問題得證。

這一解法思路來源于線性代數經典教材[3]第四章習題16。

習題C設B為r×r矩陣，C為r×n矩陣，且矩陣C的秩為r。證明：

(1) 如果BC=O，則B=O；

(2) 如果BC=C，則B=E。

1.3尋找聯系，延伸拓展思維空間

綜合上述三道題的思想，再融合矩陣運算，我們編擬了以下習題：

2深度思考

數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程?；匚栋咐治鲞^程，思索究竟如何合理有效利用課本習題，下面結合教學實踐談幾點看法，與同仁分享。

2.1充分發揮習題功能，讓學生練中提高

日常教學中，對于課本習題的練習，學生通常會表現出目標不明，為練而練；重視結果，忽視過程；弱化操作性習題；強調練習，忽略體驗等。改變這些習慣可以在指導學生解題過程中按如下策略糾正。(1)多解求活。經常性地對學生進行一題多解的訓練，對培養學生思維的靈活性和發散性是很有幫助的。譬如，改變習題呈現方式就能激發練習主動性，促進學生主動參與，讓他們在參與中體驗成功，在參與中體會數學學習帶來的無窮魅力。(2)多變求深。如案例中設立四個問題，如果能讓學生解答、分析、交流問題的思考過程，領會它們在解法上的相通之處。這樣的改變，就可以幫助學生進一步提高分析問題和解決問題的能力。(3)結論延伸。如果在教學中，運用案例中提及的習題，從(A)到(C)，有計劃適時地介紹給學生，在學生不斷感受矩陣、向量之間的規律聯系，形成對“秩”的感性認識后，再安排習題D進行鞏固練習。這樣做，學生的思維就能得到拓展。

2.2優化使用教材習題，提高習題的利用率

課本上的習題雖經專家審定，但是教師仍然應該根據學生具備的知識和技能的實際情況選擇適當的習題進行練習。

一方面，選擇習題要“百里挑一”。從眾多的數學習題中選擇到恰到好處的習題，這就需要我們在“精”字上下功夫。精選習題的目的要明確，針對性要強。也就是說選擇的習題能夠對癥下藥。 精選習題示范性要好，選擇一題要能夠代表一片。例如，我們在講解完矩陣與向量組的秩后安排如下習題：已知向量組(I)α1,α2,α3；(II)α1,α2,α3,α4；(III)α1,α2,α3,α5.如果各向量組的秩分別為R(I)=R(II)=3，R(III)=4，證明：向量組α1,α2,α3,α5-α4的秩也為4。訓練的目的性和示范性就能很好地體現，從橫的方面溝通了矩陣與向量組的聯系、線性無關與向量組的關系，從方法看彰顯了矩陣列分塊的作用，矩陣初等行變換討論秩和列向量組線性相關性的效能。

另一方面，運用習題要“以一當百”。數學習題的運用不能僅僅滿足一題一解一問一答，需要我們在運用習題時注意在“活”字上做文章。同一道題，從多方面提出問題，讓學生思考問題，就能夠達到“練一題，帶一串”的效果。同一道題，教師可結合學生實際，從不同方面啟發，引導學生從不同角度去思考，用多種方法來解答，就能很好地發展學生的思維。

2.3巧用教材習題，優化學生思維品質

注意整合習題內容提高練習有效性。在教學中，我們要根據學生實際和課堂需要靈活使用教材習題，適時地對書中的習題進行調整或改編以提高學生的學習興趣。譬如， “設A是3階矩陣，矩陣A的每行元素之和等于3” ，提法生活化且直觀，數學的理解它告訴我們3是矩陣A的一個特征值，α=(1,1,1)T是對應的一個特征向量；“β,γ是AX=o的兩個線性無關的非零解”就知道0是矩陣的特征值，β,γ是對應的特征向量。 兩個條件結合就提供了3階矩陣A的全體特征值和特征向量，這種變呆板為新穎有利于激發學生的學習興趣。

拉卡托斯曾經指出：“整個數學理論體系本身就是通過理論的不斷批判和反駁而生長，通過理論的更新和競爭而取得進展的”[4](P28-29)。教學過程中，我們應該充分利用課本習題，培養學生獨立思考習慣，養成善于揚棄的思維品質。

現代認知心理學家奧蘇伯爾指出："影響學習最重要的因素是學生已經知道的知識”[5](P114)，因此在習題教學中，對于難度較大的習題要設計好知識鋪墊，面向全體學生，力爭全體學生參與知識的獲取過程。讓學生在練習中有成功感，培養學生良好的學習心理。

3結束語

總之，教材習題是對教學內容的鞏固和發展。用好用活習題，是提高數學課堂教學效率、增強教學有效性的重要環節，需要引起教師足夠關注。充分發揮習題功能，這與教師對教材的理解、教材的處理能力息息相關。對教材習題有效使用策略的選擇和運用，要求教師在認真鉆研習題的基礎上，靜心解讀編寫意圖，精細設計練習過程，盡可能放大習題資源的教學功能，做到“題”盡其用，將習題教學演繹得更加精彩。

參考文獻〔〕

[1][美] G·波利亞.涂泓，馮承天譯．怎樣解題：數學思維的新方法[M]．上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]同濟大學應用數學系編．線性代數(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編，王萼芳，石生明修訂. 高等代數[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[4][英]伊姆雷.拉卡托斯.證明與反駁[M]．康宏逵譯.上海：上海譯文出版社，1987.

[5]李士锜．PME:數學教育心理[M]．上海：華東師范大學出版社，2005.

[6]張立政．用好課本例題習題，優化學生思維品質[J]．數學通報，2014，(12)：22-24.

Example Research of the Use of Exercise Resources

——Taking Linear Algebra Course as an Example

ZHANG Qun-ying,CHEN Jian-hua

(School of Mathematics Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002)

Abstract:In the teaching and learning process of university mathematics,how to make best use of the function of textbook exercises? Taking linear algebra course as an example,preliminary exploration has been studied on three levels of problem solving,reasonable accommodation and finding relations through specific case analysis. And it is also deeply analyzed on how to extend,develop,adjust and restructure the exercises appropriately in the teaching process. It’s important for students not only to thoroughly understand the writing intention of exercises and take good advantage of the practicing function of exercises,but also to creatively use exercises and improve the effectiveness of practice.

Key words:Exercises;Function;Optimum use;MatrixVvector group