常系數線性齊次矩陣列及函數列遞歸關系的解法

張 慶，王朝霞

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

常系數線性齊次矩陣列及函數列遞歸關系的解法

張 慶，王朝霞

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

常系數線性齊次數列遞歸關系有求通項的一般方法，對于常系數線性齊次矩陣列遞歸關系及函數列遞歸關系目前還沒有這方面的研究。本文把這一方法推廣到常系數線性齊次矩陣遞歸關系及函數列遞歸關系上，給出了這兩類遞歸關系的通項公式。

遞歸關系；特征根；矩陣列；函數列

1 預備知識

定義1[1]若數列｛un｝n≥0滿足遞歸關系

其中k,a1,a2,Λ,ak是與n無關的常數，且ak≠0，（1）稱為常系數線性齊次遞歸關系；

使得上述遞歸關系成立的un的通項公式，稱為遞歸關系的解。稱

為(1)的特征方程，特征方程的k個根q1,q2,Λ,qk稱為(1)的特征根。

特征根可以是復數，也不一定互異。但因ak≠0，故所有特征根都非零。

引理1[1]若遞歸關系(1)的特征方程(2)有k個不同的根q1,q2,q3,Λqk則

是遞歸關系（1）的通解，其中c1,c2,Λ,ck為任意常數。

引理2[1]若遞歸關系(1)的特征方程(2)共有t個不同的根q1,q2,Λ,qt，它們的重數分別為m1,m2,Λ,mt，則遞歸關系(1)的通解為：

為任意常數。

上述定義及引理中數列的項un是數，下面要把上述結果推廣到矩陣列和函數列。

2 主要結果

2.1 常系數線性齊次矩陣列遞歸關系的解法

定義2若s×t矩陣列｛An｝n≥0滿足遞歸關系

雖然非齊次數列的遞歸關系沒有一般的解法，但某些非齊次數列的遞歸關系可以利用常系數線性齊次遞歸關系來解[2]。同樣，某些非齊次矩陣遞歸關系、函數列遞歸關系也可以利用常系數線性齊次矩陣遞歸關系、函數列遞歸關系來解，只舉一例。

例5已知定義域為I的實函數列｛fn（t ）｝滿足遞歸關系：

并且對任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，求函數列fn（t）的通項。

這是一個常系數線性齊次函數列遞歸關系。特征方程為：

實際上，如果定義域為I的實函數列｛fn（t）｝，滿足形如

的遞歸關系，n≥2，并且對任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，都可以按例5的方法求出fn（t）通項。

[1] 陳景林.閻滿富.組合數學與圖論[M].北京:中國鐵道出版社, 2000:60-66.

[2] 盧開澄,盧華明.組合數學(第4版)[M].北京:清華大學出版社,2006:61-67.

（責任編輯、校對：趙光峰）

The Solution of Constant Coefficient Linear Homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function Recursive Relation

ZHANG Qing, WANG Zhao-xia
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal College, Tangshan 063000, China)

There is a method of finding a general form for solution of recursive relation of constant coefficient linear homogeneous series, however, there is no research on area of constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation. This paper will extend the method for the constant coefficient linear homogeneous series to constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation and two sets of general form formula was given for above recursive relation.

recursive relation; characteristic root; sequence of matrix; sequence of function column

O157

A

1009-9115(2016)02-0020-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.006

唐山師范學院教學改革項目（JJ2014009）

2015-11-01

張慶（1960-），男，上海松江人，教授，研究方向為函數論。