基于Matlab的兩類曲面積分計算

林 鑫，高發玲

（青島理工大學 琴島學院基礎部，山東 青島 266100）

基于Matlab的兩類曲面積分計算

林 鑫，高發玲

（青島理工大學 琴島學院基礎部，山東 青島 266100）

兩類曲面積分的計算是高等數學中的重點和難點之一，利用MATLAB軟件在繪圖和數值計算上的優勢，可以達到簡化積分運算，提高教學效率的目的。本文以定義法和參數方程法為依據給出程序，闡述了Matlab程序在曲面積分計算中的作用。

曲面積分；Matlab；參數方程

《高等數學》是理工類專業學生必修的一門基礎課程，既為學生學習后續課程和鉆研現代科技知識提供了必備的數學工具，也是對學生抽象思維，邏輯分析等能力的一種培養和鍛煉。曲面積分的計算一直都是高等數學中的一個難點，圖形復雜，計算繁瑣，單純運用傳統板書教學講解很難達到形象與直觀的效果，而Matlab具有強大的數值計算與圖形繪制功能，能夠快捷有效地解決上述種種問題。通過Matlab與教學過程的相融，可以開闊學生的思維，提高學生對科技軟件的認知以及應用數學知識的能力。本文以兩類曲面積分的計算為例，探討Matlab在高等數學教學中的應用。

在Matlab程序中，int是處理積分計算的常用語言命令之一。例如，int(f,u,a,b)可以用來計算一元函數定積分，也可以用來計算曲線積分。其中，f表示被積函數，u是積分變量，a是積分下限，b是積分上限。a，b可以是實數或函數式或無窮大。當被積函數是一元函數時，可以省略變量u；當被積函數為多元函數，那要特別指明u為積分變量。當求解一元不定積分時，則可以省略積分限。對于二重積分與三重積分的計算，可以通過兩次或者三次調用int函數來實現。積分限的確定則需要依據被積函數和積分區域的形狀來考慮，一般選取直角坐標形式，如果被積函數為f(x2+y2)型或者積分區域為圓扇形等類似區域，則選取極坐標形式引入參數方程。對于曲面積分，Matlab中沒有現成的函數命令可供調用，不妨將它轉化成二重積分，通過重復調用int來計算。

1 第一類曲面積分的計算

第一類曲面積分的計算起源于對密度不均勻的空間曲面總質量的求解。若空間上某曲面Σ的密度函數為f( x, y, z)，則該曲面的質量可以用如下曲面積分表示：

若曲面Σ為z=z( x, y)，則積分(1)可以轉化為xoy平面上的二重積分[1,p217]：

被平面z=0和z=2所截得之間部分，下側為正[1,p228]。

解首先，畫出拋物面與平面z=2的圖形，得到兩面交線以及交線在坐標面xoy上的投影曲線，并觀察積分區域，見圖1。具體程序如下：

3 結語

通過Matlab與曲面積分教學過程的相融，使得原本抽象的概念逐漸形象化，原本復雜的運算逐漸簡單化，這大大降低了教與學的難度，提高了學生對于問題的理解能力，增強了學生學習曲面積分的信心，也鍛煉了學生對于Matlab程序的編寫能力。

[1] 同濟大學數學系.高等數學第六版(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2] 馬莉.MATLAB數學實驗與建模[M].北京:清華大學出版社, 2010:116-117.

[3] 仇海全,潘花.MATLAB在重積分計算中的應用[J].重慶工商大學學報自然科學版,2012,29(4):50-54.

（責任編輯、校對：趙光峰）

The Computation of Surface Integral Based on Matlab

LIN Xin, GAO Fa-ling
(Fundamental Courses Department of Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266100, China)

The first and the second type surface integral are difficult to understand in calculus, however, it can be simplified by use of the powerful functions of mathematical graphics and numerical computing with MATLAB. Based on the Definition and the parametric equation, the program is given to show its efficiency in this paper.

surface integral; Matlab; parametric equation

O172.2

A

1009-9115(2016)02-0024-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.007

山東省科技項目（J15LI57）

2015-11-19

林鑫（1982-），女，山東青島人，碩士，講師，研究方向為高等數學及數學建模。