線彈性范圍內鋼懸臂梁的阻尼特性試驗研究①

謝偉平， 郭 漫， 孫亮明

(武漢理工大學土木工程與建筑學院， 湖北 武漢 430070)

線彈性范圍內鋼懸臂梁的阻尼特性試驗研究①

謝偉平， 郭 漫， 孫亮明

(武漢理工大學土木工程與建筑學院， 湖北 武漢 430070)

采用材質相對均勻、結構較為簡單的鋼懸臂梁為試驗對象，通過自由振動試驗，研究了阻尼比的變化規律。設計制作了4根相同的矩形截面鋼懸臂梁，根據國家標準規定的試驗方法對材料力學性能進行了測試，得到了彈性模量和拉壓強度。采用自由衰減法對鋼懸臂梁進行不同初始振動幅度下的自由振動測試，識別不同振動幅度時懸臂梁的阻尼比。研究結構構件在自由振動下阻尼比的變化規律，分析線彈性范圍內阻尼比與振動幅度的關系，得出以下結論：線彈性范圍內，懸臂梁自由振動的阻尼比隨其振動幅度的增加而增大，為結構在小幅度振動下的動力分析提供了參考依據。

阻尼比; 懸臂梁; 線彈性; 自由振動試驗; 應變

引 言

任何建筑都具有一定的阻尼性能，阻尼與剛度和質量一樣，是工程結構固有的動力特性之一。結構的阻尼性能對于結構的動力特性有著很重要的影響，阻尼比取值的些微差別都會導致結構動力響應分析的巨大變化，在建筑設計中，阻尼比的取值十分關鍵[1-2]。因此，人們逐漸提高了對結構的阻尼特性研究的關注和投入[3-6]。

工程結構的阻尼一般通過實測得到，實測阻尼包含材料阻尼、結構阻尼、介質阻尼三個部分。各個國家規范所給出的阻尼比的取值，絕大部分來自于工程結構在極限狀態時的實測值，且一般認定阻尼比為常數。此外，結構的變形進入彈塑性階段后，結構阻尼比具有明顯的非線性性質，即阻尼比的值會隨著結構的應力狀態、振幅等的改變而發生較大的變化。一般認為，如果結構的變形未超過彈性變形階段時(已處極限狀態)，則其阻尼比的取值范圍對鋼結構來說是1%～2%，對鋼筋混凝土結構而言是3%～8%；但是，當達到彈塑性階段后，如果結構振動響應增加，則其阻尼比會跟著提高[7]。但是，國內外學者研究發現即使在線彈性工作階段，結構的阻尼比也具有非線性性質，結構的阻尼比也會隨著振動幅度變化而變化[8-11]。最近10多年，隨著現代社會科技的進步，國內外學者通過實測對結構阻尼的研究逐漸取得了較多進展，但是還遠遠不夠[12-19]。目前建筑結構高度和跨度都相繼增大，其剛度隨之越來越小，導致一系列振動舒適度問題出現，例如人行橋人致振動、大跨度車站結構的振動問題等。這些問題中結構的振動幅度較小，變形尚在線彈性范圍階段，因此有必要探討結構在線彈性階段的阻尼特性。

綜上所述，為了能定量研究線彈性范圍內阻尼比與振動幅度的關系，本文將采用最簡單的構件——懸臂梁為試驗對象[20-21]，其材料選取均質的鋼材，其截面形式選用實際工程結構中常見的矩形截面，進行不同初始條件下的自由振動阻尼比測試。之后，通過測試得到的加速度時程響應，采用自由衰減法分別識別出不同振動幅度下的結構的阻尼比，從而定性、定量的分析線彈性范圍內鋼懸臂梁自由振動的阻尼比與振動幅度之間的關系。

1 材料拉伸試驗

本文制作成懸臂梁的鋼條選自同一塊鋼板，阻尼比試驗前對鋼條進行材料的拉伸試驗，繼而對鋼懸臂梁的材料力學性能進行了試驗分析。

1.1 試驗原理

按照國家標準《金屬材料拉伸試驗》(GB/T 228.1—2010)，制作了如圖1所示的4根標準試樣，并進行編號。然后在室溫條件下分別對其進行了金屬材料的拉伸試驗，主要是測定鋼懸臂梁在軸向靜載拉伸過程中的力學特性，包括材料的彈性模量、抗拉屈服強度以及極限抗拉強度。

圖1 拉伸試驗的標準試樣Fig.1 The standard specimens of tensile test

1.2 試驗儀器

拉伸試驗采用的是美特斯工業系統(中國)有限公司生產的微機控制電子萬能試驗機，其具體參數如表1所示。

表1 萬能試驗機的參數

1.3 試驗結果及分析

測量試件的彈性模量時，為提高試驗結果的準確性，每根試件采用同一程序測量兩遍。拉伸曲線如圖2所示，可知試樣的變形基本符合胡克定律。

根據彈性模量測量原理，計算4個試樣的彈性模量，計算結果如表2所示。因此，鋼懸臂梁構件的彈性模量取4個試樣彈性模量的均值，為214703.30 N/mm2。測得的拉伸曲線如圖3所示。試驗時，由試樣斷裂前后的變化可見，試樣基本呈塑性破壞。試樣斷口所在位置都在試樣的平行長度部分，滿足正常斷口位置的要求。本次試驗中各個試樣的記錄值如表3所示。

圖2 試樣應力-應變曲線Fig.2 Stress-strain curve for the specimens

表2 試樣的彈性模量Tab.2 The elasticity modulus of the specimens

圖3 試樣拉伸曲線Fig.3 The tensile curve for the specimens

表3 試樣的拉伸強度

為了保證懸臂梁構件的阻尼比試驗是在其線彈性范圍內進行的，需取試樣中最小的拉伸強度為臨界值，因此抗拉屈服強度取為295.38 MPa，極限抗拉強度取為431.71 MPa?？估姸葘膽兊牧考墳?04με。

2 懸臂梁阻尼性能試驗

2.1 試驗原理

2.1.1 阻尼比的識別

對于單自由度體系而言，其黏滯阻尼比可通過自由振動的對數衰減率得到。對于小阻尼體系，可得其阻尼比計算表達式為

(1)

式中x為單自由度體系自由振動的位移響應，ξ為阻尼比，TD為振動周期，δ為對數衰減率。

由于實際測試時，加速度響應的測量精度較高且更容易測量，因此通常采用加速度傳感器。這樣得到的便是系統的加速度時程，容易證明，對于加速度時程，也可以用下式計算阻尼比

(2)

式中A為單自由度體系自由振動加速度響應的峰值，Ai為第i個峰值，Ai+n為第i+n個峰值。

在實際結構的測試過程中，由于測量總會受到各種各樣的外界干擾，所以，實測加速度時程曲線會出現不規則的上下波動，導致波峰值的獲取很難保證準確性。但是，外界的干擾對時程曲線與時間軸所圍成的面積的影響將大大減小。因此，可以對自由衰減法做一點改進[23]。對于小阻尼體系有

(3)

式中ξ為阻尼比；Si，Si+1為振動加速度時程曲線與時間軸圍成的相鄰周期的面積。

對于本文阻尼性能試驗中的懸臂梁而言，由于它屬于無限自由度體系，故而實測時采集到的振動響應包含了好幾階的模態。因此，無法直接通過公式(3)進行阻尼比的識別。但是，可以采用適當的方法進行處理后識別：首先對試驗所采集到的加速度時程響應進行傅里葉變換，得到懸臂梁的頻譜圖；然后，根據頻譜圖分析懸臂梁固有頻率大概的頻帶范圍，并據此對加速度時程進行FIR濾波。這樣，通過濾波后所得到的加速度時程便是只包含懸臂梁第一階模態的加速度響應時程，隨即就可以利用公式(3)來識別阻尼比。

2.1.2 振動幅度

為了定量確定不同初始條件下懸臂梁的振動幅度，本次試驗采用懸臂梁的最大應變代替位移來標定。對于純彎曲懸臂梁，在自由端端部荷載作用下，最大彎矩在其固定端處，相應的最大應變也在固定端截面。對于本次試驗中的矩形截面懸臂梁，其截面最大應變計算公式如下

(4)

式中F為在懸臂梁自由端施加的荷載，單位為N。由上式可知，當荷載以一定的數值ΔF增加時，最大應變也將以定值遞增。

2.2 試驗儀器

試驗中振動加速度響應的測量儀器為丹麥B&K 3050-B-060型土木工程振動與噪聲測試系統，測量加速度響應時采用4507-B-005振動傳感器，其具體參數：1)靈敏度：97.78 mV/(m·s-2)；2)頻率范圍：幅值(10%)0.4 Hz～6 kHz，相位(±5°)2 Hz～5 kHz；3)加速度量程：±70 m·s-2；4)共振頻率：固定安裝共振頻率為18 kHz，橫向共振頻率>18 kHz；5)溫度范圍：-54 ～100 ℃；6)靈敏度溫度系數：+0.18%/℃。

試驗中應變的測試儀器為武漢優泰電子技術有限公司的UT4908動靜態應變采集分析系統。UT49系列動靜態應變采集分析系統主要技術參數如下：1)通道數：8通道；2)測量范圍：0～±100000 με(0.5 V橋壓)；3)靈敏系數：k=2.00；4)平衡參數：自動±5000 με，時間約1 s；5)誤差：±0.1%；6)采樣精度：24位；7)采樣速率：最低速率為1 Hz，最高速率為20.48 kHz(單通道)；8)工作環境：溫度要求0～40℃，濕度要求40℃(20～90)%RH。

2.3 試驗試件及測點的布置

本試驗為對照試驗，試驗對象為4根物理特性基本一致的鋼懸臂梁。從同一塊鋼板上利用水切割工藝處理得到的鋼條，通過澆筑混凝土將其一端固定住，從而得到懸臂梁如圖4所示。本次試驗所采用的懸臂梁的尺寸是由鋼板的切割工藝、懸臂梁的理論固有頻率以及市場上現有的鋼材原料等因素綜合考慮決定的，懸臂梁的物理參數如表4所示。表中懸臂梁的密度是通過實際測量的質量和體積計算得到，彈性模量由材性試驗得到。

圖4 懸臂梁示意圖Fig.4 The diagram of the cantilever beam

表4 懸臂梁的物理參數

本次試驗除了在懸臂梁上等間距布置4個加速度傳感器之外，還在固定端的混凝土上也布置一個傳感器，用來判斷固定端的約束程度。同時，在懸臂梁靠近固端處布置一個應變片，如圖5所示為懸臂梁測點布置的示意圖。

圖5 懸臂梁測點布置示意圖(單位：mm)Fig.5 The sensor placement of the cantilever beam (Unit: mm)

2.4 試驗步驟

本次試驗的試驗對象為鋼懸臂梁，共4根，試驗前分別進行編號。每根懸臂梁根據不同加載質量相應地有28種工況，每種工況做3次試驗，一次實驗得到一組數據。具體的試驗步驟流程如圖6所示。

3 基于試驗的鋼懸臂梁阻尼特性研究

本文中懸臂梁阻尼性能試驗是一組對照試驗，為驗證對照性，需將實測物理特性與ANSYS建立的有限元模型進行對比。對照試驗設計成果后，采用相同的數據分析方法，分別計算各工況的應變和阻尼比，依次完成4根懸臂梁的試驗結果的處理。然后基于計算所得的應變和阻尼比分別進行定性、定量分析，從而得出懸臂梁在不同振動幅度下的阻尼比的變化規律。

3.1 懸臂梁的振動頻率

建立懸臂梁的有限元模型時，模型參數按照表4選取。加速度傳感器為10 mm×10 mm×10 mm的正方體，質量為2 g。按照圖5的布置位置，建立有限元模型，利用有限元模型計算出懸臂梁的前3階橫彎的振動頻率分別為：f1=6.744 Hz，f2=42.256 Hz，f3=118.346 Hz。

圖7 懸臂梁測點1～5的加速度時程圖Fig.7 The acceleration time histories of the measured point 1～5 of the cantilever beam

以1號梁為例，取1號梁某一工況的某一組試驗所測得的自由振動加速度響應進行說明。如圖7所示依次為懸臂梁測點1，2，3，4，5的加速度時程圖。對比圖7中的(a)，(b)，(c)，(d)與(e)的加速度響應的幅值可知，測點5即懸臂梁固定端混凝土上的加速度響應相對于懸臂梁上的響應而言很小，基本相差三個量級，可以認為測點5的響應為環境振動響應。因此，進一步可以認定懸臂梁的固定基本接近理論固定端。

對采集到的加速度響應進行FFT變換，可得懸臂梁的振動響應的頻譜特性，從而可得出懸臂梁的實測頻率。取上述前4個測點的加速度時程作FFT變換，得到如圖8所示的頻譜圖。

圖8 懸臂梁測點1～4的加速度頻譜圖Fig.8 The acceleration spectra of the measured point 1～4 of the cantilever beam

由圖8可知，試驗時所采用的初始激勵激起了懸臂梁的前5階，甚至更高階的模態，但是主要以前3階模態為主。其中，測點1的振動響應基本只有一階模態，這是由于測點1在2,3階橫彎零點的附近(由有限元模型得2階橫彎振型零點坐標為y=0.783 m，3階橫彎振型零點坐標為y=0.503 m，y=0.873 m，y為懸臂梁懸挑長度方向)，且靠近豎向荷載作用點的位置。測點3、測點4越來越接近固定端，激起的高階模態振動越來越多。利用頻譜分析計算懸臂梁測點1～4的前3階頻率，由計算結果可知，同一工況、同一組試驗中，懸臂梁測點1～4的前3階頻率基本一致。

對不同工況的各組試驗的頻譜分析進行比較可知，同一工況、不同組的實測頻率基本一致，而且不同工況的實測頻率相差不大，故取它們的平均值代表每根懸臂梁的前3階實測頻率。懸臂梁的前3階實測頻率與理論頻率的對比結果如表5所示。由表5可知，懸臂梁前3階頻率的理論值與實測值之間存在著一些差距。對于基頻來說，實測值與理論值的差距在5.23%～6.20%之間。對于試驗構件的2階橫彎振動頻率來說，實測值與理論值的差距在5.11%～5.99%之間。對于試驗構件的3階橫彎振動頻率來說，實測值與理論值的差距在5.11%～6.00%之間。

表5 懸臂梁前3階頻率的實測值、理論值對比

Tab.5 The comparison between actual vibration frequency and computational vibration frequency for the cantilever beam

NO.f1/HzPercent/%f2/HzPercent/%f3/HzPercent/%L16.336.1339.935.51111.695.62L26.395.2340.105.11112.305.11L36.336.1539.735.99111.256.00L46.336.2039.845.71111.635.67

對比懸臂梁的前3階振動頻率的理論值和實測值可以發現，二者之間存在一定的差距。這是由于構件的懸挑長度、截面高度等參數與理論設計值有些偏差，而且實測彈性模量及實測密度取的是均值，與每根構件的實際彈性模量、實際密度也有些差異，但是總體而言還是比較正常的。對比各根懸臂梁之間的前3階振動頻率的實測值可以發現，差距很小，總體而言基本符合對照試驗的要求。

3.2 懸臂梁的應變

試驗時，取空載(僅有自重應變)為平衡點，故實測應變為荷載作用下的應變；加載穩定后即開始記錄動態應變，故應變儀記錄下了卸載前后應變的變化；由應變時程可知，卸載前的應變為定值，即為初始應變值，用以度量加載的大小。

對于每根懸臂梁而言，一個工況3組試驗對應3個應變，理論上3個應變應該一致，實際測出的數值也基本一致。但是，有些工況的3組應變之間有些差異，若差異不大則取均值為該工況的應變；若差異明顯很大的則去掉差異最大的值，取剩余應變的平均值作為該工況的應變。試驗所得4根懸臂梁的加載與應變，根據每個工況的應變，線性擬合加載與應變的關系，擬合直線的斜率即為應變遞增梯度。懸臂梁橫截面寬度的實測值對應變梯度的影響很大，微小的變化會產生較大的改變。雖然試驗設計懸臂梁橫截面的寬度為3 cm，但是實際切割時，截面寬度會有一定的偏差。因此，實測的應變梯度與理論計算的值大5%～7%的，基本在誤差允許的范圍內。

將所有實測的應變數據進行線性擬合，如圖9所示。

圖9 加載質量-應變的擬合Fig.9 The curve fitting of loading and strain

通過擬合，可以得到本次阻尼比試驗中，懸臂梁的加載質量與固定端處的應變的計算公式如下所示

ε=0.1572m+1.781

(5)

式中ε表示應變，單位為με；m表示懸臂梁自由端懸掛的質量，單位為g。理論上，懸掛質量為零時，應變也應該為零(試驗時，懸掛砝碼前對應變進行了自平衡，即清零，故所測應變不包括梁自重所產生的應變)。公式(5)顯示，初始應變為1.781 με，與理論值并不相符?？梢哉J為是試驗裝置、測試誤差引起的，后續分析中可直接扣除該誤差。

3.3 懸臂梁的阻尼比

試驗時，為避免加速度超出量程而對數據處理結果產生影響，分析時首先將所有工況的所有測點的原始加速度時程從中間截取一段，取最大加速度對應的時間點延遲1 s后的點為起點；試驗數據采集時，可觀測到經歷80 s后衰減基本結束，故取為終點。然后，對截斷后的加速度時程響應進行FIR帶通濾波，只留一階模態響應，經過截斷、濾波后的頻譜圖如圖10所示。

對比圖8與10可知，FIR帶寬濾波后，測點加速度響應基本只有一階模態了。之后，利用式(3)，用MATLAB擬合對數衰減率。曲線擬合結果表明加速度的衰減基本呈指數衰減，良好的擬合效果說明同一工況的一組試驗中一個測點對應一個阻尼比值。

通過分析各根懸臂梁實測數據可知，同一工況的同一組測試的4個測點的阻尼比計算結果基本一致，如圖11所示為1號梁各工況對應的測點1～4的阻尼比。通過圖11可知測點4相對于其他測點而言，雖然阻尼比的變化規律相同，但是阻尼比值稍微偏小一點，這是由于測點4處加速度響應中高階振型部分比重過大，濾波使其響應大幅度減小所致。由于測點1布置靠近高階振型的零點處，故測點1處以一階振動為主，因而以測點1處的阻尼比為主。

圖10 濾波后測點1～4的頻譜圖Fig.10 The acceleration spectra of the measured point 1～4 after filtering

圖11 測點1～4的實測阻尼比Fig.11 The test damping ratio of the measured point 1～4

同一測點在同一工況下的3組試驗所測試的阻尼比大致相同。但是，有些工況的3組試驗的阻尼比之間還是有些許差異的，若差異不大則取均值為該工況的阻尼比；若差異明顯很大則去掉差異最大的值，取剩余阻尼比的平均值作為該工況的阻尼比。

圖12 懸臂梁應變-阻尼比的擬合結果Fig.12 The fitting result of strain and damping ratio of the cantilever beam

為了定量分析懸臂梁的阻尼比與應變的關系，將測量所得的全部數據進行集中分析。如圖12所示，隨著應變的增加，懸臂梁的阻尼比基本上呈線性增長，線性擬合的結果為

ξ=0.000894ε+1.682

(6)

式中ξ為阻尼比，量級為0.001；ε表示應變，單位為με。

由圖12可知，懸臂梁振動時應變的變化范圍為0～919.9 με，阻尼比的變化范圍為0.0014～0.0027。對比圖3可知，應變的變化范圍在線彈性范圍內，懸臂梁最大的振動幅度只達到了103量級，而其本身的抗拉屈服強度對應應變的量級為104，相差一個量級，說明試驗相對振動幅度很小。本文試驗中測得懸臂梁的阻尼比量級為10-3，以材料阻尼和介質阻尼為主，而目前規范給出的阻尼比取值都接近于結構的極限狀態，包含材料阻尼、結構阻尼、介質阻尼，因此取值量級為10-2。說明即使在線彈性范圍內，結構的振動幅度對其阻尼比也有影響。

4 結 論

本文以鋼懸臂梁構件為試驗對象，研究了結構構件在自由振動下阻尼比的變化規律，分析了線彈性范圍內阻尼比與振動幅度的關系，得出了以下結論：

1)整個阻尼性能試驗過程中，懸臂梁構件的應變是在0～919.9 με的范圍內變化。由懸臂梁構件的材料拉伸試驗，得到其彈性模量為214703.299 N/mm2、抗拉屈服強度為295.379 MPa(對應應變量級為104με)。對比發現試驗中懸臂梁構件的應變變化范圍遠小于屈服時的應變，故變形一直處于線彈性的范圍內；

2)線彈性范圍內，在振動初始應變處于0～919.9 με范圍內變化時，阻尼比是在0.0014～0.0027的范圍內變化。對實測數據擬合分析得，懸臂梁的阻尼比以0.001682為初始值，并隨應變的增加以0.000894的斜率線性遞增；

3)線彈性范圍內，對于均質性材料(鋼材)的構件來說，其阻尼比是隨著振動幅度的增加而線性遞增的。

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Leng Qiaojuan. The research on damping and seismic damage model of RC element[D]. Changsha: Hunan University, 2007.

Experimental study on damping characteristics of the
steel cantilever beam in the linear elastic range

XIEWei-ping，GUOMan，SUNLiang-ming

(School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China)

A relatively uniform and simple steel cantilever beam is used as the test object. And the free vibration test of the cantilever beam is carried out to investigate the variation of the damping ratio. The same four cantilever beams with rectangular cross-section have been designed and manufactured. Based on the national standard, the elastic modulus and tensile strength of the cantilever beam is obtained through the metallic materials tensile test. The vibration test under different initial conditions is carried out. The damping performance test is conducted by the free damping method. The purpose is to study the variation of damping ratio of the structure in the free vibration and analyze the relationship between the vibration amplitude and the damping ratio of the cantilever beam in the linear elastic range. These works in this paper make the following conclusions: the free vibration damping ratio of the cantilever beam is increasing with the increasing of vibration amplitude in the linear elastic range, and it provides a reference basis for the structure dynamic analysis under the condition of small amplitude vibration.

damping ratio; cantilever beam; linear elasticity; free vibration test; strain

2015-06-04；

2015-12-06

國家自然科學基金資助項目(51178365)

TU313.3

：A

1004-4523(2016)06-1011-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.009

謝偉平(1965—),男,博士,教授。電話: 13871061394; E-mail: wpxie@sina.com

孫亮明(1983—)，男，博士，講師。電話：13545909941; E-mail: sunliangming@126.com