基于季節性馬爾科夫模型的鄭州市降雨指數衍生品定價

王志良, 魯亮濤， 劉萍萍

(1.華北水利水電大學,河南 鄭州 450045; 2.鶴壁市盤石頭水庫建設管理局，河南 鶴壁 458030)

基于季節性馬爾科夫模型的鄭州市降雨指數衍生品定價

王志良1, 魯亮濤1， 劉萍萍2

(1.華北水利水電大學,河南 鄭州 450045; 2.鶴壁市盤石頭水庫建設管理局，河南 鶴壁 458030)

未來特定時間區間內降雨指數的微小差別,會對降雨指數衍生品的理論價格產生很大的影響。根據鄭州市的降雨過程具有明顯的季節性特征的特點,提出了季節性馬爾科夫模型,并用此模型對其降雨頻率進行建模。然后,用Gamma分布模擬鄭州市不同季度的日降雨量的分布。最后,對鄭州市未來一年的日降雨量進行隨機模擬,并運用蒙特卡洛方法,模擬計算了基于鄭州市第二季度降雨累積指數的期貨合約的到期收益值。計算結果表明,本文提出的季節性馬爾科夫模型可以更好地模擬鄭州市降雨過程的統計特征。

天氣衍生品;季節性馬爾科夫模型;累積降雨指數;蒙特卡洛模擬

降雨指數衍生品是一類金融衍生工具，主要用來管理和控制極端天氣風險。與氣溫指數衍生品定價問題[1-2]相比,降雨指數衍生品定價的主要難點是建立精確的降雨預測模型[3-4]。使用目前的氣象學模型[5]預測降雨可以得到較好的預測結果，但是氣象學模型比較復雜,并且預測的時間區間有限。因此,應用統計方法解決降雨量的預測問題很有意義。

降雨過程的統計規律比較復雜[6],精確地計算未來某一時段的降雨量具有很大的難度。學者們運用了很多統計學方法對此問題進行了研究。文獻[7]用人工神經網絡模型對降雨過程進行建模，該模型使用溫度、濕度、風速等因素預測未來可能的降雨量。在2014年,Masala用馬爾科夫模型對降雨頻率序列進行了研究[8]。人工神經網絡模型和馬爾科夫模型,都可以提取降雨量序列的部分統計特征,但其相關性的時間滯后項有限,很難提取日降雨量序列在年時間尺度的季節性特征。

為了更好地提取降雨量序列的季節性特征,本文提出季節性馬爾科夫模型，并將其應用于鄭州市降雨指數衍生品的定價中。

1 鄭州市降雨統計特征

河南省是我國的產糧大省,研究鄭州市的降雨指數衍生品定價問題具有很好的現實意義。本文以鄭州市1985—2014年日降雨數據集為樣本,數據來自“中國地面國際交換站氣候資料日值數據集”。

研究鄭州市降雨指數衍生品定價問題,首先應研究鄭州市降雨序列的統計特征。將數據集中30 a的日降雨量序列分為365組,第i組包含每一年中第i天的降雨量數據,計算每一組的平均值,得到鄭州市一年中各天的平均降雨量，如圖1所示。

圖1 鄭州市30 a的日平均降雨量

從圖1中可以看出,鄭州市日平均降雨量呈現出第一季度和第四季度降雨量較少,第二季度和第三季度的降雨量較多的特征。鄭州市日平均降雨量序列具有明顯的周期性。

2 季節性馬爾科夫模型

與一階馬爾科夫模型一樣,一階季節性馬爾科夫模型滿足無后效性,即滿足下式[9]:

(1)

式中：t=1,2,…,T；T為隨機過程{Xt}的周期。這里所說的周期的意思是隨機變量Xt的分布列與隨機變量Xt+T的分布列相同。

對于兩狀態季節性馬爾科夫模型來說,其轉移概率矩陣為：

(2)

式中pjk(t)(j,k=0,1)表示隨機過程{Xt}在t時刻處于狀態j,在t+1時刻處于狀態k的概率。

將時間序列{xt}轉換為狀態序列{st}。對于鄭州市的日降雨量序列,如果某一天降雨量是零,就將其設定為“0”,表示該天沒有降雨。如果某一天降雨量不是零,就將其設定為“1”,表示該天降雨。

為了給出轉移概率矩陣的一個估算方法,這里需要對狀態序列{st}進行一些處理。假設隨機過程{Xt}的周期為T,按照周期將狀態序列{st}分為n組,每組包含一個周期的數據。然后,將每組中的第i個數據取出來,按時間順序排序后作為一個向量,用Vi(i=1,2,…,T)表示，例如：

V1=[s1,s1+T,s1+2T,…,s1+(n-1)T]。

對鄭州市日降雨狀態序列來說,V1就是每年中第1天的狀態值按時間順序排序的向量。

根據季節性馬爾科夫模型轉移概率矩陣的含義,這里給出它的一個估計方法為：

(3)

式中njk(t)表示在向量Vt中元素為j、在向量Vt+1中對應位置的元素為k的數值對個數。但這里的njk(T)是一種特殊情況,它表示向量Vt中元素為j、在向量V1中對應位置的下一個元素為k的數值對個數。

對于鄭州市來說,將30 a的日降雨量數據分為30組,每組包含其中一年的數據,也就是說將周期T設定為365,按上述方法計算其轉移概率矩陣,其中p01(t)(t=1,2,…,365)的計算結果如圖2所示。圖2表明,鄭州市一年中晴天轉移到雨天的概率與時間有關,從一年中的第1天開始,隨著時間的推移,逐漸變大,然后變小。說明季節性馬爾科夫模型可以提取鄭州市日降雨狀態序列的轉移概率矩陣的周期性特征。

圖2 晴天轉移到雨天的比率序列

季節性馬爾科夫模型可以用來模擬未來一個周期內隨機過程{Xt}的狀態序列。

首先，估算隨機過程{Xt}的初始概率分布列[p0(0)p1(0)]。其中p0(0)表示初始狀態為“0”的概率,p1(0)表示初始狀態為“1”的概率。這里給出一個估算方法：

(4)

式中Z為狀態序列{st}中元素為k的個數,T為狀態序列{st}中元素的個數。

然后，計算在未來一個周期內,隨機變量Xt在時刻t的概率分布列[p0(t)p1(t)]為：

[p0(t)p1(t)]= [p0(t-1)p1(t-1)]·

(5)

式中t=1,2,…,T。

最后,設定一個參數為λ(0<λ<1),如果p0(t)>λ,就將其對應的狀態設定為“0”；否則,就將其對應的狀態設定為“1”。這樣,就得到了未來一個周期內隨機過程{Xt}的狀態序列。這里給出一個設置λ的方法：根據歷史數據,計算出一個周期內狀態處于“0”的平均值。先令λ=0.01，模擬出隨機過程{Xt}的1個狀態序列，計算狀態為“0”的元素個數M；然后以0.01為步長增加λ的取值，重復前述計算過程，直到λ=0.99,得到99個模擬的M；當模擬的M值與歷史數據計算的狀態處于“0”的平均值最接近時，λ就取對應的值。

3 降雨量模型

模擬計算降雨量序列,除了需要得到是否降雨的狀態序列,還要模擬出每天的降雨量。降雨量數據都為大于等于零的值,鄭州市日降雨量又具有非對稱、右偏的特征。因此,用Gamma分布來描述鄭州市日降雨量是合適的。其概率密度函數為：

(6)

式中：α為形狀參數；β為尺度參數；Γ(α)為Gamma函數在點α的值。

Gamma分布的極大似然函數為：

(7)

對極大似然函數L(α,β)求對數,然后分別對α和β求偏導數,并令偏導數等于零,可得到Gamma分布的極大似然估計：

(8)

(9)

(10)

4 鄭州市降雨指數衍生品定價

芝加哥商品交易所是全球衍生品交易最為活躍的交易所之一,基于日降雨量累積指數CR的降雨指數衍生品合約是其天氣市場的重要組成部分。

日降雨量累積指數CR指的是在時間區間[τ1,τ2]內的降雨總量,其計算式為：[9]

(11)

式中Y(t)為日降雨量序列。

計算鄭州市降雨指數衍生品的到期收益值,首先要模擬計算鄭州市未來某一時間區間的日降雨量序列。鄭州市日降雨量序列具有以年為周期的特征,因此,這里設定季節性馬爾科夫模型中的周期T為365 d。用鄭州市1985年到2014年的日降雨量序列,可以計算出季節性馬爾科夫模型的轉移概率矩陣Mt(t=1,2,…,365)。這里給出M1，即：

由于鄭州市日降雨量極不均勻,這里將鄭州市日降雨量樣本分為4個集合,第i個集合包含第i個季度的樣本。然后分別估計相應的Gamma分布的參數,結果見表1。

鄭州市1985—2014年的年平均降雨天數為76.9 d，取整后為77 d。將參數λ設為0.69時，模擬出的年平均降雨天數為52 d；將參數λ設為0.70時，模擬出的年平均降雨天數為78 d。綜合考慮，將參數λ設為0.70，然后模擬計算出鄭州市2015年降雨頻率序列。

表1 四個季度的Gamma分布參數的極大似然估計

根據鄭州市降雨頻率序列和降雨量的Gamma分布,可以模擬鄭州市的降雨過程。其具體方法是：如果降雨頻率序列的值為“1”,就隨機產生一個相應季度的Gamma分布的隨機數,作為該天的降雨量。如此模擬鄭州市未來一年的降雨過程,計算結果如圖3所示。

圖3 年降雨過程模擬序列

圖3表明，季節性馬爾科夫模型和分季度的Gamma分布,可以很好地提取鄭州市日降雨量的季節性特征。

降雨指數期貨合約是降雨指數衍生品的一種,合同規定了在未來某一時刻,交易雙方以在簽訂合約時刻規定的價格交割某種降雨指數。另外，降雨指數期貨合約還規定了合約標的、合約乘數、單位、最小變動單位、合約月份、交易時間、交易保證金和交割方式等。

假設一個基于鄭州市日降雨量累積指數CR的期貨合約,合約月份為2015年第二季度3個月，合約標的是122個指數點,合約乘數為1個指數點10元,最小變動單位為1個指數點,交割方式為用人民幣交割。

對于賣方來說,售出一份這樣的合約，到期收益值WS由下式給出：

WS=10(CR-122)。

(12)

結合季節性馬爾科夫模型和分時段Gamma分布,用蒙特卡洛方法模擬100 000次2015年第二季度的降雨過程,計算賣方相應的到期收益值WS,結果見表2。

表2中的數據表明，對于假設的合約，如果賣方運用本文的模型，計算其售出一份合約，到期收益值為-497元，是虧損的，他將會停止輸出此合約，改為售出標的指數較低的合約。

表2 到期收益值WS的均值與方差

5 結 語

降雨指數衍生品是一類重要的金融衍生工具,可以用來對沖極端天氣造成重大損失的風險。鄭州市降雨指數的統計特征非常復雜,一年之中降雨天數較少,日降雨量的波動性較大。本文提出的季節性馬爾科夫模型可以提取第二季度和第三季度降雨天數較多,第一季度和第四季度降雨天數較少的特征。由于一年之中的日降雨量并不平均,第二季度和第三季度的日降雨量相對較大,本文將樣本分為4個部分, 不同部分包含不同季節的樣本，分別計算其Gamma分布參數,用來描述日降雨量的年周期性特征。結合季節性馬爾科夫模型和分季節Gamma分布,本文模擬了鄭州市未來一年日降雨量序列,計算出未來降雨指數的期望值。用季節性馬爾科夫模型和分時段的概率分布模型,可以較好地提取鄭州市日降雨量的季節性特征，從而計算得到合約到期價值的期望值。但是,用此模型得到的合約到期價值的方差較大，需要建立更好的模型,減小計算出的指數的方差。

[1]王明亮,何建敏,曹杰.基于氣溫指數的我國天氣衍生品定價研究[J].數理統計與管理,2015,34(2)：217-223.

[2]孫保敬,李世平.天氣指數衍生品及其定價研究[J].統計與決策,2015(5):154-156.

[3]Li A,Cao M,Wei J Z.Precipitation modeling and contract valuation:a frontier in weather derivatives[J].Journal of Alternative Investments,2007,7(2)：15-21.

[4]Djehiche B,Alaton P,Stillberger D.On modeling and pricing weather derivatives[J].Applied Mathematical Finance,2002,9(1):1-20.

[5] Little M A,Mcsharry P E,Taylor J W.Generalized linear models for site-specific density forecasting of U.K.daily rainfall[J].Monthly Weather Review,2008,137(3):1029-1045.

[6]Stowasser M.Modelling rain risk:a multi-order Markov chain model approach[J].Journal of Risk Finance,2011,13(1):45-60.

[7]Ramirez M C V,Velho H F D C,Ferreira N J.Artificial neural network technique for rainfall forecasting applied to the Sao Paulo region[J].Journal of Hydrology,2005,301(1):146-162.

[8] Masala G.Rainfall derivatives pricing with underlying semi-Markov model for precipitation occurrences[J].Stochastic Environmental Research & Risk Assessment,2014,28(3):717-727.

[9]Alexandridis A K,Zapranis A D.The Weather Derivatives Market[M].New York:Springer,2013：241-270.

(責任編輯：陳海濤)

Valuing Rainfall Index Derivatives of Zhengzhou Based on Seasonal Markov Model

WANG Zhiliang1, LU Liangtao1， LIU Pingping2

(1.North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045, China; 2.Panshitou Reservior Construction and Administration Bureau, Hebi 458030, China)

During the process of pricing rainfall index derivatives, the minute difference existed in the predicted value of rainfall index in the future specific temporal interval, will significantly influence the theory price of rainfall index derivatives. In the article, we proposed the seasonal Markov model for the obvious seasonal characteristics of rainfall process in Zhengzhou, the rainfall frequency was modeling with this model. Then, the distribution of the daily rainfall in the different season in Zhengzhou was simulated with Gamma. Finally, the daily rainfall of the future year in Zhengzhou was randomly simulated, the yield-to-maturity value of the futures contracts based on the accumulated rainfall index of the second quarter in Zhengzhou was simulated and calculated. The calculation results show that the seasonal Markov model can preferably simulate the statistical characteristics of the rainfall process of Zhengzhou City.

weather derivatives; seasonal Markov model; rainfall index; Monte-Carlo simulation

2016-02-17

河南省科技廳基礎與前沿研究(142300410175)。

王志良(1966—),男,河南舞陽人,教授,碩導,博士,主要從事水文水資源研究。E-mail:wzl@ncwu.edu.cn。

10.3969/j.issn.1002-5634.2016.02.005

TV125；O29

A

1002-5634(2016)02-0033-04