二項式定理考查題型分析
◇河北高云峰
1求指定項的系數問題
此類問題屬于高考??碱}型,解題中只要準確把握二項式展開式的通項公式,觀察出相應的項,即可順利求解.
由題可知
2二項式系數最大項問題
A180;B90;C45;D360
變式(2013年新課標Ⅰ卷) 設m為正整數,(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值為b,若13a=7b,則m=().
A5;B6;C7;D8
3二項式系數和問題
例3若(x2+1/x3)n展開式的各項系數之和為32,則n=______,其展開式中的常數項為________.(用數字作答)
由2n=32得n=5.利用通項公式
由二項式系數的性質得到方程22n-1-2n=112解出n值;再由二項式系數取在r=n/2處(n為偶數)或r=(n±1)/2處(n為奇數)求得r值;最后再根據1120為常數項,獲得通項中x的指數為0這一信息列出方程求出x的值.
由題意知22n-1-2n=112,所以
(2n)2-2·2n-224=0,
所以
(2n-16)(2n+14)=0.
又因為2n>0,所以2n-16=0,則n=4,2n=8.
又設(2x+xlgx)8的通項為
當r=8/2=4時,二項式系數最大項為
所以1120x4+4lgx=1120,也即x4+4lgx=1,所以4+4lgx=0,所以lgx=-1,則x=1/10.
4項的系數和問題
此類問題的求解通常利用賦值法,即令其中的變量為0或1或-1,進而得出各項的系數和.
例4x(1-mx)4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,其中a2=-6,則實數m的值為____________;a1+a2+a3+a4+a5的值為________.
a1+a2+a3+a4+a5=1×(1-3/2)4=1/16.
變式1(x+a/x)(2x-1/x)5的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為().
A-40;B-20;C20;D40
對式(x+a/x)(2x-1/x)5,令x=1得1+a=2,故a=1.(2x-1/x)5的展開式的通項為
由于(2x-1/x)5展開式不能產生常數項,故要得到展開式的常數項,只能x+1/x的x與(2x-1/x)5展開式的1/x相乘,x+1/x的1/x與(2x-1/x)5展開式的x相乘,故令5-2r=-1得r=3,令5-2r=1得r=2,從而可得常數項為
變式2(2015年新課標Ⅱ卷)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32,則a=________.
由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項分別為4ax、4ax3、x、6x3、x5,其系數之和為
4a+4a+1+6+1=32,
解得a=3.
高考對二項式定理的考查,主要是以其展開式及通項公式為背景,以容易題、客觀題為主,有時也與其他知識,如函數、不等式、楊輝三角等知識相交會,本文不再列舉,請讀者自行歸納總結,以形成知識體系.
(作者單位:河北省灤平縣職教中心)