高考視角下的數列通項公式的求法

朱亞嬌

數列的相關知識和方法是初等數學和高等數學銜接緊密的內容之一，因而也是高考重點考查的內容之一，數列的通項公式及其應用自然就成為高考考查的重點.但數列通項公式的求解方法又是在考前復習中容易膨脹的內容，如何準確界定復習范圍，既能做到考前復習全面有效，又不突破界限，浪費寶貴的復習時間，是擺在每一個高三教師和同學面前的問題.本文擬以歷年高考試題為例說明數列通項公式的基本求法.

一、歸納猜想法

通過觀察數列的前幾項的內在規律，歸納、猜想出數列的一個通項公式.這種類型的試題一般以選擇題的形式出現.

例1：（2009湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，他們通過擺出三角形發現了數1，3，610，…，這些數稱為三角形數，由正方形發現數列1，4，9，16，…，稱為正方形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是（？搖 ？搖）

A.289？搖？搖B.1024？搖？搖C.1225？搖？搖D.1378

解析：解決這個問題的關鍵是，求出題中給出的兩個數列的通項公式.首先觀察1，3，6，10，…可得它的通項公式為a■=■，觀察1，4，9，16，…，可得其通項公式為，b■=n■，將1225代入可得1225是數列{a■}的第44項，1225同時又是數列{b■}的第35項，故選A.

二、根據S■與a■的關系確定通項公式

已知數列{a■}的前n項和S■，通過關系a■=S■？搖？搖n=1S■-S■？搖？搖n≥2可確定數列的通項公式.

例2：已知數列{a■}的前n項和S■，S■=2a■，且a■=1，則S■=（？搖？搖？搖）

A.2■？搖？搖B.（■）■？搖？搖C.（■）■？搖？搖D.■

解析：因為a■=S■-S■代入條件可得S■=2（S■-S■），所以S■=2S■，可知數列{S■}為等比數列，由S■=a■=1，得S■=2n-1，所以選A.

三、待定系數法（或公式法）

如果已知數列為等差或者等比數列，則可以直接使用等差、等比數列的通項公式，利用待定系數法確定其通項公式.

例3：（2012湖北）已知等差數列{a■}的前三項的和為-3，前三項的積為8，求數列{a■}的通項公式.

解析：問題已知數列為等差數列，故可以利用其通項公式a■=a■+（n-1）d求解.于是a■+a■+a■=-3a■a■a■=8，代入可得a■+d=-1a■（a■+2d=-8，解得a■=-4，d=3，或者a■=2，d=-3，所以其通項公式為：a■=3n-7或者a■=5-3n.

四、逐差法

如果能將遞推關系轉化為：a■-a■=f（n），且f（n）（n=1，2，3，4，…）能求和，則可以逐差法（累加法）求得數列的通項公式.

例4：（2010年新課標）設數列{a■}滿足a■=2，a■-a■=3·2■，求數列{a■}的通項公式.

解析：因為a■-a■=3·2■，當n=1、2、3、4、…，n時依次得到：a■-a■=3·2，a■-a■=3·2■，a■-a■=3·2■，…，a■-a■=3·2■.以上各式相加可得：

a■-a■=3·2+3·2■+3·2■+…+3·2■=3■=3·4■-2，所以a■=2·4■.

五、構造法

對于形如a■=pa■+q（*）型的遞推關系，可以采用構造新數列的方法求數列的通項公式，（*）可以構造為：a■+t=p（a■+t）（其中t=■），再令b■=a■+t，則{b■}為等比數列.

例5：已知數列{a■}中，已知a■=■，a■=4a■+1（n≥2），求數列{a■}的通項公式.

解析：設a■+t=4（a■+t）（n≥2），可得a■=4a■+3t，與條件式a■=4a■+1比較可得t=■，令b■=a■+■得：■=4，故數列{b■}為等比數列，其首項為b■=a■+■=■，所以通項為b■=■·4■，因而a■=■·4■-■.

通過對以上的例題分析，我們可以初步窺探關于數列通項公式的求法的幾種主要求法.在考前復習中，一定注意不要人為擴大復習范圍，從而給考前復習造成困難，浪費寶貴的考前復習時間.