用乘法解數字搭配問題

◎浙江　楊國義

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用乘法解數字搭配問題

◎浙江楊國義

解決數字搭配問題，通常采用分類列舉的方法找答案。但遇到給出的數字和組數的位數較多時，分類列舉就比較麻煩了。怎么辦呢？請看：

例1用1、3、5、7這四個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

【分析與解】這是一個較簡單的數字搭配問題，它與數字的排列順序有關，屬于排列問題（組合問題與順序無關）。為了防止重復或遺漏，一般通過有序地分析找答案?？梢园磸拇蟮叫?，從高位到低位的順序，通過分類列舉求解。

（1）百位上是7的三位數，通過逐一列舉可以得到：753、751、735、731、715、713，共6個。

（2）百位上是5的三位數有：573、571、537、531、517、513，共6個。

（3）百位上是3的三位數也有6個，分別是375、371、357、351、317、315。

（4）百位上是1的三位數也有6個，分別是175、173、157、153、137、135。

所以，用1、3、5、7這四個數字，可以組成6Χ4=24（個）沒有重復數字的三位數。

像這種數字搭配問題，也可以用乘法原理巧解。乘法原理：用幾個數字組成不同的三位數，要分三步，第一步確定百位上的數字，有m1種不同的方法；第二步確定十位上的數字，有m2種不同的方法；第三步確定個位上的數字，有m3種不同的方法，那么可以組成的不同三位數一共有m1Χm2Χm3個。

回頭看上題，用4個數字組沒有重復數字的三位數，分三步：（1）確定百位上的數字，可以從4個數字中任選一個，有4種選法；（2）確定十位上的數字，可以從剩下的3個數字中任選一個，有3種選法；（3）確定個位上的數字，從剩下的2個數字中選一個，有2種選法。所以，一共能組成4Χ3Χ2=24（個）無重復數字的三位數，與前面的分類列舉結果相同。很明顯，用乘法解較復雜的數字搭配問題比較簡便。

例2用0、2、4、6、8這五張卡片，可以組成多少個不同的三位數？不同的四位數呢？

【分析與解】用數字卡片組成不同的三位數要分三步：（1）確定百位上的數字，可以從0除外的4個數字中任選一個，有4種選法；（2）確定十位上的數字，可以從剩下的4個數字中任選一個，有4種選法；（3）確定個位上的數字，從剩下的3個數字中選一個，有3種選法。所以，一共能組成4Χ4Χ3=48（個）不同的三位數。

用數字卡片組成不同的四位數，相當于在組三位數的基礎上再增加第四步：從剩下的2個數字中選一個，有2種選法。所以，一共能組成4Χ4Χ3Χ2=96（個）不同的四位數。

聰明的小讀者，用乘法解數字搭配問題你學會了嗎？下面請你來試試吧。

【小試身手】用0～9這十個數字，一共可以組成多少個沒有重復數字的三位數？無重復數字的四位數呢？