領悟“冪的運算”中的數學思想方法

陳蘭

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領悟“冪的運算”中的數學思想方法

陳蘭

冪的運算是整式乘除法的重要組成部分，學習冪的運算不僅是運用其性質進行計算，領悟冪的運算過程中蘊含的數學思想更是學習過程中不可或缺的深層認識.巧用各類數學思想對解決有關問題常有事半功倍的效果.

一、整體代入思想

例1已知2x+5y-4=0，求4x-1·32y的值.

【解析】4x-1·32y不是簡單的同底數冪的乘法，另外指數x-1和y并沒有直接的值可以代入，由2x+5y-4=0可得2x+5y=4，故而想到可逆用冪的乘法法則轉化為以2為底的冪相乘的形式，然后整體代入求值.

解：由已知2x+5y-4=0，得2x+5y=4，

所以4x-1·32y=（22）x-1·（25）y=22x-2·25y= 22x-2+5y=22x+5y·2-2=24×2-2=22=4.

【點評】當無法由已知條件直接求未知數的值時，可考慮整體代入的思想方法，在解決不同底數的代數式的求值時，關鍵將不同底化為同底，通過轉化會發現有整體代入的結構，故而問題迎刃而解.

二、方程解析思想

例2根據條件，求下列各式中x的值.

（1）已知33x-3=1，求x的值；

（2）已知23·（22）x=256，求x的值.

【解析】（1）方程的右邊是1，我們知道任何不等于0的數的0次冪等于1，從而有3x-3=0，知識點：a0=1（a≠0）.

（2）已知方程的左右兩邊不是同底數的冪，所以先考慮將它們轉化為同底數的冪，重新構建新的等量關系，求出未知數的值.

解：（1）因為33x-3=1，所以33x-3=30，則3x-3=0，解得x=1.

（2）因為23·（22）x=256，所以23·22x=28，所以23+2x=28，則3+2x=8，解得x=2.5.

【點評】對于同底數冪的乘法中的方程，關鍵是通過適當的變形尋求等量關系構建出新的方程.

三、化歸轉變思想

例3已知xm=9，xn=6，xp=2，則xm+3p-2n的值.

【解析】本題的關鍵是利用同底數冪乘除法的性質，把要求的式子xm+3p-2n轉化為與已知條件有關的形式，再分別代入求值.

解：解法1：xm+3p-2n=xm·x3p÷x2n=xm·（xp）3÷ （xn）2=9×23÷62=2；

解法2：由xn=6，得（xn）2=62=36，（xp）3= 23=8，所以xm+3p-2n=xm·（xp）3÷（xn）2=9×8÷36=2.

【點評】解法1是逆用同底數冪的乘除法性質、冪的乘方性質，將xm+3p-2n轉化為同底數冪的乘除的混合運算，基本思想是從所求目標出發回歸已知條件；解法2從已知條件出發構造出求值式中的x3p，x2n，運用同底數冪的乘除法性質轉化求值式xm+3p-2n為xm·（xp）3÷（xn）2，基本思想是從已知條件轉化為所求目標.

變式1已知x3=m，x5=n，用含有m、n的代數式表示x19是多少.

【解析】由同底數冪的乘法的逆運算可得x19=x9·x10，再由冪的乘方的逆運算可得x9=（x3）3，x10=（x5）2，最后通過轉化后的結果代入求值.

解：x19=x9·x10=（x3）3·（x5）2=m3n2.

【點評】本題的關鍵在于表達形式的轉化，轉化后再運用整體代入的思想.

變式2 已知9x+1-32x=72，求x的值.

【解析】本題左右兩邊是不同的形式，首先從形式上進行化歸統一，兩邊都可以向底數為9上進行轉化，再結合方程的思想尋找相等關系式，求出未知數的值.

解：由9x+1-32x=72得（32）x+1-（32）x=72，9x+1-9x=9×8，9x（9-1）=9×8，9x=9，x=1.

變式3 已知2a=4，2b=6，2c=9，求a、b、c之間有什么樣的數量關系？

【解析】觀察4、6、9之間的聯系，不難發現4×9=36，故而可以建立2a、2b、2c三者之間的關系，通過關系式的代入轉化可得2a×2c= （2b）2，再運用同底數冪的乘法和冪的乘方運算得出關系.

解：因為4×9=36，所以2a×2c=（2b）2，所以2a+c=22b，所以a+c=2b.

【點評】本題對同學們通過尋找數量關系發現等量關系方面的要求有點高，僅僅從獨立的各式2a=4，2b=6，2c=9求不出a、b、c的值.

四、分類討論思想

例4（2m-7）m+3=1，求m的值.

【解析】我們知道-1的偶次冪等于1，1的任何次冪都等于1，還知道非零數的零次冪等于1，從而得出此題需要分情況討論：一是指數為0且底數不為0；二是底數為1指數為任何數；三是底數為-1指數為偶數.

解：①當m+3=0且2m-7≠0時，解得m=-3；

②當2m-7=1時，m+3為任何數，解得m=4；

③當2m-7=-1時，m+3為偶數，解得m=3.

綜上可知，m的值為-3、4、3.

【點評】涉及冪的乘方值為1的問題時，同學們往往容易漏解，另外討論時要對相應的解進行條件的驗證，關于1的偶、奇次冪，0次冪的問題要理解到位，利用分類討論的思想考慮全各種可能情況，做到不重復、不遺漏.

（作者單位：江蘇省泰州實驗中學）