呂 鍇
(東華大學 理學院, 上海 201620)
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半空間上MHD方程弱解的衰減下界
呂鍇
(東華大學 理學院, 上海 201620)
摘要:研究了磁流體力學(MHD)方程的弱解在半空間+上的衰減性質,通過建立一族產生弱衰減的初值, 得到了MHD方程的衰減下界.
關鍵詞:磁流體力學(MHD)方程; 半空間; 衰減下界
磁流體力學(MHD)方程的一般形式為
(1)
對于方程(1)的Cauchy問題,文獻[1]構造了一類類似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整體弱解.在全空間n上方程(1)的Cauchy問題的衰減性質的研究上,已有不少研究成果.文獻[2-3]在文獻 [4]的基礎上研究了強解的衰減性質.而對于弱解的衰減性質的研究,可以參見文獻[5-7].然而上述針對全空間n問題的結論,大多使用Fourier變換法,并不適用于半空間+∶={x=(x1,x2, …,xn)∈n;xn>0}問題.對于半空間上的MHD方程,文獻[8]研究了弱解的L2衰減.文獻[9]證明了當半空間上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在滿足一定條件的情況下,可以得到N-S弱解的衰減下界的估計.本文在文獻[9]研究成果的基礎上,得到了半空間+上的MHD方程的相關結論.
(2)
1主要結論
在介紹本文的主要結論之前,首先給出一些符號的定義.
簡便起見,將Ar簡寫為A.
下面給出方程(2)弱解的定義[10].
定義1.1若(u,B)滿足以下條件:
-(u(t), φ(t))+(u(s), φ(s))
-(B(t), φ(t))+(B(s), φ(s)),
(3)
(iii) 能量不等式
(4)
則稱(u,B)為方程(2)在上的弱解.
其中:m≥0, α, γ, δ>0.
假設考慮滿足以下條件的初值:
(A2)a′(x′,xn)=(a1(x′)η1(xn), (a2(x′)η1(xn), …,an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′,xn)=(b1(x′)η2(xn), (b2(x′)η2(xn), …,bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn),其中ηi∈L2(且滿足對幾乎所有的,都有,這里的表示ηi相對于xn的奇延拓,即
定理1.1若n≥3,a,b∈Lr((滿足假設(A1)~(A3),且r和m滿足(i)或(ii):
則存在T>1及常數C>0,使得當t≥T時,方程(2)的任意弱解(u,B)都有
(5)
定理1.1為本文主要結論.
2Stoke方程及熱方程解的衰減
(6)
其中:q需滿足1 (7) 其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0. 定理2.1[9]若n≥3,a滿足假設(A1)~(A3),則當t≥1時,有 (8) 其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0. 定理2.2若n≥3,b滿足假設(A1)~(A3),則當t≥1時,有 (9) 其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0. 證明:因為bn≡0,所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此,由Plancherel定理和Fubini定理,有 (10) 對于I1,由引理2.1可知,存在C=C(n-1, m, α, γ, δ)>0,使得當t≥1時,有 (11) (12) 3MHD方程解的衰減 本節研究MHD方程解的衰減性質并給出定理1.1的證明.為了估計非線性項,首先給出以下引理. (13) 引理3.2設1≤r<2 ,a,b∈Lr(對于方程(2)的任意弱解(u, B),當t→∞時,有 (14) 證明:設λ=λ(t)為(0, ∞)上的光滑函數,則 (15) 同理可得 (16) (17) (18) 由引理3.1,有 ‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+ (19) ‖Eλ(t)u(t)‖2≤ (20) y(t)-g(t, s)+z(s)≤y(s) (21) z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤ -λ(τ)[y(t)-g(t, τ )+z(τ)] (22) 設Z(τ)≥0為方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解,將式(22)乘上Z(τ),并對τ作(s, t)上的積分 (23) 對式(23)作分部積分,因為z(t)=0, g(t, t)=0,所以 (24) 取λ(τ)=m τ-1, m>0,則Z(τ)=τm.令s→0,得 (25) (26) (27) 下面將分情況進行討論. 因此,有 引理3.3若1≤r<2, a, b∈Lr(假設v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,則對于方程(2)的任意弱解(u,B),當t→∞時,有 ‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2= (28) 證明:設P(t)∶=u(t)-v(t),Q(t)∶=B(t)-h(t), (u,B)滿足能量不等式(4),v和h滿足能量不等式 因此有 (29) 在式(3)中取試驗函數φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外,因為dv/dt=-Av,dh/dt=Δh,所以可得 (u(t), v(t))= (30) (B(t), h(t))= (31) 將式(30)和(31)代入式(29),有 (32) (33) ‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖ (34) (35) 同理,由命題2.1,有 (36) (37) 設λ=λ(t)為(0, ∞)上的光滑函數,類似引理3.2中式(15)的證明,有 (38) 同理可知 (39) e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤ (40) 同理有 (41) 類似引理3.2中的證明,可得 (42) 取λ(t)=m t-1,其中m>0足夠大,有 (43) 此時注意到,若1≤r<2, (u, B)滿足 下面將分情況進行討論. 綜上所述,引理3.3得證. 定理1.1的證明. 所以,存在T≥1,使得 再由三角不等式以及定理2.1和2.2,有 ‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥ ‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+ ‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥ 綜上所述,定理1.1得證. 參考文獻 [1] DUVAUT G, LIONS J L.Inéquations en thermoélasticité et magnétohydrodynamique [J]. 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(4) 正文中標題:一級標題1, 2, …;二級標題1.1, 1.2, …;三級標題1.1.1, 1.1.2, …;引言不排序. (5) 文中的圖、表應有自明性,且隨文出現.圖、表應有中、英文名.插圖須注意規范.如為坐標圖,需用符號注明所表示的量(斜體)/單位(正體);如為照片,須黑白分明、層次清晰. (6) 參考文獻應只列出作者查閱過的、最主要的且在正式刊物上發表過的文獻.在正文中引用時用[1], [2], …順序標注;在文末“參考文獻”中,相應用[1], [2], …順序標注,序號頂格寫. 文后參考文獻編排格式: ① 期刊:[序號]作者(姓前名后).題名[J].刊名(外文刊名可縮寫),出版年,卷(期):起止頁碼. ② 專著:[序號]作者(姓前名后).書名[M].版本(第1版不寫).出版地:出版者,出版年:起止頁碼. ③ 會議論文集:[序號]作者(姓前名后).題名[C]//編者.論文集名.出版地:出版者,出版年:起止頁碼. ④ 科技報告:[序號]作者(姓前名后).題名[R].報告題名,編號.出版地: 出版者,出版年:起止頁碼. ⑤ 學位論文:[序號]作者(姓前名后).題名[D].保存地點:保存單位,授予年份:頁碼. ⑥ 國際、國家標準:[序號] 主要責任者.標準編號,標準名稱[S].出版地:出版者,出版年. ⑦ 專利文獻:[序號] 專利申請者或所有者(姓前名后).專利題名:專利國別,專利號[P].出版日期. ⑧ 電子文獻:[序號] 作者(姓前名后).題名[電子文獻類型/標識](類型:數據庫用DB,計算機程序用CP,電子公告用EB;標識:磁帶用MT,磁盤用DK,光盤用CD,聯機網絡用OL).(發表或更新日期)[引用日期].電子文獻的出處或可獲得地址.建議在網址和相應的文獻間建立起超鏈接. 文獻作者3名以內全部列出,4名及以上只列前3名,后加“,等”或“,et al”. 2. 編輯部與作者的約定 (1) 本刊可接受網上在線投稿,在本刊的自動化采編系統完成投稿,凡初審符合要求的稿件,校內稿件每篇收取200元審稿費(東華大學校內經費卡轉賬),校外稿件每篇收取300元審稿費(將錢款郵匯到本刊編輯部).請勿一稿兩投或多投.稿件經專家兩審和編委復審通過同意發表,方可錄用,對刊用稿件收取一定的發表費.凡不宜在本刊發表的稿件,編輯部將及時退還作者.如作者投稿4個月內未收到本刊編輯部任何通知,可自行處理稿件. 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