時延異構多自主體系統的群一致性分析

李向軍 劉成林 劉飛

摘要：針對由一階自主體和二階自主體構成的異構多自主體系統的靜態群一致性問題，分別提出了在固定連接拓撲和切換連接拓撲結構下的靜態群一致性算法。通過構造LyapunovKrasovskii 函數，得到了系統在具有相同時變通信時延的群一致性算法作用下漸近收斂群一致的充分條件，并以線性矩陣不等式表示。最后，仿真結果表明， 所提算法在滿足一定條件下能使時延異構多自主體系統漸近收斂群一致。

關鍵詞：異構多自主體系統；群一致性；時變通信時延；切換拓撲

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A

Abstract：Concerning the stationary group consensus problem for the heterogeneous multiAgent systems， which are composed of firstorder Agents and secondorder Agents， two stationary group consensus protocols were proposed under fixed interconnection topology and switching interconnection topologies respectively. By constructing LyapunovKrasovskii functions， the sufficient conditions， which are formulated as linear matrix inequalities， were obtained for the system converging to the group consensus asymptotically under the group consensus algorithm with identical timevarying communication delay. Finally， the simulation results show that the heterogeneous multiAgent systems with time delay converg to the group consensus asymptotically under certain conditions.

Key words：heterogeneous multiAgent systems； group consensus； timevarying communication delay； switching topologies

0 引言

近年來，由于在多無人機/無人車系統的協調編隊、傳感器網絡的時鐘同步、衛星姿態協調同步等領域的廣泛應用，多自主體系統的一致性問題引起了眾多領域學者的深入研究，包括物理學、計算機學科、自動控制學科等。

作為多自主體系統協調控制研究中最基本和最主要的問題之一，一致性問題是指多個自主體通過局部協調耦合來實現所有自主體的狀態趨于相同。結合圖論和矩陣論等，文獻[1-4]研究了一階多自主體系統漸近達到一致的分布式協調算法及其收斂條件。利用頻域分析法，Yu等[5]得到了二階多自主體系統在相同輸入時延（或視為同步匹配通信時延）約束下實現動態一致性收斂的充要條件。文獻[6-7]考察了具有不同通信時延和輸入時延的二階多自主體系統在靜態一致性算法作用下的一致性收斂問題，分別利用頻域分析法和Lyapunov函數法得到了一致性收斂的充分條件。此外，自主體動態為一般線性時不變模型[8-9]和非線性模型[10-11]的多自主體系統的一致性問題也得到了廣泛關注，利用圖論、隨機矩陣理論等方法完成了一致性算法設計與收斂性分析。

現有的一致性問題研究主要考察所有自主體最終達到一個相同的一致性狀態，但是環境、狀況以及合作任務等改變要求自主體對未知狀況或變化作出相應的反應，從而整個多自主體系統會出現收斂多個最終一致狀態，此現象稱為群一致性問題。群一致性問題是指：一個網絡中的自主體被劃分為不同的子群，在信息交換同時存在于群內自主體和群間自主體的條件下，同一個子群的自主體狀態達到一致，不同子群的一致性狀態可以不同[12-16]。利用矩陣理論和Lyapunov穩定性理論，Yu等[12]得到了具有固定連接拓撲的一階多自主體系統達到群平均一致的充分條件，并在文獻[13]中采用雙樹型變換分析了具有切換拓撲結構的一階多自主體系統在切換拓撲在通信時延約束下的群一致性收斂條件。根據代數圖論和矩陣理論，文獻[15]給出了二階多自主體系統在固定連接拓撲下漸近達到群一致的充要條件。Xie等[16]分別用Lyapunov第一法和Hopf分岔法討論了定常時延對二階多自主體系統群一致性收斂的影響，并得到了時延相關一致性條件。

在實際的工程應用中，由于外界影響或者通信受限，各自主體通常具有不同的動態，所以針對由不同動態的自主體構成的異構多自主體系統的一致性問題研究更有實際意義[17-19]。根據圓盤定理和Lyapunov穩定性理論，宋運忠等[17]給出了混合一階和二階多自主體系統在無向動態切換拓撲結構下漸近達到一致的充要條件。Liu等[18]利用非負矩陣理論得到了具有不同通信時延的混合一階和二階多自主體系統在動態切換連接拓撲下一致性收斂的充分條件。根據Lyapunov穩定性理論，梁有明等[19]得到了異構多自主體系統在具有時變輸入時延的一致性算法作用下漸進收斂一致的時延相關充分條件，并表示為線性矩陣不等式。根據代數圖論和Barbalat引理，Hu等[20]討論了由參數不確定的歐拉拉格朗日系統和二階積分器構成的異構多自主體系統的群一致性問題，并給出了系統漸近收斂群一致的充分條件。

考慮到自主體之間信息交換不可避免地會產生通信時延，本文研究了由一階和二階自主體組成的異構多自主體系統在時變通信時延約束下的群一致性問題，并根據Lyapunov穩定性理論得到了異構多自主體系統分別在無向固定連接拓撲和無向切換連接拓撲下漸近收斂群一致的充分條件，所得條件均可轉化為線性矩陣不等式進行求解。

與文獻[12]相似，本文作如下假設：

假設1[12]各自主體與群間鄰居自主體的連接權值之和為零。

注1 在本文中，因為允許連接權值為負值，所以Laplacian矩陣并不是對角占優矩陣。與現有文獻[1-10]不同，不能保證Laplacian矩陣所有非零特征值均具有正實部。當連接拓撲連通且每個子群都連通時，Yi等[21]給出子群數目與Laplacian矩陣的關系，即子群數目與Laplacian矩陣零特征根的重數相同。

針對Laplacian矩陣，本文將用到如下假設：

假設2 L有且僅有兩個零特征值且其余特征值均具有正實部。

2.2 切換連接拓撲

選取N個對應不同連接拓撲圖的時間段，在每個時間段上對V（t）求導，并利用引理1和引理2進行放大，其過程與定理1的證明過程類似，從略， 因此，若不等式組（13）和不等式（14）成立，則系統（12）漸近穩定，即異構多自主體系統（11）將漸近收斂至群一致狀態。

注2 若通信時延τ（t）滿足假設4，即通信時延導數上限大于1或者未知時，能用和推論1相同的方法得到異構多自主體系統在切換拓撲結構下漸近收斂群一致的充分條件。

3 仿真結果

本章利用MaltabSimulink仿真平臺，構建自主體動態模型、自主體之間連接，以及引入時變通信時延，完成時延異構多自主體系統的一致性問題的數值仿真研究。

例1 固定拓撲結構下的群一致性收斂。

考察5個自主體構成的異構多自主體系統（4），假設含有兩個子群，其中二階自主體1、2、3組成一個子群，一階自主體4和5組成一個子群。各自主體的初始狀態隨機產生。 連接拓撲圖G如圖2所示，連接權值為a12=3，a13=1，a14=-1，a15=1，a24=1，a25=-1，a45=2，則系統的Laplacian矩陣L的特征值為：0，0，1.2984，3，7.7016，進而假設1和2滿足。在群一致性算法（3）中，選擇控制增益為k=1，通信時延為τ（t）=0.3|sin （t）|，其滿足假設3，即通信時延導數小于1。通過用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱驗證，存在正定矩陣P、Q、R、Z滿足線性矩陣不等式（6）和（7），其Simulink仿真結果如圖3所示。選擇通信時延：τ（t）=0.3|sin （10t）|，其滿足假設4，即時延導數上限大于1或者未知，其Simulink仿真結果如圖4所示。

由數值仿真發現：在異構多自主體系統漸進收斂群一致過程中，通信時延導數的增大將導致各自主體相對于其一致性狀態的超調量增大，這必然會增加各子群漸近收斂至一致的時間，但并不影響多自主體系統最終收斂群一致。

例2 切換拓撲結構下的群一致性收斂。

假設異構多自主體系統（11）由5個自主體組成，其含有兩個子群，其中二階自主體1、2、3組成一個子群，一階自主體4和5組成一個子群，且各自主體的初始狀態隨機產生。 不失一般性，考慮異構多自主體系統（11）的連接拓撲在圖2和圖5中的G、G1之間周期切換，切換周期T=1s。連接拓撲G1的連接權值為：a12=3，a13=1，a14=2，a15=-2，a24=-1，a25=1，a34=-1，a35=1，a45=3，則系統的Laplace矩陣L的特征值為：0，0，0.9050，3.4297，9.6653，假設1和2條件滿足。選擇控制增益k=1，通信時延選為τ（t）=0.5|sin （t）|，其滿足假設3，即通信時延導數小于1。通過用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱驗證，存在正定矩陣P、Q、R、Z滿足線性矩陣不等式組（13）和（14），其Simulink仿真結果如圖6所示。選擇通信時延：τ（t）=0.5|sin （10t）|，其滿足假設 4，即時延導數上限大于1或者未知，其Simulink仿真結果如圖7所示，將切換周期改為T=0.1s，其Simulink仿真結果如圖8所示。

4 結語

本文研究了由一階自主體和二階自主體構成的異構多自主體系統的群一致性問題。通過變量代換，異構多自主體系統的群一致性問題被轉化為等價誤差系統的漸近穩定性問題。在假設各自主體與群間鄰居自主體連接權值之和為零的前提下，利用LyapunovKrasovskii穩定性定理分別得到了具有相同時變通信時延的異構多自主體系統在固定連接拓撲和切換連接拓撲下的群一致性充分條件。值得注意的是：同一子群自主體將漸近趨于一致，不同子群自主體的一致性狀態可以不同；一致性收斂可以對通信時延的變化快慢具有魯棒性，但時延的變化快慢會影響群一致性的收斂速度；同時，一致性收斂對切換拓撲結構的切換頻率具有魯棒性，群一致性收斂不受切換周期大小的影響。

參考文獻：

[1]OLFATISABER R， MURR R M. Consensus problems in networks of Agents with switching topology and timedelays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2004， 49（9）： 1520-1533.

[2]OLFATISABER R， ALEX FAX J， MURRAY R M. Consensus and cooperation in networked multiAgent systems[J]. Proceedings of the IEEE， 2007， 95（1）： 215-233.

[3]LEWIS F L， ZHANG H， HENGSTERMOVRIC K， et al. Cooperative control of multiAgent systemsoptimal and adaptive design approaches[M]. London： SpringerVerlag， 2014：23-43.

[4]ZHANG Y， TIAN Y P. Consentability and protocol design of multiAgent systems with stochastic switching topology[J]. Automatica， 2009， 45（5）： 1195-1201.

[5]YU W W， CHEN G R， CAO M. Some necessary and sufficient conditions for secondorder consensus in multiAgent dynamical systems[J]. Automatica， 2010， 46（6）： 1089-1095.

[6]LIU C L， LIU F. Consensus problem of secondorder dynamic Agents with heterogeneous input and communication delays[J]. International Journal of Computers， Communications and Control， 2010， 5（3）： 325-335.

[7]林茜， 吳曉鋒. 時滯多智能體系統關于參考狀態的信息一致性[J]. 系統工程學報， 2010， 25（6）： 840-846.（LIN Q， WU X F. Consensus in multiAgent systems with delayed communication and reference state[J]. Journal of Systems Engineering， 2010， 25（6）： 840-846.）

[8]程龍. 具有復雜動力學的多智能體系統一致性控制及其應用[D]. 北京：中國科學院自動化研究所， 2009. （CHENG L. Consensus control and its application for complex dynamic multiAgent systems[D]. Beijing： Institute of Automation of Chinese Academy of Sciences， 2009.）

[9]YOU K Y， LI Z K， XIE L H. Consensus condition for linear multiAgent systems over randomly switching topologies[J]. Automatica， 2013， 49（10）： 3125-3132.

[10]LIU Z X. Consensus of a group of mobile Agents in three dimensions[J]. Automatica， 2014， 50（6）： 1684-1690.

[11]李韜， 孟揚， 張紀峰. 多自主體量化趨同與有限數據率趨同綜述[J]. 自動化學報， 2013，39（11）： 1805-1811.（LI T， MENG Y， ZHANG J F. An overview on quantized consensus and consensus with limited data rate of multiAgent systems[J]. Acta Automatica Sinica， 2013， 39（11）： 1805-1811.）

[12]YU J Y， WANG L. Group consensus of multiAgent systems with undirected communication graphs[C]// Proceedings of the 7th Asian Control Conference. Piscataway， NJ： IEEE 2009： 27-29.

[13]YU J Y， WANG L. Group consensus in multiAgent systems with switching topologies and communication delays[J]. Systems & Control Letters， 2010， 59（6）： 340-348.

[14]YU J Y， WANG L. Group consensus of multiAgent systems with directed information exchange[J]. International Journal of Systems Science， 2012， 43（2）： 334-348.

[15]FENG Y Z， XU S Y， ZHANG B Y. Group consensus control for doubleintegrator dynamic multiAgent systems with fixed communication topology[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2014， 24（3）： 532-547.

[16]XIE D M， LING T. Secondorder group consensus for multiAgent systems with time delays[J]. Neurocomputing， 2015， 153（4）： 133-139.

[17]宋運忠， 谷明琴. 混合階多智能體無向網絡的擬平均一致性[J]. 控制工程， 2009， 16（2）： 220-223.（SONG Y Z， GU M Q. Quasiaverage consensus in undirected networks of multiAgents with mixed order integrators[J]. Control Engineering of China， 2009， 16（2）： 220-223.）

[18]LIU C L， LIU F. Stationary consensus of heterogeneous multiAgent systems with bounded communication delays[J]. Automatica， 2011， 47（9）： 2130-2133.

[19]梁有明， 劉成林， 劉飛. 異質多自主體系統的一致性[J]. 系統工程學報， 2012， 27（5）： 583-592.（LIANG Y M， LIU C L， LIU F. Consensus of heterogeneous multiAgent systems[J]. Journal of Systems Engineering， 2012， 27（5）： 583-592.）

[20]HU H X， YU W W， XUAN Q， et al. Group consensus for heterogeneous multiAgent systems with parametric uncertainties[J]. Neurocomputing， 2014， 142： 383-392.

[21]YI J W， WANG Y W， XIAO J W. Reaching cluster consensus in multiAgent systems[C]// Proceedings of the 2nd International Conference on Intelligent Control and Information Processing. Piscataway， NJ： IEEE， 2011： 569-573.

[22]GU K. An integral inequality in the stability problem of timedelay systems[C]// Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway， NJ： IEEE， 2000： 2805-2810.

[23]HE Y， WANG Q G， XIE L， et al. Further improvement of freeweighting matrices technique for systems with timevarying delay[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2007， 52（2）： 293-299.

Background

This work was supported by the National Natural Science Foundation of China （61473138， 61104092， 61134007）， the National Natural Science Foundation of Jiangsu Province（BK20151130）.

LI Xiangjun， born in 1989， M. S. candidate. His research interest includes couplegroup consensus control of multiAgent systems.

LIU Chenglin， born in 1981， Ph. D.， associate professor. His research interests include decentralized coordinated control of multiAgent systems， nonlinear control.

LIU Fei， born in 1965， Ph. D.， professor. His research interests include advanced control， integrated automation industrial process.