二階矩陣環的交換圖的自同構*

周津名

(1. 中國礦業大學理學院，江蘇 徐州 221116；2. 合肥師范學院數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

二階矩陣環的交換圖的自同構*

周津名1,2

(1. 中國礦業大學理學院，江蘇 徐州 221116；2. 合肥師范學院數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

設Γ(M)為有限域上二階矩陣環的交換圖，通過構造Γ(M)的壓縮圖并研究兩圖的自同構群之間的關系，完全刻畫出Γ(M)的所有自同構。

矩陣環；非交換環；交換圖；自同構

近年來，很多學者致力于研究兩個同構的交換圖所對應的非交換環之間的關系及交換圖的參數問題[1-8]。與此同時，我們注意到關于圖的自同構問題的研究已取得很多成果，例如強正則圖、廣義正交圖、循環圖、零因子圖、Cayley 圖等圖的自同構的刻畫[9-13]，但對于交換圖的自同構問題的研究卻較為滯后。到目前為止，我們僅僅搜索到兩篇論文研究有限群的交換圖的自同構[14-15]，且目前還沒有公開發表的完全刻畫非交換環的交換圖的自同構群的論文，而研究交換圖的自同構群有助于研究代數系統上保交換的非線性映射?；诖?，本文致力于研究有限域上二階矩陣環的交換圖Γ(M)的自同構群，并將其完全刻畫出來。

1 預備知識

本文討論的圖均為簡單圖。對圖Γ，通常用V(Γ)表示Γ的頂點集。對頂點x∈V(Γ)，用N(x)={y∈V(Γ)|y與x鄰接}表示x在Γ中的鄰集。設A?V(Γ)，若A中的任意兩個不同的頂點在Γ中均鄰接，則稱A為Γ的一個團；若A中的任意兩個不同的頂點在圖Γ中均不鄰接，則稱A為Γ的一個獨立集。若V(Γ)上一個雙射σ保持Γ頂點間的鄰接關系(即x與y鄰接當且僅當σ(x)與σ(y)鄰接)，則稱σ為Γ的一個自同構。Γ的所有自同構形成的群稱為Γ的自同構群，記為Aut(Γ)。設n為正整數，記Sn為n次對稱群。設B為一個集合，|B|表示B的基數，SB表示B上的置換群。

設F是含q個元素的有限域，F*=F{0}，M2(F)為F上的所有二階矩陣構成的環，Eij為M2(F)中(i,j)元為 1 其余元為 0 的矩陣單位，I為M2(F)的單位陣，則環M2(F)的中心為Z={aI|a∈F}。對A∈M2(F)，記F[A]為域F上的關于A的多項式全體。簡記Γ(M)為M2(F)的交換圖，即以M2(F)為頂點集，兩個不相同的頂點A與B相鄰接當且僅當AB=BA。本節主要研究M2(F)中矩陣的中心化子，為研究Γ(M)及其壓縮圖ΓE(M)的結構及其自同構群做準備。

引理1 設A,B∈M2(F)，則

(i)F[A]={aA+bI|a,b∈F}，

(ii)F[A]=F[B]當且僅當存在a∈F*,b∈F使得A=aB+bI。

證明

(i) 通過直接計算，易證對任意的A∈M2(F)均存在a,b∈F使得A2=aA+bI，進而F[A]={aA+bI|a,b∈F}。

(ii) “?” 若A=aB+bI，其中a∈F*,b∈F，則由 (i)可得

故F[A]=F[B]。

“?”若F[A]=F[B]，則存在a,b,c,d∈F使得A=aB+bI,B=cA+dI。從而A=acA+(ad-b)I,B=acB+(bc+d)I, 進而

(1)

若A?Z或者B?Z，則由(1)式可知ac=1，進而a∈F*，A=aB+bI。若A,B∈Z，則顯然有A=B+(A-B+I),B=A+(B-A+I)滿足條件。證畢。

引理2 設A∈M2(F)，則C(A)=F[A]，C(A)={aA+bI|a∈F*,b∈F}。

從而

(2)

由 (2)式可知，對任意的2≤i,j≤4均有aibj=biaj，進而

(3)

Z={aA+bI|a,b∈F}=F[A]

證畢。

2 主要結論

本節構造了Γ(M)的壓縮圖ΓE(M)，通過研究ΓE(M)的自同構群及Aut(Γ(M))與Aut(ΓE(M))之間的關系，刻畫了Γ(M)的自同構群。

下面給出Γ(M)的壓縮圖。在給定的非交換環M2(F)中規定關系～：A～B當且僅當C(A)=C(B)。則Γ(M)的頂點集有如下分類

(4)

故Γ(M)的壓縮圖ΓE(M)以{[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}為頂點集，兩個不相同的頂點[Ai]與[Aj]相鄰接當且僅當AiAj=AjAi。

引理3 設A,B∈M2(F)，則AB=BA當且僅當[A]=[B]。

證明 若AB=BA，則由引理2可得,

故存在a0∈F*,b0∈F使得B=a0A+b0I，進而C(B)=C(a0A+b0I)=C(A)，從而[A]=[B]。反之，若[A]=[B]，則C(A)=C(B)，進而F[A]=F[B]，再由引理1可知存在a∈F*,b∈F使得B=aA+bI，故AB=BA。證畢。

接下來討論ΓE(M)的結構及其自同構群，然后再回到Γ(M)來討論Γ(M)的自同構群。

引理 4ΓE(M)為頂點數為q2+q+1的獨立集，且Aut(ΓE(M))?Sq2+q+1。

證明 由ΓE(M)的定義可知，

若ΓE(M)有一條邊從頂點[Ai]到頂點[Aj]，則AiAj=AjAi。由引理3可知[Ai]=[Aj]，矛盾。故ΓE(M)中沒有邊，其為獨立集。從而V(ΓE(M))的任一置換均為ΓE(M)的自同構，故Aut(ΓE(M))?Sq2+q+1。證畢。

下述引理討論了Γ(M)的具體結構, 其結論和文獻[1]的定理2一致，但該引理明確給出了Γ(M)的q2+q+1個團。

引理5Γ(M)為q2+q+1個團的不交并，且每個團的大小為q(q-1)。

引理6 對任意的σ∈Aut(Γ(M))，1≤i,j≤q2+q+1，若存在A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]，則σ([Ai])=[Aj]。

證明 設B∈[Ai]且B≠A，則[B]=[Ai]=[A]。由引理3得AB=BA，從而在Γ(M)中A和B鄰接，進而σ(A)和σ(B)鄰接，故σ(A)σ(B)=σ(B)σ(A)。由引理3可得[σ(B)]=[σ(A)]=[Aj]，即σ(B)∈[Aj]。從而σ([Ai])?[Aj]。由|[Ai]|=q(q-1)=|[Aj]|且σ為雙射可知σ([Ai])=[Aj]。證畢。

對任意的[Ai],1≤i≤q2+q+1，令σi為V(Γ(M))上的雙射，滿足σi([Ai])=[Ai]，且當B∈V(Γ(M))[Ai]時有σi(B)=B，即σi置換了團[Ai]內的頂點，同時穩定[Ai]外的頂點。顯然σi為Γ(M)的自同構，令Σi={σi|σi([Ai])=[Ai],σi(B)=B,B∈V(Γ(M))[Ai]}，則Σi為Aut(Γ(M))的子群，且Σi?S[Ai]?Sq(q-1)。接下來研究Aut(Γ(M))與Aut(ΓE(M))之間的關系。

證明 顯然，有：

以下分三個步驟來證明本定理。

第一步： 證明每一個σ∈Aut(Γ(M))均誘導一個σ′∈Aut(ΓE(M))。

對任意σ∈Aut(Γ(M))，令σ′為V(ΓE(M))上的映射，且σ′([Ai])=σ([Ai])，i=1,2,…,q2+q+1，下面分四步證明σ′∈Aut(ΓE(M))。

(ii)σ′是單射。 若σ′([Ai])=σ′([Aj])，則σ([Ai])=σ([Aj])，由σ為V(Γ(M))的雙射可知[Ai]=[Aj]，即σ′是V(ΓE(M))的單射。

(iii)σ′ 是滿射。 對任意[Aj]，由于σ為V(Γ(M))上的雙射，故存在i=1,2,…,q2+q+1，A∈[Ai]使得σ(A)∈[Aj]。由引理6知σ′([Ai])=σ([Ai])=[Aj]，即σ′為滿射。

(iv)σ′為ΓE(M)的自同構。由(i)-(iii) 可知，σ′為V(ΓE(M))={[Ai]|i=1,2,…,q2+q+1}上的雙射，由于ΓE(M)為獨立集，故V(ΓE(M))上的任意雙射均為ΓE(M)的自同構，故σ′∈Aut(ΓE(M))。

欲證φ為滿同態，只需證明φ為滿射且為同態映射，我們分兩步進行證明。

(v)φ為滿射。注意到對任意的σ′∈Aut(ΓE(M))，1≤i≤q2+q+1，均有|[Ai]|=q(q-1)=|σ′([Ai])|?？闪瞀覟閂(Γ(M))上滿足σ([Ai])=σ′([Ai]),1≤i≤q2+q+1的雙射，下證σ∈Aut(Γ(M))。一方面，對任意A,B∈V(Γ(M))，若A與B鄰接，則A≠B且AB=BA，從而[A]=[B]。不妨設[A]=[B]=[Ai]，其中1≤i≤q2+q+1，則存在1≤j≤q2+q+1使得

故

σ(A)∈σ([A])=[Aj],σ(B)∈σ([B])=[Aj]

而[Aj]={aAj+bI|a∈F*,b∈F}中的任意兩個矩陣均可換，故σ(A)和σ(B)可換。又由A≠B且σ為雙射可知σ(A)≠σ(B)。故在Γ(M)中σ(A)和σ(B)鄰接。另一方面，若σ(A)和σ(B)在Γ(M)中鄰接，則σ(A)≠σ(B)且σ(A)和σ(B)可換。由σ(A)≠σ(B)和σ為雙射易得A≠B。假設AB≠BA，則由引理3可知[A]≠[B]，從而[A]和[B]在獨立集ΓE(M)中不鄰接，進而σ′([A])和σ′([B])在ΓE(M)中不鄰接。而σ([A])=σ′([A]),σ([B])=σ′([B])，故σ([A])的任一矩陣與σ([B])中的矩陣均不可換，從而σ(A)和σ(B)不可換，矛盾。故假設不成立，即AB=BA。故σ∈Aut(Γ(M))，φ為滿射。

(vi)φ為同態映射。對任意的σ1,σ2∈Aut(Γ(M))，結合引理6可知，對任意[Ai]存在[Aj]使σ2([Ai])=[Aj]，則

又(σ1σ2)([Ai])=(σ1σ2)′([Ai])，從而(σ1σ2)′=σ1′σ2′，即φ為同態映射。

第三步：證明滿同態φ的核為

一方面，若φ(σ)=σ′為V(ΓE(M))上的恒等自同構，則對任意的1≤i≤q2+q+1均有σ′([Ai])=[Ai]，即

推論1 Aut(Γ(M))?(Sq(q-1))q2+q+1×Sq2+q+1證明 由定理1可知，

證畢。

由推論1立得如下推論。

推論2

設{j1,j2,…,jq2+q+1}={1,2,…,q2+q+1}，令δ(j1,j2,…,jq2+q+1)為V(Γ(M))上的雙射，且δ([Ai])=[Aji],1≤i≤q2+q+1。由引理5易知δ(j1,j2,…,jq2+q+1)為Γ(M)的自同構。令

由推論2立得下述結論。

推論3 Aut(Γ(M))=Δ

證明 顯然Δ?Aut(Γ(M))，又由

可知，Aut(Γ(M))=Δ。證畢。

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Automorphisms of the commuting graph over 2×2matrixring

ZHOUJinming1,2

(1. School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China;2. School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei 230601, China)

LetΓ(M)bethecommutinggraphof2×2matrixringoverafinitefield.ThecompressedgraphofΓ(M)isconstructedandtherelationshipoftheautomorphismgroupsofthesetwographsisstudied,thenalltheautomorphismsofΓ(M)aredetermined.

matrix rings; noncommutative rings; commuting graphs; automorphisms

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.007

2015-07-07

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11401570)；江蘇省自然科學基金青年基金資助項目(BK20140177)；2014年江蘇省普通高校研究生科研創新計劃資助項目 (KYZZ_0371)

周津名(1982年生)，女；研究方向:代數圖論;E-mail:zjminguv@163.com

O

A

0529-6579(2016)01-0039-05