非水平直圓管中黏性流體層流流量公式的推導及實驗驗證

路　陽

(北京農學院,北京 昌平　102206)

非水平直圓管中黏性流體層流流量公式的推導及實驗驗證

路陽

(北京農學院,北京 昌平102206)

摘 要：通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運動時的流量公式進行了推導。指出將泊肅葉公式中的壓強視作廣義壓強，則文中的推導公式與泊肅葉公式完全一致。說明泊肅葉公式可以用來求解非水平直圓管中黏性流體作層流運動時的流量。本文通過實驗驗證了推導公式。

關鍵詞：粘性流體；層流；流量公式推導；實驗驗證

在大學物理學中，流體力學部分的重點內容之一是關于不可壓縮的粘性流體作層流運動時的流量的討論，一些教材[1-6]以水平直圓管中粘性流體作層流運動時為例推導了流量公式，即泊肅葉公式。但并未說明非水平直圓管中的流量如何計算。

查閱文獻發現有些文獻[7-10]強調泊肅葉公式只適用于水平直圓管的粘性流體的流量計算；但有的文獻[11]認為泊肅葉公式既適用于水平直圓管也適用于非水平直圓管。

本文通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運動時的流量公式進行了推導，并用實驗驗證了推導公式。

1非水平直圓管中黏性流體層流流量公式的推導

圖1是半徑為R的直圓管，其軸線與水平面成任意角。管中有不可壓縮的粘性流體作層流運動。在管中選取與管同軸的半徑為r，厚度為dr的單位長度的圓管狀流體元，對該流體元流動中的能量進行分析。根據修正的伯努力方程[12]，流體元中單位體積的流體在始末位置處的總能量有如下關系

(1)

圖1　直圓管流體層流分析圖

(1)式中角標1，2分別表示流體元的初始位置和末位置，P代表流體壓強，ρ表示流體密度，v是流動速度，h是流體元相對重力勢能零勢能面的高度，w是單位體積的流體流動中損耗的能量，g為重力加速度。當管中流體作定常流動，且流管各處粗細均勻，根據流體連續性原理，有v1=v2。(1)式可整理為

w=(P1-P2)+ρg(h1-h2)=(P1+ρgh1)-(P2+ρgh2)

(2)

由(2)式可知，圖1中的研究對象“單位長度的流體元”在始末位置間損耗的總能量為

E=w2rdr

(3)

上式中η表示流體粘度。根據功能原理，流體元在流動中損耗的總能量等于其流動中受到的摩擦力做的總功。于是有

E=W

(4)

考慮到r=0時上式也成立，故c=0。得到

(5)

(5)式是直圓管中半徑為r的流層的流動速度，由此式可以得出半徑為R，長度為L的直圓管中粘性流體作層流運動時的流量Q為

(6)

將(2)式代入(6)式，得到

(7)

將(7)式中(P+ρgh)視為廣義壓強[10]，即流體壓強與單位體積流體的重力勢能之和，用符號P′表示廣義壓強，(7)式可改寫為

(8)

(8)式給出了與水平方向成任何角度的直圓管中不可壓縮粘性流體作層流時的流量計算公式，式中的壓強為廣義壓強。(8)式與教材中的泊肅葉公式形式是一致的，只是公式中的壓強含義有所不同。教材中泊肅葉公式中的壓強為單純的流動中的壓強，而推導出的公式(8)中的壓強為廣義壓強。當直圓管水平放置時，流體運動過程中重力勢能不變，(8)式中的廣義壓強P’就等于流動中的壓強P，此時(8)式與教材中的泊肅葉公式完全一致。

由上述推導可知，只要將泊肅葉定律中的壓強視為廣義壓強，則泊肅葉公式既可用于水平狀態直圓管的流量計算也可用于非水平狀態的直圓管的流量計算。

2非水平直圓管中粘性流體層流流量公式的實驗驗證

本實驗中以室溫下的自來水作為粘性流體。圖2是實驗的裝置簡圖。裝置主要由兩部分組成，①是恒水位槽，它由透明容器、進水管和溢水管組成；②是內半徑R為1 mm，長度L為50 cm的細管。管的一端與恒水位槽連接，另一端對準一容器，管中水流質量可通過稱量容器中承接的水的質量來確定。恒水位槽下方共安裝了長度相同、內徑相同的6根細管(圖中未將其全部畫出)，它們分別被固定在一豎直平面的不同位置上，與水平面方向分別成90°、75°、60°、45°、30°和15°。

保持恒水位槽中的水位高度H不變，分別采集1 min內與水平面成不同傾角的細管中的水流，稱其質量，得到表1中的數據。

2.1細管中流體運動狀態的確定

利用表1中與水平方向成90°角的實驗數據，計算該細管中水流狀態的雷諾數。該細管中1 min內水流平均質量為118.94 g，則1 s內水的體積流量為

由上述討論可知，與水平方向成小于90°的其它細管中的水的流動狀態也一定為層流。說明我們的實驗是在粘性流體作層流運動下進行的。

圖2　實驗裝置簡圖

表1　與水平方向成不同角度θ的細管中

2.2流量與細管傾角關系的實驗驗證

本實驗裝置中，恒水位槽的橫截面積遠大于細管的橫截面積，所以圖2中細管兩端的廣義壓強之差可表示為

ΔP′=ρgH+ρgLsinθ

(9)

上式中L為細管長度，θ為細管與水平面夾角。又因為細管長度遠大于細管內徑，細管中水流狀態為層流，所以細管中的流量可以用推導出的公式(8)求解。根據(8)式，1 min內細管中的水流質量可表達為

(10)

(10)式中t為時間。

根據(10)式，若保持ρ、t、R、η、L、H不變，則水流質量m與sinθ應成線性關系。

根據表1中的實驗數據，做出水流質量m與細管傾角正弦sinθ的關系圖，如圖3所示。

圖3　細管傾角與水流質量關系圖

從圖3中可以看到，當sinθ較小時，m與sinθ能保持較好的線性關系，這與推導公式(10)相符。但是，當θ大于60°以后，m與sinθ偏離了線性關系。這是因為將圖2中細管兩端的廣義壓強之差表達為(9)式時，忽略了恒水位槽中水流運動時的損耗功及運動中的動能。

設圖2中C點為重力勢能零點，對圖2中A、B兩點列修正的伯努力方程

(11)

則B、C兩點的廣義壓強之差為

(12)

(12)式中動能項和損耗功w是隨流動速度的增大而增大的，因此它們是H和θ的正相關函數。當H保持不變時，若θ較小，此兩項的和也較小，可以將其忽略不計，(12)式化為(9)式，水流質量m與細管傾角正弦sinθ成線性關系，如(10)式所示；當θ增大時，此兩項的和增大到不能被忽略，將(12)式代入公式(8)，有

(13)

(13)式可以解釋在圖3中θ增大后m與sinθ失去線性關系的原因。

上述討論說明，如果精確測量了流管兩端的廣義壓強差，我們推導出的公式(8)與實驗結果是相符的。

2.3流量與水位高度H關系的實驗驗證

以傾角為15°的細管為實驗對象，在保持管內流動為層流的前提下，改變恒水位槽中的水位高度值，選取7個不同的H，采集1 min內細管的水流質量，實驗數據見表2。根據表2的實驗數據得到水流質量m和水位高度H的關系圖，見圖4。

表2　不同水位高度時15°傾角細管中

圖4　水位高度與水流質量關系圖

由圖4可以看到，水流質量m和水位高度H成很好的線性關系。這是因為在15°傾角的細管中,對于不同數值的水位高度H，管中的流動速度都比較小，所以恒水位槽中水流運動時的損耗功及動能項對流量的影響可以忽略不計。

由實驗求得的水流質量m和水位高度H的關系再次證明我們的推導公式是正確的。

3結論

本文通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運動時的流量公式進行了推導。將導出公式中的流體壓強和單位體積流體的重力勢能兩項合在一起稱為廣義壓強，則本文的導出公式與泊肅葉公式形式完全一致。說明將泊肅葉公式中的壓強視作廣義壓強，該公式也適用于非水平狀態的直圓管中黏性流體的流量問題。

本文對非水平直圓管中黏性流體作層流運動進行了實驗研究，實驗結果與推導公式相符。

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The Derivation of Viscous Fluid Flow Formula and Experimental Verification in Non-Horizontal Straight Round Tube

LU Yang

(Beijing University of Agriculture,Beijing 102206)

Abstract：According to the Newton’s law of viscosity and modified Bernouli equation,a flow formula of laminar flow of viscous fluid in non-horizontal straight round tube is derivate.When the pressure in Poiseuille formula is regarded as generalized pressure,the derivation formula is just Poiseuille formula.The derivation formula is proved by experiments.

Key words：viscous fluid；flow formula；derivation；experimental verification

收稿日期：2015-11-07

文章編號：1007-2934(2016)02-0030-04

中圖分類號：O 4-34

文獻標志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.008