等間距線性數據的標準偏差

魏同利 ，郝惠娟

(1.北方民族大學，寧夏 銀川　750021；2.寧夏大學，寧夏 銀川　750021)

等間距線性數據的標準偏差

魏同利1，郝惠娟2

(1.北方民族大學，寧夏 銀川750021；2.寧夏大學，寧夏 銀川750021)

摘 要：對大學物理實驗中兩種不同類型的等間距線性數據進行了區分。第一類線性數據中，等權獨立的誤差來源于對每一位置的測量而與其它位置的測量無關，應該把每一測量點對最佳直線的偏離作為研究對象，其它參量的標準偏差應該從該對象的標準偏差為出發點求得；第二類線性數據等權獨立的誤差來源于每一次測量過程的增加量，應該把每一次測量的增加量同最佳增加量的偏離作為研究對象，其它參量的標準偏差應該從此對象的標準偏差為出發點求得。針對這兩類數據，分別按照算術平均值法、逐差法和最小二乘法的原則進行處理，給出了符合其數據類型對象的最佳斜率表達式和它們的標準偏差表達式.給出了它們的比較:第一類線性數據的最小二乘法處理的最佳斜率的標準偏差最??；第二類線性數據的算術平均值處理給出的標準偏差最小。

關鍵詞：算術平均值法；逐差法；最小二乘法；標準誤差；標準偏差

關于線性數據處理的三種方法平均值法、逐差法和最小二乘法的理論和實踐方面的討論已經持續了一些時間[1-12]。楊衛群提出了“用逐差法處理數據不科學[5]” 的提法，潘克宇和杜金潮則提出相反的意見，認為“逐差法彌補了算術平均法處理數據的不足[6]”；單明和聶燕萍論證了用逐差法求得斜率B的估計值bz，雖然不是B的方差最小最佳估值，但也是一個較好的估值，因其方差已接近最佳估值bl的方差.由于逐差法只需用簡單的代數運算就可以得到相應的結果,因此物理實驗教學中全部以最小二乘法取代逐差法是不妥的[7]；也有一些作者認為“逐差法處理同一組實驗數據時相對一般算術平均法能減小線性系數b的標準偏差，相對最小二乘法計算過程更簡單[8]”；高永祥認為“普通最小二乘法與加權最小二乘法的前提條件和基本假定是不相同的,不能在相同模型下比較普通最小二乘法和逐差法(加權最小二乘法)的優劣,否則,方法和模型會產生矛盾,得出錯誤結論”，給出不能否定也不能濫用逐差法的論斷[9]。也有一些同志重點討論了逐差法的獨特優越性：呂大韻提出“就其本質而言，逐差法主要是為了減小系統誤差的影響[10]”；左安友、余蘭山和李興鰲提出“逐項逐差”的結果， 能及時檢查數據規律,發現有無系統誤差[11]。

但是現行的研究相對局限在對方法本身“好或不好”的討論上，而對所處理的“對象(數據)”缺乏深入的研究。我們認為每種方法都有其適用的范圍,方法是否合用，在于該方法的假定和具體數據之間的貼近程度。故我們認為需要對數據本身作深入的研究,本文以牛頓環實驗和邁克爾遜干涉儀測激光波長兩種典型的線性數據為例，討論了兩類不同假設的數據類型.一類數據假設每一個測量點對客觀直線的偏離是等權的，應該選擇各點到直線的距離的標準偏差最小的直線，任一點的標準偏差就是各點到最佳直線的距離的標準偏差；另一類假設等量增加Δx時所對應的Δy的誤差是獨立且等權的，應該選擇一個合適的Δy，以使得各個Δyi對其偏離的方差最小，任一Δyi的標準偏差以選定的最佳值Δy進行計算，其它量的標準偏差的計算都應該以此標準偏差為單位進行計算。

粗看這兩種假設是等價的，但在我們對最佳斜率b的標準偏差的計算中可以看出，不同假設下的結果完全不同。第一種類型的數據，完全符合最小二乘法的假定，經計算，最小二乘法得到的最佳斜率的標準偏差最??；第二種類型的數據符合算術平均值法的假定，通過運算，此法所得的最佳斜率的標準偏差最小.故所謂方法的優劣不是絕對的，針對特定的數據類型選用合適方法是一種自然的做法。針對這兩種類型的線性數據，最小二乘法的適應性最好，由最小二乘法得到的最佳斜率b的標準偏差分別為最優(最佳結果)和次優(最佳結果的1.095 4倍)；逐差法也是不錯的，由其所得的最佳斜率b的標準偏差都為最佳結果的1.154 7倍。

1線性數據的分類及其研究對象

在數據之間，若理論上滿足線性關系y=bx+a,依據誤差來源的不同，我們認為存在兩種典型情況：

νi=yi-bxi-a

(1)

若假設任一yi的標準誤差與位置無關，則各νi等權且獨立，其標準偏差可計算為[2-4,12-13]

(2)

其中b為最佳直線的斜率，而a為最佳直線的截距.這種類型的線性數據的處理方法與最小二乘法的處理原則是一致的：以S(y)來衡量每次測量的隨機誤差.該類型數據的測量過程中，其x的正確性來源于每次測量的讀取，而與歷史無關。

另一種類型的誤差來源有所不同.這種類型的線性數據的測量過程表現為，在已經測得的數據(xi-1,yi-1)的基礎上，增加Δx，測量xi+Δx所對應的yi.每增加一個Δx，理論上應該在前次的測量值yi-1的基礎上增加一個客觀存在的Δy，所以已經測得的yi-1對yi的測量值有直接的影響.這種測量類似于通過使用某種量具，每次量取對應固定變化量Δx 的Δy，其誤差來源于每次測量中的量取誤差，每次的量取誤差是等權的，所以我們認為在這種數據中，應該把各個Δyi的測量誤差看作等權且獨立的誤差來源。在邁克爾遜干涉儀測激光波長的實驗中，每“涌出”或“縮進”ΔN 個干涉圓環，讀取一次M1 鏡的位置，是這種線性數據的典型代表。我們選取增加特定Δx所增加的Δy為研究對象：

Δyi=yi+1-yi

(3)

其標準偏差為

(4)

Δym為Δyi的某種加權平均，其值應該使得S(Δy)最小。該類型數據的測量過程中，其x的值為xi-1+Δx，xi-1依賴于歷史測量，Δx依賴于當次測量。

2第一種類型線性數據的不同處理方法下其最佳斜率的標準偏差

第一類線性數據的處理原則和最小二乘法的處理原則完全一致.在我們討論中，為了方便比較，假定存在有2n組數據，且x等間距變化。其每一點的y的標準偏差調整為

(5)

斜率b的計算公式[1-4,12]為

(6)

最小二乘法方法處理下最佳斜率b的標準偏差計算如下

(7)

對于逐差法，其最佳斜率的計算公式為

(8)

斜率的標準偏差S(bz)可以很容易的求得

(9)

對于算術平均值法，其斜率的表達式為

(10)

標準偏差S(bm)為

(11)

3第二種類型線性數據的不同處理方法下其最佳斜率的標準偏差

對于第二種類型的數據,其每次的增加量之間互相獨立且具有相同的標準誤差。故第二種類型的數據的處理原則和算術平均值法的原則完全一致。其“最佳”斜率的公式可寫成如下形式

(12)

易得其標準偏差為

(13)

對于逐差法，其最佳斜率經計算可得

(14)

斜率的標準偏差S(bz)可以求得

(15)

目前逐差法常用的關于不確定度的一些相關計算，對于第二種類型數據是錯誤的。如邁克爾遜干涉儀測激光波長的數據處理中，把ΔDi=dn+i-di看作等精度的獨立測量量，實際的情況是ΔDi之間并不獨立，因為在它們之間是有共用數據的(ΔD1和ΔD2之間就有d2.到dn+1之間的數據共用)，不獨立的數據不能直接使用求方和根的方式求得其標準偏差。

對于最小二乘法法，經計算，其最佳斜率的表達式為

(16)

標準偏差S(bl)的計算結果為

(17)

4結論

具體的測量中，必須仔細分析誤差的性質和來源，以確定線性數據的種類，選用合適的處理方法。第一種類型的線性數據，最小二乘法得到的最佳斜率的標準偏差最小，逐差法結果與其比較接近(1.154 7倍)；第二種類型的線性數據，三種處理方法所得到的最佳斜率的標準偏差相差不多，算術平均值法的結果稍小一些，最小二乘法和逐差法的結果是其1.095 4倍和1.154 7倍。

參考文獻：

[1]俞大剛.線性回歸模型分析[M].北京:中國統計出版社，1987.

[2]朱鶴年.物理實驗研究[M].北京:清華大學出版社,1994:83-103.

[3]朱鶴年.再談物理實驗中的直線擬合[J].工科物理,1994(3):23-26.

[4]成正維,王玉鳳,李朝榮，等.大學物理實驗[M].高等教育出版社,2004(6):35-36.

[5]楊衛群.用逐差法處理數據不科學[J].大學物理實驗,2001,14(2):46-48.

[6]潘克宇，杜金潮.逐差法彌補了算術平均法處理數據的不足[J].大學物理實驗,2003，16(1):60-62.

[7]單明,聶燕萍.線性擬合中的逐差法和最小二乘法的比較[J].大學物理實驗,2005,18(2):68-70.

[8]潘小青.逐差法及其應用探討[J].大學物理實驗,2010,23(2):86-87.

[9]高永祥.對逐差法擬合直線的討論[J].大學物理,2010,29(11):31-34.

[10] 呂大韻.對逐差法處理實驗數據的討論[J].物理通報,1999(10):39-41.

[11] 左安友,余蘭山,李興鰲.再論用逐差法處理實驗數據[J].大學物理實驗,2003,16(2):64-65.

[12] 劉淵.誤差理論與數據處理[D].大連:大連理工大學,2008：79-84.

[13] 陳奎孚，李巖峰.從逐差法到對差法[J].大學物理實驗，2015(5)：118-122.

The Standard Deviations of Linear Dates with Equal Intervals

WEI Tong-li1,HAO Hui-juan2

(1.Beifang University of Nationalities,Ningxia Yinchuan 750021;2.Ningxia University of Nationalities,Ningxia Yinchuan 750021)

Abstract：Two types of linear dates have been distinguished.The standard deviation has been calculated by method of the mean values,the successive minus and the least squares respectively,there comparison has been given.For the first kind of linear dates,the independent errors with equal rights is derived from the measures of the locations and has nothing to do with the position measurement in different place,the method of least squares gives the minimal standard deviation.For the second type of linear dates the independent errors with equal rights is derived from the increment in the process of measuring,the method of arithmetic mean gives the minimal standard deviation.

Key words：method of arithmetic mean；method of least squares；method of successive minus；standard errors；standard deviation

收稿日期：2015-11-27

基金項目：寧夏哲學社會科學規劃項目(15NXBYJ06)

文章編號：1007-2934(2016)02-0106-04

中圖分類號：O 4-33

文獻標志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.028