基于樣條有限點法的變截面Euler梁橫向自由振動分析

劉　鵬， 劉紅軍， 林　坤， 秦　榮

(1. 哈爾濱工業大學 深圳研究生院,廣東 深圳　518055；2.廣西大學 土木建筑工程學院,南寧　530004)

基于樣條有限點法的變截面Euler梁橫向自由振動分析

劉鵬1， 劉紅軍1， 林坤1， 秦榮2

(1. 哈爾濱工業大學 深圳研究生院,廣東 深圳518055；2.廣西大學 土木建筑工程學院,南寧530004)

基于Bernoulli-Euler梁理論，采用樣條有限點法建立考慮截面高寬度沿軸線性變化的變截面Euler梁振動分析的計算模型，通過沿梁軸線設置一定數量的樣條節點對變截面梁樣條離散化，采用三次B樣條函數對梁的位移場進行插值，基于Hamilton原理導出變截面Euler梁的振動方程，推導考慮截面尺寸變化效應的總剛度和總質量矩陣的表達式，并編制計算程序，算例分析表明，模型的變截面梁的橫向自振頻率解答與文獻解答吻合良好，計算精度和計算效率高，且模型邊界處理簡單，取樣條離散節點數為15時，模型可以取得較高精度且解答趨于穩定。模型可適用于不同邊界、不同截面變化率和不同截面類型的變截面Euler梁的自由振動分析。

歐拉梁理論；變截面梁；橫向自由振動；樣條有限點法

梁結構是工程中重要的結構，在土木、橋梁及航空航天等領域，梁式結構得到廣泛運用，梁的振動問題也是工程結構中重要問題，對長細比較小的細長梁，基于Bernoulli-Euler梁理論(EBT)建立動力分析模型可以滿足工程精度要求[1]。變截面梁截面的不確定性，使得其建模與分析方法與等截面梁不同，等截面Euler梁自由振動分析已經具有解析解，而變截面Euler梁自由振動分析尚無統一解析解[2]。為此，研究人員們針對變截面Euler梁振動分析提出了各類數值和建模方法研究，如有限差分法[3-4](FDM)，微分變換法[5](DTM)、微分變換單元法[1](DTEM)、修正耦合應力理論[6](MSCT)及其他數值分析方法[2, 7-8]等。

秦榮[9-11]提出用于結構分析的樣條有限點法(Spline Finite Point Method,SFPM),研究表明SFPM具有不需劃分結構單元，邊界處理方便，計算精度和效率較高等優點，可對各類梁、板、橋梁等結構進行分析[12-14]。對變截面Euler梁結構的振動問題, 并未見有文獻報道采用SFPM進行建模分析?；赟FPM的優點，本文針對截面高寬和寬度沿軸線方向線性變化的變截面Euler梁，采用SFPM建立其振動分析模型，首次推導其考慮梁截面尺寸變化效應的剛度矩陣和質量矩陣的整體表達式，通過算例分析研究截面尺寸變化效應對變截面Euler梁的橫向自由振動頻率的影響，并與文獻計算結果比較，驗證本文方法的正確性。

1變截面Euler梁SFPM計算模型

1.1Euler梁理論

如圖1所示變截面梁，假定彈性模量E和材料密度ρ均沿著梁軸線為常數，梁跨為L，梁橫截面面積A(x)和慣性矩I(x)沿著梁軸線按冪函數連續變化。根據EBT理論，在受外部橫向荷載p=p(x,t)作用下，設變截面Euler梁的橫向位移設為w=w(x,t)，可得變截面Euler梁的位移、應變、應力的表達式為：

(1)

圖1　變截面梁示意圖Fig.1 The sketch of tapered beams

(2)

(3)

式中：cb,ch,cd分別為與b(x),h(x),d(x)相關的截面變化系數；cb=ch=cd=0表示為等截面梁；A0,I0為變截面梁左端的截面面積和慣性矩。

由式(1),(2)展開，可得：

(4)

基于Hamilton原理，可得不考慮阻尼作用下變截面Euler梁的運動總勢能泛函為[11]：

(5)

1.2變截面Euler梁SFPM計算格式

基于SFPM的建模離散方法[10]，對圖1所示的變截面Euler梁 沿軸線x方向進行樣條離散，并對梁進行均勻劃分，設N為樣條離散節點個數，hx為樣條離散步長，離散示意圖如圖2所示。

圖2　變截面沿軸線梁樣條離散化Fig.2 Spline discretization of tapered beam

圖2中，有：

0=x0

xi=x0+ihx,hx=L/N

(6)

采用三次B樣條函數對變截面Euler梁的橫向位移場w(x,t)進行插值，有：

w=w(x,t)=[φ(x)]{a(t)}=[φ]{a}

(7)

式中：

(8)

式中[φ]為一組由三次B樣條函數構成的樣條基函數；{a}為樣條節點廣義參數。本文采用廣義參數法構造出適合各種邊界條件的樣條基函數[10-11]，將[φ]展開可寫為：

[φ]=[φ-1φ0φ1…φNφN+1]=

[φ3,-1φ3,0…φ3,Nφ3,N+1][Qs]=

[φ3,i]1×(N+3)[Qs]

(9)

式中：[Qs]為(N+3)×(N+3)階的轉換矩陣；φ3,i為與樣條節點和離散步長相關的3次B樣條函數，可展開為：

(i=-1,0,…,N,N+1)

(10)

[Qs]=diag([g],[I],[h])

(11)

式中：[I]為(N-3)×(N-3)階的單位矩陣

本文采用的樣條基函數[φ]滿足邊界條件[10]

(13)

對式(7)求導，得：

(14)

將式(7)、(14)代人式(5)得變截面Euler梁的運動樣條離散化后的總勢能泛函為

(15)

式中

(16)

(17)

(18)

對式(14)，利用變分原理，可得

δΠ=?Π/?{a}=0

(19)

得到變截面Euler梁樣條離散化的彎曲振動方程

(20)

若外荷載為零，可得變截面Euler梁樣條離散化的自由振動方程為：

(21)

假定變截面Euler梁軸線上各節點均按相同的頻率作簡諧振動，并令{a}={φ}sin(ωt+θ)，并代人式(21)，可得頻率方程為：

([K]-ω2[M]){φ}={0}

(22)

式中令λ=ω2，則式(22)可化為

([K]-λ[M]){φ}={0}

(23)

式(23)即為變截面Euler梁自由振動問題的特征方程，為使式(23)有非零解，則必有

(24)

1.3剛度矩陣、質量矩陣計算

將式(4)代人式(16)、(17)，可得變截面Euler梁的剛度矩陣和質量矩陣的展開式為：

(25)

(26)

式中：

i,k=-1,0,1,…,N,N+1

(27)

其中Ax,m,Fx,n為(N+3)×(N+3)階矩陣，是本文模型的重要矩陣，也是推導本文模型變截面Euler梁振動方程的關鍵步驟，可采用分部積分法進行計算，詳見本文后節推導。

[K]=EI0[Ax0],[M]=ρA0[Fx0]

(28)

1.4分部積分計算

假定t=x/hx-i,c=k-i,0

(29)

并假設

(30)

代人式(27)中，可得各矩陣的積分計算式為：

(31)

i,k=-1,0,1,…,N,N+1

(32)

當m=n=0時，將式(30)～(32)展開并進行分部積分運算，可得：

f(t)=φ″3(t-c)λ(t)=φ3(t-c)

(33)

(34)

(35)

同理，當m=n=2時，將式(30)～(32)展開并進行積分運算， 可得

f(t)=f1(t)φ″3(t-c)f1(t)=(t+i)2

λ(t)=λ1(t)φ3(t-c)λ1(t)=(t+i)2

k=0,1,2

(36)

(37)

f(t)(-j)=∫f(t)(-j+1)dt=

(38)

(39)

λ(t)(-j)=∫λ(t)(-j+1)dt=

j=1,2,3,4

(40)

當m,n取其它值時，可按同樣方法計算，限于篇幅本文不在展開計算，將所有計算得到的各矩陣代人式(25)～(27)就可得到變截面Euler梁SFPM計算模型的剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]。

2邊界條件

在計算自振頻率前，需先根據邊界條件對剛度和質量矩陣進行邊界處理。綜合式(13)及樣條基函數的特性[10-11]，變截面Euler梁的SFPM計算模型的邊界條件按以下方式處理：

2) 滿足廣義參數a-1=0，就可保證梁左端簡單支條件(wx=0=0)；

4) 滿足廣義參數aN+1=0，就可保證梁右端簡支條件(wx=L=0)

以兩端固定梁為例，處理廣義參數a-1,a0,aN,aN+1所對應[K],[M]矩陣的前兩行兩列，就可滿足變截面Euler梁兩端固支邊界條件；處理方法采用縮減矩陣法，即直接將[K],[M]中對應邊界的行列直接刪去，對兩端固支梁，經過邊界處理后的[K],[M]矩陣的縮減成(N-1)×(N-1)階的矩陣。

3算例分析

分析各類變截面梁橫向自由振動，計算其橫向自由振動頻率值。定義四種邊界條件：兩端固支(C-C)、兩端簡支(P-P)、一端固支一端簡支(C-P)、一端固支一端自由(C-F)。

算例1等截面Euler梁 及SFPM模型計算精度討論

據表1計算結果可知，等截面Euler梁各階自振頻率的SFPM解與解析解、文獻解吻合良好，驗證了本文模型對等截面Euler梁橫向自由振動分析是可靠的；當取樣條離散節點N≥15時，本文可獲得較高的計算精度和計算效率。

表1　等截面Euler梁無量綱頻率系數邊界)

算例2高度變化寬度不變矩形變截面Euler梁自振頻率計算

矩形變截面Euler梁 ，高度沿軸線線性變化，寬度不變，采用文獻[7]算例2的參數L=1 m,b0×h0=0.01×0.03 m,bN×hN=0.01×0.01 m,E=2.1×1011N/m2,ρ=7 800 kg/m3，計算得到截面變化率：cb=0,ch=2/3

文獻[7]中采用一種分段建模的數值方法，對該矩形變截面Euler梁的橫向振動頻率進行分析。

本文采用SFPM模型對文獻算例進行驗證，表2 給出了不同樣條離散節點數N情況下，按本文方法建模分析得到的P-P邊界矩形變截面Euler梁自振頻率的解答，并給出誤差比較。表3給出了C-C，C-F邊界情況下矩形變截面Euler梁的頻率解答和誤差比較。

表2　矩形變截面Euler梁無量綱頻率系數邊界)

注：誤差值是本文解N=15與文獻NS=8解的差值

算例3直徑變化圓形變截面Euler梁自振頻率計算

圓形變截面Euler梁，材料參數同算例2，截面類型變為圓形截面，截面尺寸：L=1 m,d0=0.02 m,dN=0.01 m經計算得截面變化率：cd=0.5 m。表4給出按SFPM計算得到的P-P邊界圓形變截面梁自振頻率，并給出取不同樣條節點數N情況下的計算值和與文獻解[7]的誤差比較；表5給出C-C和C-F邊界條件下圓形變截面Euler梁的頻率解答及誤差比較。

表3　矩形變截面Euler梁無量綱頻率系數

注：err1=(P1-R1)/R1×100%;err2=(P1-R2)/R2×100%;NS是梁分段數

表4　圓形變截面梁無量綱頻率系數邊界)

注：誤差值是本文解(N=15)與文獻NS=8解的差值

由表2～表5計算結果可知，本文模型計算得到變截面Euler梁橫向振動頻率SFPM解答與文獻[7,15]

非常逼近，驗證本文模型可以分析不同截面類型的變截面Euler梁的振動問題。

綜合表2和表4計算結果可知，在樣條節點數N取到15時，變截面Euler梁的自振頻率解答已經收斂，繼續增加節點數N對計算精度提升不明顯。而通過表3、表5的數據可知，在較少的樣條離散節點數(N=15)情況下, 本文模型解答具有很高的計算精度且能適用于不同邊界條件。

文獻[15]在取較多梁分段數(NS=128)計算模型的頻率解答才與本文解答逼近(N=15),而本文模型無需要劃分結構單元，只需設置適當的樣條節點數，就可以獲得很高的計算精度和計算效率，而且頻率的計算精度與梁的長度無關，這也是本文模型的創新性所在。

注：err1=(P1-R1)/R1×100%;err2=(P1-R2)/R2×100%;NS是梁分段數

算例4高寬度同時變化時矩形變截面Euler梁自振頻率計算

計算參數取自文獻[4]，矩形變截面混凝土簡支梁(P-P)，計算參數為：L=4 m,b0×h0=0.2×0.2 m,bN×hN=0.4×0.3 m,E=2.0×1010N/m2,ρ=2 500 kg/m3；計算得到截面變化率：cb=-1,ch=-0.5；文獻[4]采用有限差分法建立變截面Euler梁的動力分析模型，該方法的計算精度主要取決于計算步長數n。本文采用SFPM進行建模分析，分析樣條離散節點數對計算精度的影響，計算結果列于表6中。

表6　矩形變截面Euler梁無量綱頻率系數邊界)

注：誤差值是本文解(N=15)與文獻解(n=900)的差值

同時，采用本文SFPM建立模型(取N=15)，分析cb,ch變化對不同邊界條件下變截面Euler梁的自振頻率影響；表7給出cb,ch變化時P-P和C-F邊界變截面Euler梁的前2階頻率系數；圖3給出C-F邊界變截面梁前2階頻率系數隨cb,ch的變化曲線。

由表6計算結果可知，對截面高度寬度同時變化的矩形變截面梁，SFPM計算模型同樣可以獲得較高的計算精度，再次驗證本文方法的正確性。

由表7計算結果及圖3可知，不同邊界條件條件下，變截面Euler梁的各階頻率隨截面變化率cb或ch的變化呈現出不同的變化趨勢：

(1) 對P-P邊界變截面梁，保持cb不變，各階頻率均隨ch的增大而明顯減少，且比較ch=0.8與ch=0的頻率值，可得1階頻率的平均減幅為52%，2階頻率的平均減幅為45%左右；而保持ch不變情況下，隨cb的增大，除基頻稍微減小外，P-P梁各階頻率均基本保持不變；

(2) 對C-F邊界變截面梁，保持cb不變，隨著ch的增大，1階頻率呈增大趨勢，2階頻率呈減小趨勢，比較ch=0.8與ch=0頻率值，經計算可得1階頻率平均增幅為18%，2階頻率平均減幅為28.5%；而保持ch不變，各階頻率隨著cb增大而增大，其中1階頻率增加較快，2階頻率增加較為平緩，比較cb=0.8與cb=0的頻率值，可得 1階頻率的平均增幅為50%，而2階頻率的平均增幅為17%。

本文作者也分析了cb,ch的變化對C-C和C-P邊界變截面Euler梁的橫向自振自由振動的影響，結果表明： 與P-P邊界類似，C-C和C-P邊界變截面Euler梁的自振頻率隨ch增大(cb不變)而明顯減小，平均減幅為在35%-45%之間；當cb增大(ch不變)時，除C-P梁的第1、第2階頻率隨cb增大而有微小增大外，C-C和C-P梁的自振頻率均隨cb增大(ch不變)而基本保持不變?？梢?，不同邊界條件下，變截面梁的橫向自振頻率隨截面變化率cb,ch變化呈現出不同的變化趨勢。

表7　不同截面變化率cb,ch下 矩形變截面Euler梁無量綱頻率系數 i

圖3　C-F邊界變截面Euler梁的頻率系數隨cb,ch的變化Fig.3 Variation of the non-dimensional frequencies for clamped-free (C-F) tapered Euler beam with respect to the variation of taper ratio (cb,ch)

4結論

本文基于SFPM建立變截面Euler梁的振動分析的計算格式：

(1) 首次基于SFPM推導出截面高度、寬度線性變化的變截面Euler梁的振動分析模型，給出其整體剛度和質量矩陣的表達式；本文模型具有邊界簡單，程序編制方便，計算精度和效率高的優點，可適用于不同邊界、不同截面變化率情況下的變截面梁的自由振動問題。對其他更高階次截面變化類型的變截面梁的振動分析，本文方法同樣適用。

(3) 本文模型計算精度與樣條節點數N取值相關，與梁跨度L無關。當取N=15時，變截面梁的橫向自振頻率解答已經收斂且保持穩定，繼續增大N值，對計算精度提升影響不大。

(4) 不同邊界條件下，變截面Euler梁的橫向自振頻率隨截面高度和寬度變化率的變化呈現出不同的變化趨勢。

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Free transverse vibration analysis of tapered bernoulli-euler beams based on spline finite point method

LIU Peng1, LIU Hong-jun1, LIN Kun1, QIN Rong2

(1. Shenzhen Graduate School, Harbin Institute of Technology, Shenzhen 518055, China;2. College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Based on Bernoulli-Euler beam theory, a new model was presented here to study free transverse vibration problems of tapered Euler beams by using the spline finite point method (SFPM) considering both width and height of beams’ cross section linearly varying along the axial direction. With the proposed method, a beam was discretized by a set of uniformly scattered spline nodes along the axis direction instead of meshes, and the cubic-B spline interpolation functions were utilized to approximate the displacement filed of the beam. The free vibration equation of the beam was derived base on Hamilton Principle, and the global stiffness and mass matrices for the tapered beam were deduced in detail. The results of examples showed that the solutions to natural frequencies of tapered beams based on the proposed method are good in agreement with those reported in literatures; the proposed method has a higher accuracy, a lower computational cost and an easier way for boundary treatment; the solutions with a higher accuracy can be achieved by selecting the spline node number of no less than 15; the presented model is suitable for the free transverse vibration of tapered beams with various cross-section types, tapered ratios and boundary conditions.

Bernoulli-Euler beam theory; tapered beam; free transverse vibration; spline finite point method

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.011

國家自然科學基金(51178153)

2015-09-17修改稿收到日期：2015-12-02

劉鵬 男，博士生，1983年生

劉紅軍 男，教授，博士生導師，1968年生

E-mail：liuhongjun@hit.edu.cn

TU311.3

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