孔軸配合的精度預測與公差優化設計

呂程　易廣威　劉子建

摘要：以圓柱形孔軸配合的結合面為研究對象，研究了新一代GPS標準體系下多公差項的孔軸配合實際誤差模型。以圓柱度為例，結合GPS標準中圓柱面形狀誤差的評定方法，采用蒙特卡洛法模擬誤差的隨機性，建立了孔軸圓柱面體外擬合尺寸實際變動區間求解模型，并分析實際誤差對配合性質的影響。分析了包括方向公差（或位置公差）在內的三類公差耦合作用下孔軸結合面誤差的形成機理，建立了不同配合性質下的圓柱形孔軸結合面的實際誤差模型，獲得了結合面誤差分量的實際變動區間以及實際的配合性質。實現了在設計階段對孔軸實際裝配精度的預測。以實際的孔軸結合面精度與配合性質要求為約束，孔軸加工成本為目標，進行了孔軸零件的公差優化設計。最后以一孔軸配合的裝配誤差分析與公差優化為例，驗證了該方法的可行性與實用性。

關鍵詞：蒙特卡洛模擬法；結合面誤差；裝配精度預測；配合性質；公差優化設計

中圖分類號：TH115 文獻標識碼：A

孔軸配合是機械產品中最常見的重要配合類型之一。根據產品的功能要求確定孔軸的配合性質，進行合理的公差設計，對保證裝配精度和降低制造成本具有重要的意義?？纵S的裝配精度影響結合面的接觸狀態，從而對產品的運動精度、裝配難易程度和使用壽命等產生影響。因此，進行孔軸裝配精度研究具有重要的工程意義。

國內外學者對圓柱形孔軸配合精度的影響因素與建模方法進行了大量有意義的研究。徐旭松和黃芳研究了基于新一代GPS規范體系的SDT公差建模理論，探討了裝配公差分析模型。U.Roy等分析了公差的語義，建立了基于數學定義的尺寸公差、形狀公差、定向與定位公差的數學模型，用于求解孔軸裝配誤差。Anselmetti將偏差分解為基本幾何元MEDG的變動，通過建立約束幾何模型和偏差矢量，計算孔軸偏差傳遞。周思杭通過對單個零件及零件間的偏差傳遞分析，建立偏差傳遞模型，提出了基于偏差傳遞模型的裝配精度計算方法。劉偉東等詳細闡述了裝配偏差的種類、作用，偏差計算模型和評價方法，提出了孔軸配合偏差的有向圖表達方法。

上述研究重點針對孔軸間的某類公差進行，從裝配結合面角度對存在多種公差耦合作用的孔軸配合裝配誤差建模方法以及加工誤差對配合性質影響的研究還比較少見。零件加工誤差通過裝配結合面傳遞、累積，因此，結合面是誤差傳遞累積作用的關鍵點。本文針對圓柱形孔軸配合的裝配結合面，在考慮多種誤差數據隨機性的基礎上，提出孔軸結合面裝配誤差的建模方法，分析了實際誤差對配合性質的影響。據此在設計階段實現對孔軸裝配精度的預測，并以此為依據進行零件的公差優化設計，保證設計要求的裝配精度與功能要求的配合性質。

1 孔軸圓柱面的誤差與配合性質

孔軸圓柱面的加工誤差是孔軸裝配結合面誤差的主要來源。需首先明確圓柱表面自身的誤差變動，因此，此時圓柱面為單一要素，即除尺寸公差外，只有形狀公差要求。兩者的關系可以為相互獨立、相互影響或相互補償，并以具體關系為依據判別加工零件是否合格。獨立原則是處理兩者關系的基本原則。下面主要討論獨立原則下圓柱面在尺寸公差與形狀公差要求下的誤差變動情況。

1.1 孔軸圓柱面誤差的實際變動分析

以圓柱度作為形狀公差，分析同時存在尺寸公差和形狀公差要求時孔軸圓柱面的誤差變動。由于形狀誤差的存在使圓柱面的形狀發生了改變，分析這種改變對孔軸配合性質的影響，通常以孔和軸的體外擬合尺寸代替實際孔軸圓柱面尺寸進行配合誤差分析。結合GPS標準體系中圓柱度誤差的測量與評定方法，可知圓柱度公差作用下的孔軸圓柱面與其體外擬合尺寸的關系如圖1所示。

圖1中，圓柱的軸線為實際圓柱面的擬合軸線，T_F為圓柱面形狀公差，D_ae為該圓柱面作為內表面（孔）時的體外擬合尺寸，d_ae為該圓柱面作為外表面（軸）時的體外擬合尺寸，d_act為任意一處圓柱面的局部實際尺寸。

設圓柱面的直徑基本尺寸為D，尺寸公差為T_D，上下偏差分別為T_DU，T_DL（T_D=T_DU-T_DL）?？芍植繉嶋H尺寸的變動區間為：

上述討論確定了在尺寸公差與形狀公差作用下，圓柱面作為孔和軸表面的體外擬合尺寸的變動區間及約束關系。但未考慮加工過程的隨機性，無法確定孔軸圓柱面體外擬合尺寸的實際變動區間。

1.2 孔軸體外擬合尺寸的實際變動區間

由于圓柱面加工誤差具有隨機性，因此孔軸體外擬合尺寸的變動也具有隨機性。本文采用蒙特卡洛法模擬孔軸體外擬合尺寸變動的隨機性，進而獲取孔軸體外擬合尺寸的實際變動區間。蒙特卡洛模擬法是通過對隨機變量的統計實驗和隨機模擬來求解問題近似解的方法，具有適應性強、方便程序實現、求解誤差與問題維數無關等優點。

蒙特卡洛法求解孔軸體外擬合尺寸實際變動區間的步驟如下：

1）假設孔軸體外擬合尺寸符合正態分布（有效分布范圍6σ）。由式（2）得D_ae，d_ae理想分布的均值及標準差為（D+（T_DL+T_DU-T_F）/2，（T_D+T_F）/6），（D+（T_DL+T_DU+T_F）/2，（T_D+T_F）/6）。

2）進行孔軸體外擬合尺寸的模擬抽樣。因約束關系式（3）的存在，d_ae，D_ae不同的變動順序可能導致取值區間不同。因此，分別對兩種變動順序進行抽樣。以d_ae→D_ae為例，抽樣流程如圖2所示：

圖2中，k記錄滿足條件的樣本數量，初值為0；K為每種抽樣順序要求的合格樣本數，取K=10000；K1為常量，用以防止抽樣過程陷入死循環。完成抽樣后可得2K組孔軸體外擬合尺寸樣本。

3）因d_ae，D_ae的實際分布與理想分布存在差異，因此采用x²擬合檢驗法對孔軸體外擬合尺寸進行假設驗證。若經驗證屬于正態分布，則采用極大似然估計法估計分布函數的均值與方差分別為：若經驗證不屬于正態分布，則可通過當量正態化法將其轉化為等效正態分布，在此不做詳細討論。

4）根據孔軸體外擬合尺寸的實際分布類型與標準差，查表可得孔軸體外擬合尺寸的實際變動區間帶寬為：式中：G為相對分布系數，正態分布時G取1?？纵S體外擬合尺寸的實際變動區間為：

1.3 孔軸配合的實際配合性質

孔軸的配合性質與孔和軸圓柱面的尺寸和形狀誤差相關，直接影響運動精度、裝配性能等，是保證產品功能的重要因素。由于孔軸實際表面在隨機誤差作用下偏離了理想的設計尺寸與形狀，可能導致孔軸的配合性質超出設計范圍。因此，有必要對孔軸的實際配合性質進行分析。

孔軸的配合性質與孔和軸的體外擬合尺寸直接相關。根據孔與軸各自的公差設計值，通過蒙特卡洛法分別獲得孔軸體外擬合尺寸樣本。以孔軸配合間隙S_c衡量孔軸配合性質。S_c≥0表示最小間隙為0的間隙配合，S_c<0表示過盈配合?？赏ㄟ^對樣本的分析獲取實際配合性質與設計要求的配合性質之間的關系。例如，通過對間隙值的分析可得實際配合性質符合設計要求的概率。

2 孔軸結合面誤差建模

圓柱形孔軸結合面是指具有配合關系的圓柱形孔軸表面相互貼合形成的一對接觸面?？纵S的尺寸、形狀及方向位置誤差伴隨裝配過程在結合面處耦合累積形成的結合面誤差，是影響裝配體誤差傳遞、運動精度、產品性能與使用壽命等的關鍵因素。在產品設計階段依據精度設計值通過合理的誤差模型進行產品裝配精度預測是驗證精度設計合理性的重要手段。

2.1 結合面誤差的形成機理

孔與軸的理想軸線的相對位姿變動體現了孔軸各類誤差在結合面處綜合作用的效果。下面以孔軸理想軸線的相對位姿變動討論結合面誤差，如圖3所示。

圖3中，孔與軸的表面為實際體外擬合圓柱面。T_P1，T_P2分別為軸與孔的方向或位置公差。a₁，a₂為軸、孔的理想軸線，a₁′，a₂′為軸、孔的實際體外擬合圓柱面軸線，l為孔軸的配合長度。

理想裝配（零誤差）時應有a₁與a₂重合，因方向或位置誤差的存在使實際擬合軸線a₁′與a₂′偏離各自的理想軸線，又因配合間隙等使a₁′與a₂′不重合，形成了結合面復雜的誤差形式。以軸為裝配基準件，結合面的誤差形成機理如圖4所示。

2.2 結合面誤差建模

為方便描述結合面的誤差變動，采用小位移旋量（SmallDisplacementTorsor，SDT）描述結合面誤差，即S=（α，β，δ，u，v，ω）。其中口，β，δ表示繞x，y，z軸轉動的微小變動量，u，v，ω表示沿x，y，z軸移動的微小變動量。

根據新一代GPS標準中的恒定度概念可知，當一個幾何要素受到自身形狀與方位限制后，仍可沿（或繞）某一坐標軸方向平動（或轉動），則其具有該方向上的恒定度，對應的SDT分量為0。以垂直度及位置度為例，設孔軸的理想軸線均為z軸方向（后文均默認軸線為z軸方向），其SDT如表1所示。

設圖3中公差T_P1，T_P2均為具有圓柱形公差域的位置公差。因圓柱面具有徑向同性的特點，因此以過軸線的xoz截面內的孔軸位姿為例，分析結合面的誤差變動。結合面誤差為理想軸線a₂相對于a₁的位姿變動（誤差分量為β，ω）。結合面誤差根據其形成機理，各部分誤差分量的變動可統一表示如下：式中：β_iU，β_iL為第i部分誤差中誤差分量β變動區間的上、下邊界；ω_iU，ω_iL為第i部分誤差中誤差分量叫變動區間的上、下邊界，-l/2≤x≤l/2（后文中x取值均為該區間）。則結合面誤差為：

各部分誤差中，各誤差分量變動區間的邊界取值如下：

1）i=11時，位置公差T_P1限制了a₁到a₁′的誤差變動，因此β_iU=-β_iL=T_P1/l，ω_iU=-ω_iLT_P1/2。

2）i=12時，a₁'到a₂'的誤差變動與孔軸具體的配合性質直接相關，具體如下：

a）過盈配合時，因孔軸圓柱表面完全貼合，因此軸線重合，無相對位姿變動。β_i=0，ω_i=0。

b）間隙配合時，因配合間隙S_c=D₂-D₁，使孔軸產生相對位姿變動。因此有β_iU=-β_iL=S_c/l，ω_iU=-ω_iL-S_c/2。D₁，D₂為軸、孔實際體外擬合尺寸。

3）i=22時，位置公差T_P2限制了a₂'到a₂的誤差變動，因此β_iU=-β_iL=T_P2/l，ω_iU=-ω_iLT_P2/2。

結合式（5）與步驟1）～3）的誤差分量變動區間，通過蒙特卡洛法分別獲得各β_iU與各叫ω_iU的變動區間，由式（6）可得結合面誤差分量的實際變動區間。

圓柱面直徑尺寸公差域和形狀公差域均徑向同性，若孔與軸的位置公差域也徑向同性（如公差域為圓柱區域），則結合面誤差的SDT為（0，β，δ，0，v，ω），且δ₁₂=β₁₂，v₁₂=ω₁₂。否則δ₁₂與v₁₂需根據各部分誤差源對應的公差域特點具體分析，在此不再贅述。根據設計給定的公差值及上述結合面誤差模型可實現具體孔軸配合的裝配精度預測。

3 孔軸配合的公差優化設計

加工成本是進行公差設計需要考慮的主要因素。如果經誤差分析與裝配精度預測后，孔軸裝配精度或配合性質不滿足設計要求，則需改進公差設計來減小誤差，提高配合質量。進行公差優化設計的目的是在滿足精度與配合要求的前提下，同時滿足加工的經濟性。

遺傳算法是源于自然遺傳進化機制的搜索優化算法，已經廣泛應用于公差優化研究中。本文以加工成本為目標，結合面裝配精度與配合間隙為約束條件，且滿足公差設計時T_D>T_P>T_S的基本原則，其中T_D為尺寸公差，T_P為位置公差，T_S為形狀公差。設孔與軸的各項公差的公差域均有徑向同性的特點，即結合面誤差的SDT為（0，β，δ，0，V，ω），且δ=β，V=ω。按照帶約束優化問題的表達形式，孔軸配合的公差優化問題可表達如下：式中：C_F（T）為加工成本函數；n為公差項數；m為約束不等式g_i（T）的數量。

上述問題的約束不等式多為復雜的隱式函數，因此優化過程也非常復雜。為兼顧工程經濟性與計算效率，本文將以一合理的計算代數作為優化過程的結束條件，因此需保證優化過程中的每組迭代點均處于約束的可行域內。而內點懲罰函數法是在處理不等式約束優化問題中滿足上述需求的一種十分有效的方法。因此，本文選取內點懲罰函數法將上述問題轉化為非約束問題。根據約束g_i（T）≤0，可取懲罰項為：式中：c為下降系數，c<1，一般可取c=0.5～0.7。初始懲罰因子r^（0）的選取應適當，r^（0）選取過小時，可能導致函數形態變壞，r^（0）選取過大將使收斂速度下降，計算效率降低，但可保證計算過程的穩定性。通常，初始點的選擇應使懲罰項在適應度函數中不起到主導作用。遺傳算法公差優化流程如圖5所示。

圖5中G為優化過程的計算代數。Φ_min為計算過程中的優化結果，其初始值由當前公差設計值根據式（7）計算。

4 實例分析

圖6為孔軸配合零件的公差設計圖。要求孔軸結合面誤差分量β₁₂，δ₁₂位于區間[-0.005，0.005]內，v₁₂，ω₁₂位于區間[-0.1200，0.1200]內，且滿足設計圖給定配合間隙的概率不小于98%。

由圖5可知，設計的配合間隙為[0，0.25]。設計給出的軸的尺寸公差、位置公差、形狀公差分別為T_D1=0.1（T_OU1=0，T_DL1=0.1），T_P1=0.08，T_P1=0.04，孔的尺寸公差、位置公差、形狀公差分別為T_D2=0.15（T_DU2=0.15，T_DL2=0），T_P2=0.1，T_P2=0.04?？着c軸的各項公差的公差域均徑向同性。根據前文所述方法，通過MATLAB編程實現結合面誤差求解、配合性質分析及公差優化設計。過程如下：

1）通過蒙特卡洛模擬分別求得孔軸實際體外作用尺寸的實際變動區間，通過對模擬結果的樣本分析獲得孔軸實際配合間隙的分布，如圖7所示。

圖7中，滿足配合要求的概率為98.9%，滿足設計要求，即雖然產生了超出配合要求的過盈配合，但概率很小，可忽略其影響。

2）由于孔與軸的位置公差域均徑向同性，可知結合面誤差的SDT為（0，β，δ，1，v，ω），且δ₁₂=β₁₂，v₁₂=ω₁₂，因此，可僅針對β₁₂與叫ω₁₂進行求解。結合面誤差分量的實際變動區間為：

另外，為驗證結合面誤差求解方法的精確效果，通過極值法求得結合面誤差分量的變動區間如下：對比兩種方法所求的結合面誤差，如表2所示。

由表2可知，本文所述的方法較極值法求得的結合面誤差的變動區間寬度平均下降了18.18%。但實際的精度仍然未達到精度設計要求。在此，進行公差的優化設計以提高精度，滿足裝配精度要求。

3）孔軸表面的公差優化設計。采用文獻給出的加工成本模型，也是加工成本最常用的模型：

a）軸的尺寸與形狀公差成本函數：b）孔的尺寸及形狀公差成本函數：

代人計算得總公差加工成本為15.21。

根據圖5所示流程，通過MATLAB編程實現公差的優化設計。遺傳算法的基本參數為：種群規模M-100，交叉概率R-0.8，變異概率Pm-0.05，計算代數G-200。優化結果（保留兩位小數）如表3所示。

根據公差優化值可得優化后的配合間隙滿足配合要求的概率為98.10%，零件公差加工成本為11.72?？梢?，通過公差的優化設計，在滿足精度要求的前提下大幅降低了加工成本。

本文所述的結合面誤差求解方法考慮了多種公差的耦合作用，可更準確地預測裝配精度和實際配合性質，并提供了公差優化設計方法，從而滿足孔軸配合的精度要求，并降低了加工成本。

5 結論

本文采用蒙特卡洛模擬法模擬圓柱面實際加工誤差的隨機變動，求得了孔與軸的體外擬合尺寸的實際變動區間，分析了實際的配合性質。以孔軸配合的結合面誤差為研究對象，研究了包括尺寸公差、形狀公差、位置（或方向）公差在內的多種公差耦合作用的圓柱形孔軸結合面誤差的形成機理，建立了孔軸結合面的實際誤差模型，為在設計階段較準確地預測孔軸實際配合性質與裝配精度提供了有效方法。同時給出了基于遺傳算法的孔軸各項公差的優化設計方法。論文通過圓柱形孔軸結合面誤差分析與公差優化設計實例，驗證了本文研究方法的可行性、實用性與經濟性。