空間解析幾何柱面的3D動畫表現

趙由由，閆亞軍

（1.安徽新華學院，安徽合肥230088；2.安徽大學藝術與傳媒學院，安徽合肥230011）

空間解析幾何柱面的3D動畫表現

趙由由1，閆亞軍2

（1.安徽新華學院，安徽合肥230088；2.安徽大學藝術與傳媒學院，安徽合肥230011）

空間解析幾何與3D動畫是兩個完全不同的學科，對空間解析幾何圖形在3D動畫中表現的研究，是一個新的嘗試.柱面母線移動應用3D動畫常規技術不能以動態化視覺圖形表現出來；3D動畫沒有曲線方程，不能精確繪制雙曲線等準曲線，進而使這種柱面難以表現.通過對兩個學科的比較分析，深度挖掘3D動畫技術，采取3D動畫模型庫中的模型直接創建柱面、手工繪制準曲線、表達式表示準曲線的柱面表現這三種方法，將柱面在3D動畫中表現出來，使得空間解析幾何中的圖形變得真實、藝術和富有生命.

空間解析幾何；柱面；3D動畫；表現

1　引言

空間解析幾何是用代數的方法解決空間幾何的問題，它建立在坐標系下的數與形的相互結合上[1].柱面是由一條平行于某一定方向的動態直線沿著空間一條定曲線移動所產生的曲面，其中動直線為母線，定曲線為準曲線，定方向為母線方向.柱面在建筑、軍事、游戲等諸多領域有著較廣泛的應用[2].

三維簡稱3D動畫是隨著計算機應用的流行而興起的一門技術，它是用3D圖形的形式表現真實世界和虛擬世界，是在虛擬環境中用各種可視要素仿真現實對象和創建虛擬對象來影響人的視覺. 3D動畫設計系統是進行3D動畫制作的環境，它屬于計算機輔助工程設計范疇[3]，更多的表現為視覺藝術學科，該技術已應用到眾多行業.

空間解析幾何與3D動畫是兩個完全不同的學科[4]，前者表現在數學領域，后者則更多的表現在視覺藝術方面，對空間解析幾何圖形在3D動畫中表現的研究，在國內外有少數人對“Matlab等現代數學軟件表現解析幾何圖形動畫”[5]等進行研究之外，使用3D動畫這種藝術設計系統來表現空間解析幾何圖形的，目前還是一個新的嘗試；柱面母線移動這種理論性視覺圖形，應用3D動畫常規技術不能將其以動態化圖形視覺形式表現出來；3D動畫沒有曲線方程，對于雙曲線等為準曲線的一些柱面，不能繪制其按方程要求的準曲線，進而使這種柱面難以表現.“空間解析幾何柱面的3D動畫表現”，以柱面作為空間解析幾何的圖形，對這兩個學科進行比較分析，找出它們的代數與幾何特點，深度挖掘3D動畫技術，將柱面在3D動畫中表現出來，實現空間解析幾何的圖形具有了3D動畫的視覺藝術效果[6].

2　空間解析幾何與3D動畫之間的比較分析

空間解析幾何主要解決的是根據空間圖形歸納出該圖形的代數方程，或者根據代數方程描繪出空間圖形，它是解決代數表示圖形以及圖形歸納代數這種雙向數學問題的學科.這里的空間圖形一般要滿足一定的規律與條件，繪制的圖形不生動，不精細，而代數又以相對應的坐標系作為支持，其中直角坐標系是最常用的坐標系.例如，柱面是平行母線方向的母線沿著準曲線運動所形成的曲面，這里的母線方向、準曲線是有規律條件的，不同的規律條件帶來柱面圖形、方程的差異.如將母線方向定為Z軸方向，準曲線方程為，那么得到的柱面是橢圓柱面，其柱面方程為而將準曲線方程改為=1，z=0或y2=2px，z=0，則得到雙曲柱面或拋物柱面，它的柱面方程就要改寫為=1和y2=2px了.如果給定柱面方程，我們就可以在直角坐標系下繪制相應柱面的圖形[7].

在3D動畫設計系統中，能夠設計出各種形式的立體幾何體造型，稱其為模型，模型的產生需要通過建模技術.模型大多以實體顯示，圖形精細而真實，如長方體、球體等，在這些模型中很多沒有什么規律可循，也不能用代數來描述規律.在模型的代數表示上，3D動畫有多種坐標系，這種坐標系主要用來確定整個模型的位置、比例、方向以及模型其它屬性值等，當模型進行精確顯示時，一般使用坐標的具體參數值，如長方體的長、寬、高值，而變量，常規情況下沒有人使用，對于空間解析幾何含未知量的代數方程，3D動畫設計系統中根本就沒有.要對具有一定規律屬性的模型，需要對3D動畫技術進行深度挖掘，采取程序表達式方式進行描述.3D動畫中的代數反映模型，其代數都是定量.如直線，在代數幾何上是無限長、無粗細的，但在3D動畫設計系統中，它是有長度和粗細的，再如直線的移動形成的曲面，在幾何中，兩相鄰線為無厚度密不可分的，而在3D動畫設計系統中，線的移動造成兩相鄰線之間有一定的距離.3D動畫除了空間幾何圖形之外，還有燈光、色彩、時間等賦予幾何圖形之上的各種屬性，并利用鏡頭視角顯示它們，正因為這種圖形上的各種屬性和視角，使得空間幾何圖形在視覺表現上具有了生命.

由此，空間解析幾何與3D動畫具有許多相同之處，它們都具有繪制圖形的功能，都能反映空間幾何的造型，都建立在坐標系下，能用代數表現幾何圖形.空間解析幾何主要解決的是如何用方程表示圖形和如何用代數描繪圖形，但對圖形僅用幾條線勾畫甚或不進行繪制.而3D動畫的圖形繪制即建模，以真實實體的形式顯示出來，再對模型施加多種視覺元素，使得圖形很生動.在代數表示方面，3D動畫的坐標系與空間解析幾何是兩個完全不同的概念，3D動畫是沒有方程式的，只能用定量值，但存在表達式、腳本語言等高深代數技術.

3　柱面在3D動畫中的表現

從柱面的靜態與直線移動這兩種圖形特征著手分析，柱面在3D動畫中的表現，實際上是對柱面的圖形特征進行直觀與藝術化顯示，即柱面的直接靜態實體顯示和以一條線移動逐漸形成柱面的過程顯示.為了提高其藝術觀賞性，一般還對柱面顯示添加材質特效等視覺元素.

由于3D動畫設計系統具有對空間對象進行鏡頭視角調節功能，柱面的準曲線可以直接放在世界坐標系的XY平面即地平面上，母線使用平行Z軸即垂直地平面的圓柱體，其高度與底面半徑的比例設置大些.如果柱面是非直柱面，則對圓柱體按母線方向進行傾斜等操作.柱面在3D動畫中的表現，可采取模型庫中的模型編輯創建、手工繪制準曲線、表達式表示準曲線三種方法進行研究，進而完成的所有柱面的表現.

3.1模型庫中的模型直接創建柱面的表現

這種柱面的顯示，實際上就是立體幾何體，例如直圓柱面，從模型庫選中圓柱體模型直接創建即可得到.對于準曲線圓的半徑值，在模型圓柱體中通過半徑參數進行調節.如果母線方向與準曲線面成某夾角，那么，可以對模型圓柱體施加傾斜等編輯命令.如圖1所示，是3D動畫中的圓柱面.

圖1　模型圓柱面

模型庫模型顯示，對圓、橢圓、長方形等準曲線，能按準曲線方程直接制作出柱面，對一些如雙曲線、拋物線等作為準曲線在模型庫中沒有的柱面，可以依照視覺進行手工制作出柱面，但不能嚴格按照準曲線方程進行柱面制作.

3.2手工繪制準曲線的柱面表現

這種準曲線很多情況下無規律性可言，完全依據個人的設計理念，它們都具備一定造型與應用價值，如今有很多建筑裝飾中用這種設計方法.例如，以3dsmax作為3D動畫設計環境，在頂視圖手工繪制二維圖形“心型”，取名“xinxing”作為準曲線.這時柱面的表現可以采取如下方法：

方法一，對“xinxing”附加建模工具制作出柱面，如在“xinxing”上使用Extrude或loft工具即可得到柱面；

方法二，應用母線在準曲線“心型”上的移動形成靜態柱面.(1)在頂視圖創建圓柱體，名為“zhixian”，半徑0.5，高為300，高分段數改為1；(2)并將“zhixian”約束到“xinxing”上實現沿路徑移動動畫；(3)執行快照復制若干“zhixian”到“xinxing”上形成非動畫柱面.

上述柱面的顯示都是靜態圖形，如果要進行母線在準曲線“心型”上移動而逐漸形成柱面這種動態視覺表現，常規方法做不出來的.但可以使用方法三.

方法三，采取方法二中的(1)、(2)步驟，(3)編寫并運行MaxScript程序：克隆運動的“zhixian”若干個（200），對克隆的直線分別在不同時刻i處增加關鍵幀，并將它們已有的末關鍵幀（100）刪除，其語句：

for i=1 to 100 by 0.5 do(xzhixian=copy$zhixian; select xzhixian;at time i(addnewkey xzhixian.Position. Controlleri;selectkeysxzhixian.position.Controller 100;deletekeys xzhixian.Position.Controller#selection))

如果母線方向與準曲線面成一定角度，當“zhixian”創建完成后，對其進行角度調整，然后使用上述方法即可.如圖2所示，是手繪準曲線“心型”多種方法的柱面表現.

圖2　手繪準曲線“心型”的柱面

3.3準曲線為表達式的柱面表現

三準動畫是沒有代數方程的，而柱面準曲線的規律性一般以方程式來體現，對于這種柱面，可以先對準曲線方程進行改造，將方程轉換成以時間為變量的表達式，再使用非常規方法實現柱面的顯示.例如準曲線是XY平面上雙曲線（a=4，b=3），繪制該雙曲柱面.首先將方程=1修改成表達式x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4，z=0，然后采取下列方法：

方法一：(1)在頂視圖創建圓柱體“zhixian”，radio:1，height:50作為母線，并復制三個共四條直線，其名分別為“zhixian01”、“zhixian02”、“zhixian03”，前兩個移至雙曲線頂點[4，0，0]點，后兩個移到[－4，0，0]；(2)對四條直線的位置分別設置表達式控制器，其表達式分別為[x,y,0]、[x,-y,0]、[-x,y,0]、[-x,-y, 0]其中x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4；(3)再對該四直線執行快照復制，即得到靜態的雙曲柱面.

方法二，表現直母線移動效果的動態雙曲柱面.在MaxScript下編寫并運行程序：

animate on;for i in 0 to 100 do(xx=4+0. 2*I;yy=3*sqrt(xx*xx-16)/4;zxys=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,yy,0];zxyx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,-yy,0];zxzs=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,yy,0];zxzx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,-yy,0];if i1then(attime (i-1)(zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);

at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on; zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on));else(at time 0 (zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on;zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on)))

圖3　表達式形式的雙曲柱面

4　總結

通過實現3D動畫模型庫模型柱面的表現、手繪準曲線柱面的表現、準曲線方程轉換成表達式柱面的表現，各種柱面在3D動畫中不僅能以靜態圖形顯示出來，還能將理論性柱面母線移動圖形以動態化圖形視覺形式表現出來，如果再對這些圖形附加上材質等視覺元素，使得空間解析幾何中的簡單靜態圖形變得真實精細而生動，使得空間解析幾何這種數學理論具有了藝術生命.

〔1〕王曉靜,張蒙,張艷.空間直線方程一題多解的探析[J].高等數學研究,2010（2）:37－39.

〔2〕邵光華,王培合.高等院校數學專業解析幾何課程改革研究[J].大學數學，2011(3):17-21.

〔3〕唐紅平.三維動畫創造性的語言[J].浙江工藝美術，2007(4):73-75.

〔4〕張桂宜.游走于數學與藝術設計之間[J].上海工藝美術，2010(2):96-97.

〔5〕鄧燕,李傳濤,王海英.三維動畫演示在解析幾何教學中的應用[J].荷澤學院學報，2011(2):112-114.

〔6〕曾麗娟,吳健平.光影藝術在現代景觀設計中的應用研究[J].安徽農業科學，2010(18):9823-9825.

〔7〕楊興云,張磊,趙軍生.《空間解析幾何》直觀性教學選材實踐[J].黑龍江科技信息，2009(24):201+ 117.

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1673-260X（2016）03-0044-03

2015-12-28