始于湊數，經歷調整， 建立模型

徐英飛

【教學內容】

人教版四年級下冊第103頁。

【課前思考】

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在《孫子算經》中，現被編排在人教版四年級下冊。筆者曾以“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有11個頭，從下面數，有28只腳。雞和兔各有幾只？”為例，做過兩次前測，一次是農村小學的一個四年級班（39人，從未學過奧數），結果只有2人湊出了正確結果，另一次是城鎮小學的一個四年級班（43人），結果只有9人得出了正確結果（包括學過“假設法”的5人），這說明“雞兔同籠”問題真的很難。當時也讓會假設法的學生給大家說一說，結果大家都聽不懂，但湊數法沒怎么說就明白了。因此，只有“湊數和調整”才是解決“雞兔同籠”問題最好的方法。

【教學目標】

1.經歷“猜測、調整”的過程，建立“兔雞同籠”問題的解題模型。

2.培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。

3.激發學生學數學、用數學的興趣。

【教學重點】

讓學生學會一種解決問題的策略“猜測、調整”。

【教學難點】

怎樣調才能一步到位。

【教學過程】

一、談話引入

師：（直接出示課題）同學們，今天這節課我們要研究“雞兔同籠”問題，你猜猜看，它可能要我們研究點什么？

二、探究新知

1.初步感知

課件出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有11個頭，從下面數，有30只腳。雞和兔各有幾只？

師：請同學們自主讀題，嘗試解決。

師：誰愿意匯報？

預設一：假設法，假設全部是雞或全部是兔。

預設二：湊數法（如右圖），先猜雞是5只，兔是6只，結果總結腳多了4只，于是又猜雞是6只，兔是5只，結果還是多2只，最后換成雞是7只，兔是4只，正確了。

師：有的同學用了“假設全部是雞或全部是兔”的方法，但我們都聽不懂，而另一種“先猜測再調整”的方法，卻讓我們一看就明白了，你愿意用這種方法試試嗎？

課件出示例2：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有14個頭，從下面數，有44只腳。雞和兔各有幾只？（讓學生用“猜測、調整”的方法嘗試）

組織展示和交流（不同的學生選擇的數據可能會不同，但本質是一樣的：都是從不正確調整到正確。交流中可以滲透列表法和畫圖法，比如下圖）。

（設計意圖：通過例1，能讓學生初步感知“湊數法”，通過例2，可以讓學生初步運用“湊數法”，經歷了“猜測與調整”之后，再去尋找“怎樣調才能一步到位”的規律，就容易多了。）

2.探究規律

課件出示例3：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有108只腳。雞和兔各有幾只？讓學生自主解答。

組織匯報和交流（學生的方法肯定很多，但因數據的原因，大多數方法調整起來比較麻煩）。

師：我們發現數據大了，猜測的結果往往與正確結果相差比較大，這時候調整起來就比較麻煩。那么怎樣調才能一步到位呢？請同學們繼續探究。

師：誰愿意匯報一下自己的發現？

預設：（如右圖）假設雞有5只，兔有30只，則總腳數是130只，比正確數多22只，所以需要加雞減兔，因為一只兔換成一只雞會減少2只腳，所以要減少22只腳的話，可把11只兔換成11只雞。

師：11只是怎么得出來的？（22÷2=11）

師：請大家再完整地寫一寫算式。

預設：5×2+30×4=130（只）130-108=22（只）22÷2=11（只）5+11=16（只）30-11=19（只）

師：如果是猜20只雞，15只兔，你能一步調整到位嗎？請試一試。

預設：20×2+15×4=100（只），108-100=8（只），比正確數少8只，所以要減4只雞加4只兔。

師：通過剛才一系列研究，你們覺得可以怎樣解決“雞兔同籠”問題？

預設：只要總頭數正確，雞和兔的只數可以任意猜，然后再根據總腳數進行調整。

（設計意圖：通過這部分的教學，能讓學生經歷多次的“猜測、調整”過程，既鞏固了解決“雞兔同籠”問題的方法，又發現了“怎樣調才能一步到位”的規律。）

3.溝通聯系

師：我們再回到例1，剛開始的時候，有同學用了“假設全部是雞或全部是兔”的方法?，F在你們能看懂嗎？

預設：假設全部是雞，其實就是猜雞11只，兔0只，所以總腳是（11×2）22只，比正確數少了（30-22）8只，因此要減4只雞加4只兔，即雞是7只，兔是4只。

師：所以假設“全部是雞或全部是兔”，也是“猜測、調整”的方法。

（設計意圖：經歷了“猜測與調整”，再去看“假設法”的時候，就十分簡單了，再加上前面的“列表法”和“畫圖法”，學生就會發現所有的方法，殊途同歸。）

三、練習鞏固

1.自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

2.全班一共有38人，共租了8條船，每條小船坐4人，每條大船坐6人，每條船都坐滿了。大、小船各租了幾條？

（設計意圖：通過變式題的練習，能讓學生發現生活中的很多問題都可歸結為“雞兔同籠”問題類型。通過這些問題的解決，既拓寬了思路，又鞏固了解題模型。）