干擾子空間正交投影快速零陷跟蹤波束賦形算法

馬曉峰 陸 樂 盛衛星 韓玉兵 張仁李

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干擾子空間正交投影快速零陷跟蹤波束賦形算法

馬曉峰*陸 樂 盛衛星 韓玉兵 張仁李

(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

該文針對LEO星載陣列天線抑制角度動態變化的有源干擾的需要，提出一種干擾子空間正交投影的快速零陷跟蹤波束賦形優化算法。算法采用干擾子空間動態更新與迭代正交投影，不斷快速修正零陷位置，并通過迭代傅里葉變換(IFT)技術進行優化加速。所提出的快速算法在整個干擾零陷跟蹤過程中，具有穩健和精確的控制方向圖主瓣賦形區形狀和陣元電流激勵系數動態范圍的能力，同時具備自適應最小化方向圖旁瓣電平的能力，適用于星載系統在線實時計算。仿真實驗驗證了算法的快速性、有效性和穩健性。

低軌道衛星通信；快速波束賦形；抗干擾零陷；快速傅里葉變換

1 引言

低軌道(LEO)衛星通信多波束數字陣列天線不僅可以同時形成多個對地等通量覆蓋的低旁瓣賦形波束，實現大張角覆蓋區域的等靈敏度通信，還具備通信過程中實時調整方向圖零陷位置，動態抑制干擾的能力。而穩健的快速波束賦形算法仍然制約著上述功能的在星載平臺上的實現。

最早的波束賦形方法是Woodward-Lawson方法[1]，該方法旁瓣電平和通帶內波紋控制困難。將Taylor或者 Chebyshev分布作為陣列孔徑電流分布可以解決上述問題，但是天線必須是圓形或者矩形結構。近來，智能優化算法已經應用于天線綜合問題，如遺傳算法[2]、模擬退火算法[3]和粒子群算法[4]等。這些全局優化算法優化大型陣列時粒子數量巨大，計算量巨大，且收斂速度不確定。交替投影(AP)算法是一種非常有效且靈活的優化任意天線陣列結構陣元電流激勵的方法，可實現方向圖的精細控制[5]。最小均方誤差(LMS)和加權最小均方誤差(WLMS)方法也相繼提出[6, 7]，可以調整每個角度在方向圖逼近過程中的權重。文獻[8]提出了交替投影和約束加權最小均方誤差方法(CWLMS)，并給出該優化問題的近端分裂求解算法，有效處理陣元電流激勵幅度和相位存在約束的問題。文獻[9]在波束賦形過程中修正陣元間互耦，得到了很好的賦形效果。然而，上述算法雖然性能優越，但運算量都比較大，收斂速度和穩健性很難保證，且優化參數調整復雜，一般應用于離線靜態波束方向圖的優化，無法直接應用于大型數字陣列的在線實時計算。

對于LEO衛星通信系統，當存在較強的有源干擾時，除了覆蓋該角度區域的賦形波束無法工作外，干擾從其他波束的旁瓣進入，也可能導致該波束無法正常工作。為了解決上述問題，需要在快速定位干擾源位置的前提下快速形成較深零陷，實現強干擾的空域抑制，并根據衛星運行軌道，動態調整方向圖的零點位置。文獻[10]提出了一種通過帶約束的激勵系數逼近作為優化代價函數的波束賦形方法，具有可選擇增益覆蓋和指定位置生成干擾零陷的能力。文章僅考慮滿足約束方向的增益或者零陷要求，整個賦形區域的波動度很難控制，同時缺乏對旁瓣電平的有效控制。文獻[11]針對任意結構的陣列天線進行方向圖綜合，要求在生成干擾零陷的同時控制激勵系數幅度的動態范圍(DRR)，最大化陣列效率[12, 13]。文章構造了干擾零空間子集和DRR子集，求解采用與文獻[5]類似的子集間交替投影得到。算法在迭代過程中僅關心零陷的生成和DRR條件的滿足，而對主瓣覆蓋區域的形狀和旁瓣電平都缺乏有效控制。上述零陷方向圖賦形算法的運算速度和穩定性均不夠理想。近年來，部分學者利用陣列天線陣元激勵電流和遠場方向圖陣因子之間滿足傅里葉變換對的關系，采用快速傅里葉變換(FFT)和快速傅里葉逆變換(IFFT)來進行算法加速。文獻[14]應用迭代傅里葉變換(Iterative Fourier Technique, IFT)技術對大型平面天線進行快速低旁瓣綜合，隨后又把IFT技術應用到了稀疏直線陣[15]和大型稀疏平面陣[16, 17]的方向圖綜合中來。

本文針對LEO星載陣列天線抑制角度動態變化的有源干擾的需要，借鑒文獻[5]和文獻[11]子集投影的思想，以及文獻[14]方向圖綜合IFT加速技術，提出了一種干擾子空間正交投影的快速零陷跟蹤波束賦形優化算法。算法采用干擾子空間動態更新與迭代正交投影，快速修正零陷位置，避免干擾位置出現擾動時的輸出性能下降問題[18]。所提出的快速算法在整個干擾零陷跟蹤過程中，具有穩健和精確控制方向圖賦形區形狀和陣元電流激勵系數DRR的能力，同時具備自適應最小化旁瓣電平的功能，適用于星載系統在線實時計算。

2 問題方程

2.1 陣列模型

其中，陣因子可以表示為

2.1.1矩形柵格陣列 矩形柵格陣列和軸方向陣元數為和，間距為和，式(2)可改寫為

2.1.2三角柵格陣列 可以通過坐標伸縮和旋轉變換將三角柵格陣列轉換成行列陣元間距相等的矩形柵格陣列，伸縮和旋轉過程如圖1所示。圖1以LEO星載陣列天線常用的等邊三角柵格六邊形陣列為例給出變換過程，灰色陣元為虛擬陣元(實際陣列沒有這些陣元)。假設圖1(a)中任意陣元初始坐標為；首先，對坐標進行伸縮變換，軸方向伸縮為原來的倍，軸方向伸縮為原來的倍，那么伸縮后的坐標變為，如圖1(b)所示；接著，將坐標以原點為中心逆時針旋轉度，則此時坐標變為，如圖1(c)所示。將上述變換寫成矩陣的形式則可表示為

所以三角柵格陣列的陣因子可以表示為

可見，三角柵格陣因子也可表示為2維離散傅里葉變換的標準的形式，不同的是其中。需要注意的是，對三角柵格結構的陣列天線來說，其陣元經過伸縮、旋轉等變換轉化成矩形柵格之后陣元間距并不等于原三角柵格的陣元間距。

綜上所述，對于均勻陣元間距的矩形柵格平面陣列或三角柵格平面陣列，都可以建立陣元電流激勵系數和陣因子之間的傅里葉變換關系，通過IFFT和FFT實現兩者之間的快速轉換。

2.2約束子集投影模型

由上述分析可以知道，陣因子與復電流激勵系數之間滿足2維離散傅里葉變化關系，可以通過IFT，在兩者間進行轉換。本文快速波束賦形就是在交替迭代過程中依次對期望的陣列陣因子和電流激勵系數進行調整。調整可以采用子集投影模型表示。

2.2.1期望陣因子修正投影 每次迭代，電流激勵系數經過式(7)的IFFT處理后得到的陣因子需要進行修正后作為期望陣列陣因子，可以定義陣因子修正投影算子如式(8)：

2.2.2干擾子空間正交投影 定義干擾子空間正交投影算子如式(9)：

電流激勵系數經過干擾子空間正交投影處理后，可以確保陣因子在干擾角度位置產生較深零陷。

2.2.3電流激勵系數動態范圍修正投影 激勵系數動態范圍修正的目的是為了保證賦形效果和干擾有效零陷生成的同時，兼顧陣列效率和陣元間互耦對方向圖的影響。定義電流激勵系數向量的動態范圍(DRR)為

需要指出，當電流激勵系數相位動態范圍需要約束，或者當應用于相控陣系統，幅度和相位為離散值的情況下，也可以采用式(13)類似方法定義相應的修正算子。

3 賦形優化算法

3.1 算法流程

算法的輸入參數包括：方向圖賦形區等通量特性及其允許波動度、電流激勵系數的DRR、干擾是否存在以及干擾存在情況下實時變化的干擾位置。算法初始的激勵系數可以是已經優化完成或者部分優化的靜態電流激勵系數，也可以是指向某個角度的陣列導向性矢量。本文提出的快速零陷跟蹤波束賦形算法，本質上是利用高效IFT技術和子集投影技術迭代求解3個子集的交集。算法具體的執行步驟為：

步驟1 分析等間距平面陣列天線的陣列結構，確定矩形柵格陣列的伸縮變換矩陣和變換后陣元間距或者三角柵格陣列的伸縮變換矩陣，旋轉矩陣和變換后陣元間距。

步驟4 根據賦形方向圖的需要，確定可見區內方向圖的賦形區、旁瓣區和過渡區(具體劃分參考3.2節)。根據式(8)修正陣因子賦形區特性，旁瓣區均設置為0。

步驟6 當存在干擾時，根據式(9)，將電流激勵系數投影到干擾正交空間，迭代過程中干擾正交空間根據干擾位置的變化動態調整變化。如果不存在干擾則直接進入步驟7。

不存在干擾情況下，本文算法逐次迭代可以快速逼近所需的賦形區特性和激勵系數動態范圍要求，獲得優化的旁瓣電平；存在干擾的情況下，方向圖零陷可以精確跟蹤干擾，且跟蹤過程中有效控制賦形區特性和激勵系數動態范圍，由于干擾位置在相鄰兩次迭代之間僅細微變化，方向圖控制的穩健性強，旁瓣電平也不斷動態優化，方向圖性能優越。另外，算法步驟6和步驟7可以根據需要調整順序，當需要嚴格控制激勵系數動態范圍時采用本文給出的步驟，當需要嚴格控制零陷誤差時可以交換兩個步驟。由于個別陣元激勵系數幅度的調整對干擾零陷位置和深度的影響不大，步驟6和步驟7的順序對算法性能影響不大。

3.2可見空間分析

圖2 陣列可見空間示意

對于行列陣元間距相等的矩形柵格陣列。圖2(a)給出了3種典型陣元間距的情況下空間內陣因子方向圖主周期所覆蓋的情況。當時，2維IFFT變換得到的陣因子覆蓋區域正好和可見空間對應圓相切；當時，覆蓋區域大于可見空間的范圍；當時，覆蓋區域小于可見空間的范圍，此時，可見空間沒有完全覆蓋，如果賦形波束的主瓣落在此陣因子覆蓋區域的邊界位置，會出現柵瓣。對三角柵格陣列來說，其陣元結構可以經過伸縮、旋轉變換轉化成矩形柵格陣列來考慮。以圖1中等邊三角柵格平面陣列為例加以說明，此時，對應的,,,。圖2(b)畫出了三角柵格情況下，3種典型陣元間距的情況下空間內陣因子方向圖主周期所覆蓋的情況?？梢钥闯?，與矩形柵格陣列類似，只是當時，未覆蓋的可見區域位置不同。

4 仿真分析

本節將以文獻[10]全球星移動衛星通信系統類似的91陣元三角柵格陣列結構為例，針對對地等通量覆蓋和電流激勵系數控制的需求，從靜態方向圖和動態干擾零陷方向圖優化兩方面開展快速算法的仿真和性能分析。假設單元天線為各向同性的全向天線，陣元間距為，陣列天線對地波束賦形覆蓋采用3圈16個波束的結構，如圖3所示，中心波束覆蓋俯仰的范圍，第2圈6個波束覆蓋俯仰的范圍，第3圈9個波束覆蓋俯仰的范圍。圖4為軌道高度低軌道衛星系統，以俯仰增益需求歸一化基準的等通量增益曲線，可以看到，增益需求大概相差，俯仰角越大對天線增益的要求越高。

圖3 賦形波束賦形區覆蓋示意圖

圖4 歸一化等通量增益曲線

仿真1 靜態方向圖優化性能仿真

本仿真以內圈2號波束的靜態方向圖賦形為例，分析迭代優化過程中收斂特性和主要參數的變化情況。設初始激勵系數為波束指向時的導向性矢量，DRR設為10。圖5給出了采用本文提出算法以及文獻[8]交替投影(AP)算法，優化過程中激勵系數的收斂曲線、賦形區增益變化曲線(即滿足等通量增益覆蓋條件下的最大角度處的增益)和旁瓣電平變化曲線，從這些曲線可以看出，本文算法迭代30次后，賦形性能已經可以滿足要求，迭代約50次后波束方向圖性能穩定，此時主瓣增益約，旁瓣電平接近。本文算法的優化性能和收斂特性均略優于AP算法。

圖5 對2號波束賦形時主要參數變化曲線

接著進行本文算法與AP算法在運算量方面的比較。本文算法是通過2維IFFT計算陣因子方向圖的，可以假設方向圖空間采樣點數為，其中賦形區的采樣點數為(一般), AP算法在整個可見空間的采樣點數為，陣列天線陣元總數為，為了方便比較設。表1給出了兩種算法一次迭代過程的運算量分析，其中表示個復數開根號的乘法運算量，可以看出當較大時，本文算法在計算量方面優勢明顯。以上述91陣元矩形柵格陣列和2號波束賦形為例，當空間采樣點數相等，在配備Intel Core-i3 M380處理器的PC上，MATLAB仿真完成本文算法一次迭代所用時間為，而完成AP算法一次迭代所用時間為。本文算法運算量僅為AP算法的。

表1本文算法與文獻[8]AP算法單次迭代需要的運算量分析表

仿真2 DRR的設置對旁瓣電平和主瓣增益的影響仿真

本文在期望陣因子修正過程中直接將旁瓣區電平均設為0，有效降低了運算量，還可以獲得該形狀賦形波束在固定激勵系數DRR下的最優旁瓣電平。圖6給出了不同激勵系數DRR情況下，1號，2號和8號賦形波束最終優化得到的旁瓣電平和賦形區最大角度處的增益?？梢钥闯?，優化后的旁瓣電平都隨DRR的增大而減小，當DRR取值為10左右，旁瓣電平和主瓣增益均可以達到較優值，一味增大DRR，旁瓣電平降低有限，同時還會影響主瓣增益。另外，主瓣寬度越寬，優化得到的旁瓣電平越低。當DRR為10時，波束1最終能實現的旁瓣電平在左右，主瓣增益在左右，波束2的旁瓣電平在左右，主瓣增益左右，而波束8的旁瓣電平在左右，主瓣增益可達到以上。較好地滿足等通量需求。

圖6 歸一化旁瓣電平和主瓣增益隨DRR的變化曲線

仿真3 零陷跟蹤性能仿真

本仿真主要開展干擾位置動態變化過程中，快速算法零陷跟蹤性能的仿真與分析。仿真以2號波束為例，給出干擾角度變化率，干擾位置從俯仰角動態變換過程中，賦形波束動態方向圖的性能。假設每次迭代需要時間為，則每次迭代干擾角度變化，仿真以4.1節優化得到的靜態波束方向圖的激勵系數為初始值。

圖7分別畫出了最低零陷跟蹤誤差、賦形區最大角度增益和旁瓣電平隨干擾位置的變化曲線?？梢钥闯?，干擾在進入和移出主波束時最低零陷角度誤差較大，而干擾完全進入主波束時角度誤差很小，但由于零陷區范圍較大，該誤差對干擾抑制的影響很??；存在干擾情況下賦形區最大角度增益優于不存在干擾的靜態方向圖，特別是當干擾完全進入賦形區時增益最高，說明干擾的存在，特別是進入賦形區后，由于零陷生成將能量擠壓至剩余的賦形區和過渡區，賦形區增益得到提升；同最低零陷角度誤差一樣，賦形波束旁瓣電平也在干擾完全進入賦形區時出現最低值，這也與賦形區增益提升有一定的關系。

圖7 動態干擾抑制過程中各參數隨干擾位置變化曲線

圖8為干擾動態運動至幾個典型位置時，得到的該時刻(僅該時刻一次迭代的結果)的2號波束3維俯視方向圖?？梢钥吹皆诜较驁D賦形區和旁瓣電平有效控制的前提下，抗干擾零陷可以有效生成。

圖8 干擾動態運動至幾個典型位置時的2號波束3維俯視方向圖

5 結束語

該文針對LEO星載陣列天線抑制角度動態變化的有源干擾的需要，提出了一種干擾子空間正交投影的快速零陷跟蹤波束賦形優化算法。算法利用IFT技術加速，采用迭代子集投影技術求解3個子集交集，得到陣列電流激勵系數的優化值。迭代過程中參數動態調整，確保滿足方向圖賦形區特性、陣列效率和零陷跟蹤要求的前提下，得到較低旁瓣。仿真結果表明，采用本文算法進行方向圖賦形，具有方向圖優化性能好，速度快，方向圖穩定性強，旁瓣電平低的特點。但算法針對干擾子空間變化的收斂特性還有待進一步分析，另外，在給定DRR下的最優旁瓣電平以及給定旁瓣電平情況下的最優DRR有待進一步分析。

參考文獻

[1] BALANIS CA. Antenna Theory: Analysis and Design (3rd ed)[M]. New York, NY, USA: Wiley, 2005: 399-405.

[2] BOERINGER D W and WERNER D H.Particle swarm optimization versus genetic algorithms for phased array synthesis[J].2004, 52(3): 771-779.doi:10.1109/TAP. 2004.825102.

[3] FERREIRA J A and ARES F. Pattern synthesis of conformal arrays by the simulated annealing technique[J]., 1997, 33(14):1187-1189. doi:10.1049/el:19970838.

[4] ROBINSON J and RAHMAT-SAMII Y. Particle swarm optimization in electromagnetics[J].,2004,52(2):397-407. doi:10.1109/TAP.2004.823969.

[5] BUCCIOM, ELIAGD, and ROMITOG.Power synthesis of conformal arrays by a generalized projection method[J].,, 1995, 142(6): 467-471. doi:10.1049/ip-map:19952290.

[6] VASKELAINEN L I. Iterative least-squares synthesis methods for conformal array antennas with optimized polarization and frequency properties[J].,1997, 45(7): 1179-1185. doi:10.1109/8.596912.

[7] HADDADI A, GHORBANI A, and RASHED-MOHASSEL J. Cosecant-squared pattern synthesis using a weighted alternating reverse projection method[J].and, 2011, 5(15):1789-1795. doi:10.1049/iet-map.2011.0056.

[8] HAN Y, WAN C, SHENG W,. Array synthesis using weighted alternating projection and proximal splitting[J]., 2015, 14: 1006-1009. doi:10.1109/LAWP.2015.2389804.

[9] 龔樹鳳, 賁德, 潘明海, 等. 考慮互耦修正的機會陣雷達波束方向圖綜合優化[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(3): 516-522. doi:10.3724/SP.J.1146.2013.00108.

GONG S,BEN D, PAN M,. Beam pattern synthesis optimization for opportunistic array radar with mutual coupling[J].&, 2014, 36(3): 516-522. doi:10.3724/SP.J.1146.2013.00108.

[10] YU KB. Adaptive beamforming for satellite communication with selective earth coverage and jammer nulling capability[J].,1996,44(12):3162-3166. doi:10.1109/78.553494.

[11] ROBERTO V. Consistency of constraints on nulls and on dynamic range ratio in pattern synthesis for antenna arrays[J].,2007,55(10):2662-2670. doi:10.1109/TAP.2007.905828.

[12] 宋海偉, 洪春沖, 李文魁, 等. 星載多波束陣列天線中單元失效分析[J]. 航天電子對抗, 2015, 31(5): 9-12. doi:10.3969/ j.issn.1673-2421.2015.05.003.

SONG H, HONG C, LI W,. Analysis of element failure in space-borne multibeam array antenne[J]., 2015, 31(5): 9-12. doi:10.3969/j.issn. 1673-2421.2015.05.003.

[13] 劉曉莉, 廖桂生, 曾操. 最大化陣列效率的方向圖綜合方法[J]. 西安電子科技大學學報, 2009, 36(5): 807-812. doi:10.3969/ j.issn.1001-2400.2009.05.009.

LIU X, LIAO G, and ZENG C. Pattern synthesis method for array efficiency maximization[J]., 2009,36(5):807-812. doi:10.3969/j.issn. 1001-2400.2009.05.009.

[14] KEIZER WPMN. Fast low-sidelobe synthesis for large planar array antennas utilizing successive fast fourier transforms of the array factor[J].,2007, 55(3):715-722. doi:10.1109/TAP.2007.891511.

[15] KEIZER WPMN. Linear array thinning using iterative FFT techniques[J].,2008, 56(8): 2757-2760. doi:10.1109/TAP.2008. 927580.

[16] KEIZERWPMN.Large planar array thinning using iterative FFT techniques[J].,2009, 57(10): 3359-3362. doi:10.1109/TAP. 2009.2029382.

[17] KEIZER WPMN. Synthesis of thinned planar circular and square arrays using density tapering[J].,2014, 62(4): 1555-1563. doi:10.1109/TAP.2013.2267194.

[18] 李文興, 毛曉軍, 孫亞秀. 一種新的波束形成零陷展寬算法[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(12): 2882-2888. doi:10.3724/SP.J. 1146.2013.02018.

LI W, MAO X, and SUN Y. A new algorithm for null broadening beamforming[J].&, 2014, 36(12): 2882-2888. doi:10.3724/SP.J.1146.2013.02018.

Fast Nulls Tracking Pattern Synthesis Based on Jammer Subspace Orthogonal Projection

MA Xiaofeng LU Le SHENG Weixing HAN Yubing ZHANG Renli

(,&,210094,)

A fast nulls tracking pattern synthesis algorithm based on jammer subspace orthogonal projection is proposed, which can suppress the dynamic active jamming for LEO spaceborne array antenna. The algorithm corrects the nulls positions of radiation pattern synchronously through dynamically jammer subspace updating and iterative orthogonal projection, while the Iterative Fourier Transform (IFT) technique is adopted to accelerate the correction. The proposed algorithm can maintain the mainlobe region and control the dynamic range ratio of excitations robustly and precisely, while minimizing the pattern sidelobe adaptively, so it is suitable for online real-time calculation in spaceborne array antenna. Simulation results verify the rapidity, effectiveness, and robustness of the proposed algorithm.

Low Earth Orbit (LEO) satellite communication; Fast pattern synthesis; Anti-jamming nulls; Fast Fourier Transform (FFT)

TN 927; TN821+.91

A

1009-5896(2016)10-2560-08

10.11999/JEIT151438

2015-12-17；改回日期：2016-05-16；網絡出版：2016-07-04

馬曉峰 maxiaofeng@njust.edu.cn

國家自然科學基金(61501240, 11273017)，上海航天基金重點項目(SAST201437)

The National Natural Science Foundation of China (61501240, 11273017), The Key Project of Shanghai Aerospace Foundation of China (SAST201437)

馬曉峰： 男，1981年生，講師，研究方向為陣列信號處理與雷達信號處理.

陸 樂： 女，1992年生，碩士生，研究方向為數字波束形成與波束賦形.

盛衛星： 男，1966年生，教授，博士生導師，研究方向為陣列信號處理、雷達信號處理與雷達成像等.

韓玉兵： 男，1972年生，副教授，博士生導師，研究方向為圖像處理、陣列信號處理等.

張仁李： 男，1986年生，講師，研究方向為雷達信號處理等.