四角立方局域共振聲子晶體結構低頻能帶研究

張佳龍，姚　宏，杜　軍，董亞科

(1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安　710038；2.空軍工程大學理學院，西安　710051)

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四角立方局域共振聲子晶體結構低頻能帶研究

張佳龍1，姚宏2，杜軍1，董亞科1

(1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安710038；2.空軍工程大學理學院，西安710051)

針對航空發動機產生低頻噪聲過大影響飛行員完成作戰任務的問題，本文提出了一種新型局域共振復合單元結構模型。采用有限元法對局域共振結構帶隙生成機理進行深入分析。結果顯示：共振頻率的位置是由局域共振模態的固有頻率決定，且局域化程度與基體之間的相互耦合作用的強度有關；通過擴充后的局域共振復合結構單元，可以實現多重共振，打開多條低頻共振帶隙。通過對局域共振復合結構單元結構的帶隙機理和局域共振特性進行仿真分析。結果表明：該復合單元結構在250 Hz以下的頻率范圍打開超過68.54%的共振帶隙，最低頻率降低至53.6 Hz，即在航空發動機低頻降噪效果良好，在大型軍機艙室低頻降噪具有重要的理論意義和工程應用價值，顯著提高作戰效率。

局域共振； 低頻噪聲； 復合單元； 作戰效率

1　引　言

在實際生活環境中，噪聲污染對人身體健康存在很大的危害，逐漸被人們廣泛關注。絕大多數的振動源分布在250 Hz以下的低頻范圍?？茖W研究人員一般也將頻率在 之間的聲音定義為低頻噪聲。對于機艙降噪，傳統的方法主要包括吸聲降噪、隔聲降噪、使用消聲器、阻尼減振降噪[1]。其基本原理是將聲能或者振動能轉換為熱能而消耗掉[2]，從而達到降噪的目的。但這種降噪方式具有明顯的缺點，即整套系統比較龐大笨重，對低頻噪聲的控制能力差，且會影響飛行器的整體性能，增加飛機的燃油消耗，不符合現代飛機的發展方向[3]。

近年來興起的局域共振聲子晶體和聲超材料,解決該問題提出了新的思路。2005年，王剛等[4]提出了一種低頻局域共振帶隙的周期結構細直梁。結果表明，局域共振結構可大大降低帶隙頻率，并增大帶隙衰減。2012年，黃麗娟等[5]設計了周期附加局域振子地蜂窩夾層板結構，在帶隙范圍內，彎曲振動能得到較大的衰減。同年 ，呂林梅等[6]將聲子晶體中的局域共振現象引入到水下吸聲材料的設計中，此設計可使該結構在2300～6000 Hz頻率范圍實現寬頻吸聲。2014年，張晶[7]的碩士論文《薄膜聲學超材料板力學特性研究》，提出有限三維結構薄膜結構，共振頻率為75.8Hz，具有良好的隔聲效果。2015年，黃佳等[8]提出一種圓管型局域共振聲子晶體三維結構，通過分析包裹層材料對帶隙特性的影響，進一步提出了一種帶隙設計方法，以使其滿足結構中對減振、隔振降噪的需求，解決實際工程問題。聲超材料是一種人工合成材料，具有特殊的功能，比如戰機隱身，負折射率，以及超分辨率成像等。Yang等[9]首次發現，薄膜類聲超材料(MAM)具有良好聲衰減特性，使聲波衰減超過40 dB，而且會產生帶隙頻率范圍為50～1000 Hz，它的低頻范圍和帶隙可以通過環形膜局域共振質量，表面密度，薄膜個數來調節。噪聲以彈性波的形式在聲子晶體中傳播，受其內部周期性結構作用，禁止傳播的頻率范圍稱為帶隙，基于此機制，研究人員設計了很多聲子晶體結構，以達到低頻寬帶的目的[10-12]。2000年，香港科技大學劉正猷教授等[13]首次提出并研究了基于共振結構的三維聲子晶體結構，實現了“小尺寸控制大波長”。航空發動機是飛機的主要振源之一[14]，高頻段噪聲被安裝在發動機上金屬橡膠減振連接桿所吸收掉，低頻段(69.2～250 Hz)被局域化，從而達到很好的降噪效果。

該局域共振復合聲子晶體結構在航空發動機支架外罩上進行降噪，具有體積小、質量輕，針對性強，降噪效果明顯，降噪頻率低、頻帶寬等特點。

2　共振單元模型及帶隙機理分析

圖1　單元結構簡圖； 第一布里淵區(陰影部分)Fig.1　(a)Unit structure drawing ； (b)First brillouin zone(The shaded part)

2.1共振單元模型

該聲子晶體單元結構如圖1(a)所示。圖中元胞由四個尺寸相等的立方橡膠均勻鑲嵌直徑為0.016 m的金圓柱芯體中，共同組成散射單元，并嵌入環氧樹脂中。其中晶體常數為a，散射體邊長為r1，每個立方體橡膠表面長為b，寬為h。圖1(b)給出了單元結構的第一布里淵區(陰影部分)。采用有限元求解結構的固有頻率，并沿第一布里淵區?！鶻→M→Γ進行掃描，考慮到該單元結構在x，y方向的周期性，即設定好 邊界條件；其中，散射體材料為橡膠薄膜包裹金圓柱芯體，基體材料為環氧樹脂。材料和尺寸參數如表1、2所示。通過計算得到該復合結構單元能帶結構如圖2(a)所示。

表1材料參數

Tab.1Material parameters

ρ/kg·m-3E/GPa泊松比υ金195008.5e100.42硅橡膠13001.175e50.469環氧樹脂11800.435e100.37

表2結構尺寸

Tab.2Structure sizes/mm

aa1rbh結構2021886

2.2帶隙機理及特性

圖2(a)可得，該結構在59.63～393.2 Hz之間形成較寬的低頻帶隙。為說明低頻寬帶隙的形成機理，圖2(b)給出了帶隙上、下邊界所對應的模態。該帶隙下邊界(59.63 Hz)形成兩條平直帶 A1、A2分別是由質量塊(金圓柱芯體)-橡膠(四個立方體)組成的"質量-彈簧"振動單元平移共振模態，該模態是由“質量-彈簧”系統橫向、縱向共振所形成。在極低頻(長波極限)，由于彈性波的波長遠大于單元結構長度(晶格常數)，低頻彈性波在結構中的傳播和均勻介質中一樣，色散曲線呈線性關系。如圖2(a)所示，能帶在Γ點分支。當基體中行波的頻率接近共振單元固有頻率時，在該單元結構會發生局域共振，彈性波不能繼續傳播。在能帶結構中表現為，在 點處色散曲線被共振平直帶分割開，從而形成了局域共振帶隙，如圖2(a)灰色長方形所示。在共振帶隙中，由于耦合作用的存在，行波對外框基體的作用力與局域共振產生的作用力大小相等、方向相反，因此相互抵消。故帶隙的寬帶與局域化程度、填充率以及和基體之間的耦合作用有關。當填充率增大，帶隙寬度也隨之增大，這是由于剛體與基體間的相互作用增強所引起的[15]。對于72 Hz處平直帶，它所對應的“質量-彈簧”組成的共振單元，其共振模態如圖B所示。該模態為旋轉共振模式，對基體產生扭轉作用，而沒有對x、y方向有合力作用；在較高頻率范圍，如帶隙上邊界393.26 Hz處，對應的模態C1、C2所示，金圓柱芯體位移為零，主要是橡膠和外框的振動。

圖2　能帶結構； 分別是對應能帶上A，B，C三處的局域共振振動模態(其中箭頭表示了位移的相對大小和方向)Fig.2　(a)Band gap of phononic crystal;(b) Local resonance modes of the band gap A、B、C

根據上述對單元結構共振模態的分析，平移、扭轉局域共振模態，基體外框均處于靜止狀態，而內部相當于一個單自由度系統，該局域共振單元結構的簡化模型如圖3所示。當外界噪聲以彈性波的形式傳播該結構單元時，對基體產生力F的作用，而振子(金圓柱芯體)Me運動會對基體產生一個反作用F'，因此基體在外部激振力F和內部反作用力F'共同作用下振動。當兩頻率接近時，外部激振力F和內部共振單元對基體的反作用力F'反向疊加，基體所受合外力基本趨于零，基體外框趨于靜止，行波被局域化，振動無法在基體中傳播，并且行波能量被共振單元消耗掉，僅局限在局域共振單元中，從而產生振動帶隙。由于四個立方橡膠與金柱之間的扭轉力矩很小可以忽略，可以根據該單元結構簡化為圖3所示的“質量-彈簧”系統提供的等效質量和等效剛度來進行估算：

(1)

式中，Me、ke分別代表該結構的等效質量，等效剛度。

為進一步研究填充率對振動模式的局域化作用。當立方橡膠尺寸不變，芯體半徑R分別為0.008 m、0.0085 m、0.009 m、0.0095 m、0.01 m時的能帶結構，并對帶隙寬帶、起始頻率、截止頻率、中心頻率進行比較。對比結果如圖4所示，可以得出，隨著半徑R增大，相應散射體的面積增大，即填充率增大，帶隙下邊界的頻率上降，上邊界上升，上下頻率之間的差值就會增大，對應的帶隙寬帶也就隨之增大，這是由于剛體與基體間的耦合作用增強所引起的。結果表明填充率的大小對局域化程度有著直接的影響。增加填充率可以有效降低局域共振帶隙的起始頻率，但低頻不夠低，為了在250 Hz以下低頻范圍獲得較低局域共振帶隙，改變結構參數，如圖5(c)所示。該結構可以60～80 Hz打開了四條低頻共振帶隙。

圖3　局域共振單元結構的簡化模型Fig.3　Simplified model of locally resonant phononic crystal

圖4　不同半徑R芯體的能帶范圍Fig.4　Band-gap frequency range of different radiuses core

3　局域共振復合單元結構低頻帶隙特性

根據上述的分析，對于單質量塊系統，可以簡化為“質量-彈簧”單自由度的共振單元，該系統的固有頻率由等效質量(金圓柱芯體)和等效剛度(橡膠)決定。局域共振帶隙是基體中長波行波特性與周期分布的局域諧振子的諧振特性相互耦合作用的結果[16]。無論改變結構尺寸，該單自由度局域共振單元只對應一個平移模態和一個扭轉模態的固有頻率，也只能打開一條共振帶隙。因此，提出了局域共振復合結構聲子晶體，即在一個單元結構中排列了兩個金圓柱芯體和八個立方體橡膠組成的共振單元，中間四個立方體橡膠固連在一起。圖5(a)所示雙質量塊單元結構。圖5(b)為該長方形晶格的第一布里淵區，沿同樣的路徑進行掃描，得到結構的能帶圖，如圖5(c)所示。從能帶圖可以看出，該結構能夠在低頻范圍打開四條共振帶隙，其中第一共振帶隙的范圍為60～68 Hz。共振帶隙低頻比單質量塊局域共振單元結構降低了20.8%。

圖5　(a)并排雙質量塊單元結構； (b)第一布里淵區； (c)該結構能帶圖Fig.5　(a)The horizontally double mass unit structure；(b)First brillouin zone；(c)The band gap of structure

為了進一步研究其產生帶隙機理，選取第一布里源區的高對稱點D、E、F、G和H的振動模態進行分析。從圖5(c)能帶圖可以看出，從下往上依次在53.6 Hz、59.6 Hz 、66.85 Hz、67.7 Hz、71.4 Hz處出現完全或者部分布里淵區的平直帶，這表明在距Γ較遠的M點的六個頻率附近長波行波容易與內部結構發生共振，其模態如圖6(a)-(c)所示，分別對應雙質量塊的縱向局域共振模態、橫向局域共振模態、扭轉局域共振模態和反向共振模態。由于該結構的各向異性，縱向的共振頻率低于橫向，從而消除了他們之間的耦合作用。當基體行波的頻率接近53.6 Hz時，該局域共振單元結構縱向共振模態和基體中的行波發生強烈的耦合，而與橫波成分耦合很少。此時基體中的縱波成分雖然被禁止傳播，而橫波能夠穿過該結構繼續向前傳播，因此不能打開帶隙。對于E、F、G和H四處的頻率容易被基體中的行波所激起，他們通常以兩種模態形式疊加，疊加的程度決定局域共振程度。對于模態圖6(a)則為反向扭轉內旋局域共振模態，該局域扭轉共振模態與基體行波同時存在，他們之間的耦合作用對x、y方向沒有產生合力的作用，基體中的低頻長波行波難以與這些共振模式發生相互耦合作用，因此其相應的色散曲線穿越其他色散曲線，對局域共振帶隙的產生及其特性沒有影響，因此不能打開共振帶隙。如圖 6(b)所示，在第一布里淵區離Γ 最遠的M點處，簡約波矢k最大，基體中的行波更容易激起橫向局域共振模態，兩模式疊加，將以橫向振動為主，這種疊加形式的局域共振模式將與基體行波存在更強烈的耦合作用，進而能打開較寬的低頻共振帶隙，進而阻止低頻范圍彈性波的傳播，從而達到降噪的目的。對于模態圖6(c)則為反向扭轉外旋局域共振模態，兩金圓柱芯體相向振動，橡膠包覆層主要受拉變形，該共振模式沒有對基體產生x、y方向合力作用，故不能打開共振帶隙。綜上所述可以可知：局域共振型聲子晶體中低頻帶隙是基體中長波行波與周期局域振子的諧振特性相互耦合作用的結果，該耦合作用是否存在，是決定局域共振帶隙能否產生的關鍵因素。根據上述對局域共振打開多條共振帶隙機理分析，增加半徑R可以增大散射體的面積，進而增大填充率，使得結構產生共振模態，從而打開更多的共振帶隙。

圖6　雙質量塊局域共振單元結構振動模態(紅色箭頭表示位移的方向和相對大小)Fig.6　Double mass local resonance modes of structure(Red arrow indicates the relative size and directions)

4　結　論

(1)共振帶隙的頻率位置是由局域共振模態的固有頻率決定，且局域化程度與基體之間的相互耦合作用的強度有關；(2)改變結構參數(金圓柱芯體半徑大小)，可以實現低頻寬帶隙；(3)擴充后的單元結構，可實現多自由度共振，在低頻范圍內打開多條共振帶隙，并且80 Hz以下的低頻范圍打開20.8%寬帶的共振帶隙，最低頻率為53.6 Hz；(4)提出的新型局域復合共振聲子晶體結構，為航空發動機在低頻，超低頻降噪提供了一種有效的方法，在未來航空發動機低頻降噪方面具有非常廣闊的應用前景。

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Four Cubic Phononic Crystals with the Low-frequency Band Gap under the Locally Resonant

ZHANGJia-long1,YAOHong2,DUJun1,DONGYa-ke1

(1.Aeronautics and Astronautics Engineering College,Air Force Engineering University,Xi'an 710038,China；2.Science of College,Air Force Engineering University,Xi'an 710051,China)

Aiming at the failure to complete combat missions problem caused by aircraft engine low frequency noise, a novel locally resonant structure with composite units mode is proposed. It can descende the aero-engine low frequency noise effectively. Meanwhile, based on the analysis of the Formation mechanisms of the band gaps properties formation mechanisms, we can be thoroughly studied them with finite element methods. These results show that frequency positions of band gaps depend on natural frequencies of the corresponding locally resonant modes. Formation mechanisms of the band gaps in the Phononic Crystals is investigated with finite element methods. Phononic Crystal structures with composite units exhibit multiple resonances and band gaps in low-frequency range. Formation mechanisms and low-frequency characteristics of the band gaps in the proposed structure are simulating by extending the locally resonant composite unit structures. As the results show the composite unit structures possess band gaps below 250 Hz with the total gap width more than 68.54% and lowest frequency down to 53.6 Hz.It improves the reducing of noise in the aero-engine, has important theoretical and applied value in large aircraft cabin and improves combat fighting ability significantly.

localized resonance;low frequency noise;composite units;fighting efficiency

國家自然科學基金(11447147)；國家自然科學基金(11504429)；陜西省自然科學基礎研究計劃(2015JQ5155)

張佳龍(1990-)，男，碩士研究生，主要從事振動與降噪方面研究.

姚宏，博士，教授.

TB333

A

1001-1625(2016)05-1338-05