經歷操作過程建構數學模型

劉雪梅

“三角形的三邊關系”是在學生初步了解三角形一些基本特征的基礎上學習的，學生雖然知道了三角形有三條邊，但對三角形“邊”的研究卻是首次接觸，短短的四十分鐘之內要讓學生從抽象的幾何圖形中發現三角形三邊的關系，并加以應用并非那么容易。備課時，我一直在思考：如何讓學生既學到知識又能滲透數學模型思想？為實現這一目標，我采取了“一明一暗”兩條線協同并進的教學思路。既讓學生在經歷觀察、猜想、驗證、歸納等數學活動中歸納得出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一結論；同時又讓學生經歷“發現問題——大膽猜測——多種方法驗證——歸納得出結論——靈活應用”這一數學乃至科學研究的一般方法和過程，讓學生在學到知識的同時，逐步滲透數學建模思想。

一、提出問題，初步探模

1.案例描述：談話交流，引入新課

師：孩子們，我們已經初步認識了三角形，誰能說說三角形有什么特征？

生：三角形有3個角、3條邊、3個頂點。

師：說得真好！還有誰要補充？

生：三角形是由三條線段首尾相接的圖形。

師：是不是，同學們？

生：是！

師：那下面的圖形哪個是三角形呢？

生：（舉手）第4個。

師：那第1個為什么不是？

生：因為它下面那條線是彎曲的。

師：是的，三角形的三條邊都是直的。那第二個為什么不是呢？

生：因為它的三條邊沒有首尾相接。

師：不錯！第三個呢？

生：因為有一條線段多出來一點了。

師：（機智地牽引）也就是說，我們沒有充分利用這三條線段的長度，是嗎？

生：是！

過渡：如果老師也給你提供這樣的3條線段，你能圍一個三角形嗎？

生：能！

2.案例思考

教師通過回顧舊知，進一步使學生明確三角形的基本特征，尤其“三角形是三條邊首尾相接圍成的封閉圖形”這一要點，為學生接下來的“圍一圍”操作活動以及“什么樣的三條線段才能圍成一個三角形？”的活動猜想提供了一定的依據。最后創設了“給你提供3條線段，你能圍一個三角形嗎？”這樣的問題情境，為學生自主學習搭建一個平臺，讓學生在老師略帶“挑釁”的激勵下積極主動地參與學習研究，在更自由、更廣闊的空間中去合作、探索和發現。

二、操作質疑，探究新模

1.案例描述：動手操作，引發沖突

生：（動手圍三角形）

師：（激勵）嗯，真不錯，有的孩子動作很快?。ㄟ呇惨曔呏笇В?/p>

師：你們太棒了，這么短的時間就圍成啦？唉？好像還有同學沒圍成嘛？這樣吧，小組同學幫幫他，看他怎么回事，怎么沒圍成呢？

生：（小組里積極互助）（有人舉手求助）老師，他這個圍不成！

師：（參與到小組中看看）

生：（圍不成的學生舉手）

師：怎么了？還圍不成??！這樣吧，讓劉老師來試試？（將一學生的紙條放上展示

臺：3cm、5cm 、10cm）圍成了嗎？

生：沒有！

師：嗯，是圍不成嘛！什么原因呢？

生：（指展示臺）因為這兩條太短了！它們接不起來。

師：是嗎？你關注了線段的長度，真不錯！那么怎樣才能讓它們接起來呢？

生：把下面這個根10cm的換短一些。

師：不錯。如果下面的這根長度不變，還有別的辦法嗎？

生：可以把上面兩根加長。

師：唉，可以嗎？我們來試試。（把3cm、5 cm換成4cm、6cm）

2.案例描述：互動思考，引發猜想

師：（邊操作邊敘述）想象一下，如果我讓4cm和6cm這兩條線段往下壓，會和10 cm的線段圍成三角形嗎？

生1：它們會成一條直線。

生2：它們會合在一起。

師：也就是說，三個頂點會在一條-----直線上！真的會是這樣嗎？想不想看一下？來，我們一起看。（師演示4cm和6cm兩條線段往下壓，先壓一段）這是三角形嗎？（師演示4cm和6cm繼續往下壓，直到接上）接是接上了，是三角形嗎？

生：不是！

師：還沒圍成，那怎么辦？

生：把4cm和6cm再加長！

師：再加長，一定能圍成三角形嗎？

生：行，只要讓上面兩條線段加起來大于下面那條線段就可以了！

師：嗯，有想法！到底行不行呢，我們用事實說話，一起來看大屏幕。（師演示圍5cm、7cm 、10cm）成了嗎？

生：成了！

師：（同時出示三組實驗數據）同學們，通過剛才的實驗操作，我們一起來回顧一

下：三條線段要想圍成三角形，看來跟線段的什么有關呢？需要符合什么樣的條件??？

生：我覺得三條線段要想圍成三角形跟線段的長度有關，要讓上面兩條線段加起來的和大于下面那條最長線段，才可以圍成三角形。

師：同學們，你們同意嗎？

生：同意！

師：準確地說，就是（邊說邊貼黑板貼：兩條較短線段的長度和大于最長線段能圍成三角形）那它們的和要等于最長線段呢？小于呢？（板書：等于小于不能圍成三角形）

師：這就是我們共同研究的初步發現。那么，對于這個發現，同學們有疑問嗎？（預設：①有，……；好！等會兒我們來一一驗證?、跊]有；那么到底對不對呢，還需要我們去驗證）

3.案例思考

學生在自主探究中發現：有的同學用三條線段能圍成三角形，有的則圍不成三角形，事實推翻了學生頭腦中以前的錯誤認知，激起了思維的矛盾，使學生不得不重新認識三角形三邊之間的關系。這種重新認識是學生對三角形三邊關系認識上的第一層次。教師抓住這一契機巧妙設疑：為什么有的三條線段不能圍成一個三角形？怎樣的三條線段才能夠圍成一個三角形呢？學生經歷擺的過程直觀地發現：兩條較短線段長度之和小于或等于最長線段時，不能圍成三角形，只有大于最長線段時，才能圍成三角形，得出了三角形兩條短邊之和大于最長邊的結論。至此，學生初步認識了三角形三邊的關系。這種初步認識是學生對三角形三邊關系的第一次建模，也是認識上的第二層次，是學生思維發展必然經歷的一個階段。

三、實驗驗證，深入建模

1.案例描述

師：剛才，你們也圍成了一些三角形，看看，是不是兩條較短線段的長度和大于最長線段，互相說一說?。ń處熝惨暎?/p>

師：來！先請你說你這個三角形較短線段是幾厘米和幾厘米？

生1：（6cm、7cm 、9cm）較短線段是6cm和7cm，6+7>9，所以能圍成三角形。

師：說的真完整！再請一位同學來說。（請三位同學分別說）

師：（3cm、7cm 、7cm）你們有疑問嗎？

生：沒有！

師：它哪有兩條較短線段呀？它不就只有一個3cm最短嗎？

生：它兩條較長的線段都是7cm，所以只要任選其中一條和最短的線段3cm加起來就可以了。

師：（找到一個等邊三角形：5cm、5cm 、5cm）那這個三角形，它哪來的較短線段？

哪來的最長線段呀？

生：就是隨便哪兩個5cm加起來都大于另一個5cm，所以都能圍成三角形。

師：所以，任選兩條線段加起來的和都大于另一條線段，是嗎？但是我們在圍三角形的時候還有這樣一種三角形，它三條線段長度各不相同，那你說，它任意兩條線段的和都大于第三條線段嗎？（設問、驗證）

生（大膽猜測）：是的，任意兩條線段的和都大于第三條線段，不然就圍不成三角形了。

師：比如說------

生：比如說最短的兩條加起來一定大于最長的那條。

師：那如果我把這樣的三角形三條邊給它標上號，分別是，那么+和什么關系？

生：+肯定是大于的，否則它就圍不成三角形了。

師：（PPT出示+>）那+呢？

生：+肯定是大于的，最長的一條線段跟最短的一條線段相加，最長的線段本來就大于了，再加上肯定比大了。

師：哦，太好了，不但會思考而且會推理，真棒！再來看，+和比呢？

生：+肯定大于，因為和都比大，它們加起來一定比大。

師：所以，對于這樣的三角形，它也是任意兩條線段的和大于第三條線段。

師：在三角形中，我們可以把圍成三角形的這三條線段叫做三角形的邊（PPT出示：邊）那么，同學們，你們又有什么新的發現了嗎？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。（PPT出示）（揭示板書及課題）

2.案例思考

數學模型的形成是一個逐步抽象的過程，怎樣抽象和建構數學模型呢？學生通過大量的操作感悟和理性分析，已經積累了一定的數學活動經驗。原本以為“三角形兩條短邊之和大于最長邊”的結論會得到教師的肯定，然而，教師的反應僅僅是“是嗎？”二字，這使學生敏感地意識到這種表達可能有問題，問題出在哪呢？學生不得不深思。教師適時引出兩組數據（3cm、7cm 、7cm；5cm、5cm 、5cm），也就是當沒有兩條較短線段，也沒有最長線段的時候如何檢驗學生先前得出的結論呢？最后學生終于發現：在三角形中，任意兩邊之和都大于第三邊。對“任意”二字的理解，使學生對三角形三邊之間關系的認識得到了深化。這種深化的認識和理解是學生對三角形三邊關系的再次建模，是認識上的第三層次。最后，教師引入用字母式子表示，體現了規律的簡潔性。至此，學生對數學模型完成了建構，理解也更加深刻。