藥物作用量-效關系的Thiele型連分式插值法分析

朱　濤，趙前進，李朝品

(1.安徽理工大學　醫學院，安徽　淮南　232001;2.安徽理工大學　理學院,安徽　淮南　232001;3.皖南醫學院　醫學寄生蟲學教研室，安徽　蕪湖　241002)

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·基礎醫學·

藥物作用量-效關系的Thiele型連分式插值法分析

朱濤1，趙前進2，李朝品3

(1.安徽理工大學醫學院，安徽淮南232001;2.安徽理工大學理學院,安徽淮南232001;3.皖南醫學院醫學寄生蟲學教研室，安徽蕪湖241002)

目的：提出Thiele型連分式插值法，研究并建立新的量-效關系分析方法。方法：以原卟啉鈉(NAPP)抑制人肝癌細胞株SMMC-7721細胞增殖的實驗數據為例，基于Thiele型連分式插值，求出量-效關系表達式并繪制量-效曲線圖；預測最大抑制率，計算半抑制濃度(half inhibitory concentration，IC50)和半效濃度(half effective concentration，EC50)；求導并繪制導數圖，研究抑制率隨藥物濃度變化的快慢程度。結果：通過Thiele型連分式插值法，得出NAPP作用于SMMC-7721細胞24、48、72 h的量-效關系表達式，預測不同時間下最大抑制率分別為43.75%，55.97%，64.93%；EC50分別為1.04 mg/L、0.36 mg/L、0.30 mg/L；作用48 h、72 h后IC50分別為 16.46 mg/L、8.26 mg/L。導數圖表明NAPP濃度在10 mg/L內，抑制率隨濃度變化速度快，藥效不穩定；大于10 mg/L后，變化不明顯，藥效穩定，出現平臺期。結論：Thiele型連分式插值法簡單、實用，逼近效果好，可作為研究藥物量-效關系的一種新方法。

原卟啉鈉；SMM-7721細胞；量-效關系；導數；有理逼近；連分式插值

藥物作用量-效關系是評價藥物藥效的重要參考指標[1]，而這種量-效關系多表現為非線性特征，研究者常用計算軟件中的數學模型對實驗數據進行非線性曲線擬合，這些模型利用諸如最小二乘法等原理[2]的逼近效果，得到擬合曲線方程，以此幫助研究量-效關系。在實際研究中，有些非線性回歸模型過于復雜,利用它求解方程困難，如常用的logistics數學模型等[3]；還有些模型因參數難以估計，不能化為線性回歸模型進行簡便處理。因此，本研究基于Thiele型連分式插值[4-6]建立簡單的有理函數分析方法，提出一種運算便捷、逼近效果[7]好的新方法來研究量-效關系的非線性特征?，F將研究結果報道如下。

1　資料與方法

1.1資料依據文獻[8]從豬血中提取原卟啉鈉(protoporphyrin disodium,NAPP)，采用MTT比色法，依據不同濃度NAPP在24、48、72 h抑制人肝癌細胞株SMMC-7721細胞增殖的實驗研究結果[8]，見表1。

表1不同濃度NAPP作用不同時間后對SMMC-7721細胞增殖抑制率的影響

NAPP濃度/(mg/L)作用24h抑制率/%作用48h抑制率/%作用72h抑制率/%0.018.4111.0218.990.112.3019.0625.84121.6834.5839.391034.1447.6151.1510042.2354.6962.10

1.2方法

1.2.1Thiele型連分式插值法設點集X={x0,x1,……,xn}?[a,b]，函數f(x) 在[a,b]上有定義。X上的Thiele型連分式插值為：

φ[xp]=f(xp),p=0,1,……n,

設定x軸為藥物濃度，y軸為抑制率，利用Thiele型連分式插值，求得有理插值函數作為量-效關系表達式。當n變大時，會導致函數Rn(x)振蕩加劇，同時使舍入誤差的擴散加劇[9-10]。另外，當n選擇為奇數時，有理插值函數的分子分母多項式次數相同，才可能有水平漸近線，符合藥物作用量-效關系曲線應有的特征。因此，本研究中選擇n=5。

1.2.2其他數據處理方法運用Maple17.0，運行Thiele型連分式插值命令語句，求量-效關系有理函數表達式；依據量-效關系有理函數表達式，運用Matlab8.0繪制量-效關系曲線圖、導數圖；使用Maple17.0計算表達式，求解量-效關系相關參數，如最大極限值、半抑制濃度(IC50)和半效濃度(EC50)。

2　結果

2.1NAPP抑制SMMC-7721細胞增殖的量-效關系表達式①作用24h后，依據不同的藥物濃度及對應的抑制率，得到五個插值點，分別為(0.01，8.41%)、(0.1，12.30%)、(1，21.68%)、(10，34.14%)、(100，42.23%)，得到量-效關系表達式：

②作用48 h后，同法得到五個插值點，分別為(0.01，11.02%)、(0.1，19.06%)、(1，34.58%)、(10，47.61%)、(100，54.69%)，得到量-效關系表達式：

③作用72h后，同法得到五個插值點，分別為(0.01，18.99%)、(0.1，25.84%)、(1，39.39%)、(10，51.15%)、(100，62.10%)，得到量-效關系表達式：

2.2量-效關系曲線圖根據24、48、72h量-效關系表達式，繪制NAPP抑制SMMC-7721細胞增殖的量-效曲線，如圖1所示。

圖1不同時間NAPP抑制SMMC-7721細胞增殖量-效曲線

2.3相關參數計算①最大抑制率(ECmax):令x→+∞,對上述2.1中的各表達式取極限，計算出NAPP作用SMMC-7721細胞24、48、72h后，ECmax分別為43.75%，55.97%，64.93%，圖1中可見。②IC50與EC50：令抑制率y=50%，計算NAPP作用SMMC-7721細胞48、72h后的表達式，得出IC50分別為16.46mg/L、8.26mg/L。分別與SPSS、曲線回歸法的計算結果比較，見表2。令抑制率y=50%×ECmax，計算NAPP作用SMMC-7721細胞各時段的表達式，得出EC50分別為1.04mg/L、0.36mg/L、0.30mg/L。

表2三種方法對半數抑制濃度計算的結果

mg/L

2.5導數圖根據各量-效關系表達式，求導得出SMMC-7721細胞增殖抑制率對NAPP濃度的導數，即變化率，繪制二者之間的導數圖，如圖2所示。

a.Effect of 24 h;b.Effect of 48 h;c.Effect of 72 h

圖2NAPP濃度-抑制率變化率的導數圖

3　討論

3.1量-效曲線表達式簡單，逼近程度高，預測結果可信度高本研究采用的Thiele型連分式插值法是一種簡單的有理函數方法，利用其分析藥物作用量-效關系為非線性關系，可進行理論分析和預測分析，如在對比研究IC50結果時，發現NAPP作用SMMC-7721細胞24 h后，預測抑制率最大值僅43.75%，未能達到IC50，與許金鵬等研究結果不同，見表2。而基于統計學方法的常用分析法在進行Probit分析時，使用概率或Logit數學模型，不能準確分析出各時段的最大效應值，使得在該模型分析下，最大效應都是100%，此時IC50、EC50結果相等，可見其分析偏差大。另外，Probit分析的結果是估計值，逼近效果一般。所以，在預測各時段NAPP最大抑制率的前提下，本方法可準確分析量-效關系，逼近實驗結果程度高，計算IC50、EC50結果更真實。

3.2量-效關系曲線圖與導數圖從圖1中的量-效曲線圖可見，不同濃度NAPP作用不同時間，其抑制率與濃度呈正比關系，量-效曲線呈先陡后平形態，在頂部均呈水平狀態，此時濃度增加，但抑制效果不再有顯著變化，符合量-效曲線特征[11]。另外，圖1中的量-效曲線準確通過各實驗數據點，保證了實驗數據的原始特征，如實反映每個點上的曲線特征，它模擬了藥物濃度與抑制率量-效關系變化的全過程，反映NAPP抑制肝癌細胞增殖的量-效關系。

導數圖可直觀的反映藥物濃度與抑制率之間的變化率，導數曲線越接近零，表示藥物濃度與抑制率量-效關系變化越穩定。由圖2可見，作用不同時間后，NAPP濃度在10 mg/L內，抑制率變化幅度大，藥效變化顯著，不穩定。10 mg/L之后，變化率趨近于0，幾乎與橫坐標重疊，表明藥效穩定，藥物濃度增加，抑制效果變化不顯著。因此，導數圖為藥物濃度的選擇量提供可靠的參考依據。

3.3存在的問題在使用連分式插值法作逼近時，可能會出現Rn(x)在插值區間內有極點[12]的情況，此時預測結果可能會出現較大誤差，這種情況下本方法將不再適用。因此，極點問題的處理也是今后本研究需要繼續深入討論的問題。

4　結論

在藥物研究領域中，目前常用概率單位法[13]、線性回歸法[14]、曲線擬合等方法來研究非線性量-效關系，但這些方法使用較為復雜，且條件限制較多，實驗數據在線性與非線性的轉換過程中，不能保存原始數據的變化特征，丟失各數據點的曲線特征，同時，使用統計學方法處理數據量較少的實驗數據，會導致估算誤差較大。因此，采用Thiele型連分式插值法分析藥物作用量-效關系，不僅逼近程度高，而且更是一種運算簡單、效果顯著且易于掌握的新方法。

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Estimation of the drug dose-effect relationship by thiele-type continued fraction interpolation

ZHU Tao,ZHAO Qianjin,LI Chaopin

School of Medicine,Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001,China

Objective：To design a thiele-type continued fraction interpolation for estimation of the dose-effect relationship of drugs.Methods:The experimental data on the inhibitive effect of protoporphyrin disodium(NAPP) on human hepatoma carcinoma strain of SMM-7721 cells in vitro were collected and thiele-type continued fraction interpolation was used to prepare the equation of dose-effect and plot the curves,and to estimate the maximum value of inhibition rate.Half inhibitory concentration(IC50)and half effective concentration(EC50) were computed,and the derivative was driven and the derivative graph was developed for examining changes of inhibition rate with the level of NAPP.Results:Thiele-type continued-fraction interpolation obtained the equation of dose-effect relationship pertaining to the inhibitive effect of NAPP on SMM-7721 cells at 24,48 and 72 h,and prediction of the maximum value of inhibition rate at the corresponding time point by 43.75%,55.97% and 64.93%,respectively.The EC50was 1.04 mg/L,0.36 mg/L and 0.30 mg/L;and IC50at 24-hour and 48-hour,16.46 mg/L and 8.26 mg/L.The derivative graph indicated that the inhibition rate changed with NAPP concentration at 10 mg/mL,yet the drug effect appeared unstable.The variation was not significant,and the drug effect remained stable and in plateau derivative as the NAPP concentration excelling 10 mg/L.Conclusion： Thiele-type continued-fraction interpolation is simple,practical and effective,with a good approximation effect in comparison with other algorithms,and can be used as a new method for the study of dose-effect relationship of drugs.

protoporphyrin disodium;SMM-7721 cell;dose-effect relationship;derivative;rational approximation;continued fraction interpolation

1002-0217(2016)05-0414-04

國家自然科學基金項目(60973050);安徽省高校省級自然科學研究基金項目(KJ2008A099)

2016-05-04

朱濤(1979-)，男，講師，碩士，(電話)13956455583，(電子信箱)kwk@aust.edu.cn；

【文獻標識碼】A

10.3969/j.issn.1002-0217.2016.05.002

李朝品，男，教授，(電子信箱)cpli001@126.com，通信作者.