魏正元,鄭小洋,蘇 翃
(重慶理工大學 理學院,重慶 400054)
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借助Gamma函數和Beta函數快速積分
魏正元,鄭小洋,蘇翃
(重慶理工大學 理學院,重慶400054)
基于Gamma函數、Beta函數及其恒等式,對大學數學教學內容中的Poisson積分公式、Wallis積分公式、正態隨機變量的高階矩等問題給出了另一種快捷解答。
Gamma函數;Beta函數;Wallis積分公式; 大學數學
開展對Gamma函數和Beta函數等特殊函數的應用研究一直深受國內外學者的重視,如:文獻[1]研究了Gamma函數的近似解;文獻[2]研究了Beta隨機變量函數的協方差矩陣的上下界。雖然高等數學課程教學在廣義積分部分講授了Gamma函數和Beta函數的定義和基本性質[3],但在隨后的課程教學中基本沒有涉及如何應用Gamma函數和Beta函數解題的案例。事實上,對一些廣義定積分問題,借助該2類奇異函數的等價表達式會使求解過程快速且簡便。
1.1Gamma函數[3-4]
由換元積分法可得Gamma函數下列等價形式:
(1)
另外,Gamma函數以下幾個等量關系式也常用到:
(2)
1.2 Beta 函數
由換元積分法可得Beta函數有以下幾種等價形式[3-4]:
(3)
1.3Beta函數與Gamma函數的關系
Beta函數與Gamma函數的關系為[3-4]
(4)
例2Wallis 積分公式[4]
(5)
解析教材對 Wallis 積分公式(5)的證明[4-5]均基于分部積分法和遞推數列進行。其實,等式(5)恰是Beta函數,因而最簡便的證明方法是借助 Beta 函數等價式(2)、Gamma 函數的等價式(3)及其關系式(4) 直接給出解答。
(6)
由式(6)可得諸多結果:
例3求正態分布X~N(μ,σ2) 的k階中心距[6-7]。
解析以下仍借助Gamma函數的相關等式進行求解:
根據Gamma函數的關系式(1)(2) 可得
由以上典型例題可見:應用Gamma、Beta 函數的相關等式進行積分運算非常方便、快捷,尤其是對概率論課程中一些問題的求解。例如:在求正態分布、Gamma 分布、指數分布、卡方分布、t分布、Beta 分布等隨機變量的n階矩時,Gamma 函數和Beta函數具有相當明顯的優勢,教師在高等數學教學過程應加強Gamma函數和Beta函數兩類函數的教學。
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(責任編輯劉舸)
IntegralsBasedonGammaandBetaFunction
WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong
(SchoolofSciences,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)
WepresentedanalternativemethodtosolvePoissonintegralformula,Wallisintegralformulaandmomentofnormaldistributioninadvancedmathematicstextbookbytheuseofgammafunction,betafunctionandtheirrelations.
Gammafunction;Betafunction;Wallisintegralformula;advancedmathematics
2015-10-10
重慶理工大學研究生教育教學改革研究項目(yjg2015208);重慶理工大學教研項目(2013YB33);重慶理工大學高數課程專項經費項目(0101130792)
魏正元(1975—),男,湖北襄陽人,博士,副教授,主要從事應用概率統計、金融統計、金融數學研究,E-mail:zyweimath@163.com。
format:WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong.IntegralsBasedonGammaandBetaFunction[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience),2016(9):129-132.
10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.021
G642.4
A
1674-8425(2016)09-0129-04
引用格式:魏正元,鄭小洋,蘇翃.借助Gamma函數和Beta函數快速積分[J].重慶理工大學學報(自然科學),2016(9):129-132.