一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略*

許 敏,聶 敏,楊 光,2,裴昌幸

(1.西安郵電大學通信與信息工程學院，西安　710061；

2.西北工業大學電子信息學院，西安　710072；

3.西安電子科技大學綜合業務網國家重點實驗室，西安　710071)

一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略*

許 敏**1,聶 敏1,楊 光1,2,裴昌幸3

(1.西安郵電大學通信與信息工程學院，西安710061；

2.西北工業大學電子信息學院，西安710072；

3.西安電子科技大學綜合業務網國家重點實驗室，西安710071)

提出一種以糾纏交換作為核心技術的遠程量子鏈路建立策略,建立了基于鏈路狀態矩陣的量子鏈路模型并分析了糾纏交換的實現和矩陣表示。提出了鏈路協議棧以及端到端的建立策略,分析了矩陣控制下的糾纏交換和糾纏純化流程,計算得出了在基于自動重傳請求(ARQ)協議經典信息輔助下的鏈路時延和吞吐量與節點數、誤幀率、平均距離、操作成功率之間的定量關系。仿真結果表明:處于同一狀態區間內的鏈路性能隨節點數呈現出較為一致和平緩的變化;不同區間內的鏈路性能差異較為顯著,在節點平均距離為1 km、經典信息誤幀率為0、糾纏保真度為0.98的情況下,當節點數分別為32、33和34時,鏈路時延分別為1.077 0 ms、1.090 3 ms和1.669 0 ms,鏈路吞吐量分別為0.928 5 kb/s、0.917 2 kb/s和0.599 2 kb/s。

量子通信;量子鏈路;糾纏交換;糾纏純化;鏈路時延;鏈路吞吐量

引用格式:許敏，聶敏，楊光，等.一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略[J].電訊技術，2016，56(3)：233-240.[XU Min，NIE Min，YANG Guang，et a1. A strategy of estab1ishing remote quantum 1ink based on entang1ement swaPPing[J].Te1ecommunication Engineering，2016，56(3)：233-240.]

1　引 言

量子糾纏是量子通信過程中的重要資源，也是量子通信與經典通信區別的一個重要特征?；诩m纏的非定域性[1]，通信雙方一旦建立了糾纏連接，就可以借助糾纏關聯執行量子密鑰分發、量子秘密共享、量子安全直接通信[2-3]等各種通信協議?；诩m纏的研究與應用是目前量子計算與量子信息領域的研究熱點。2012年9月，德國Max P1anck研究所與奧地利量子光學與量子信息研究所(Institute for Quantum OPtics and Quantum Information，IQOQI)成功進行了143 km自由空間量子隱形傳態實驗[4]，驗證了量子隱形傳態在真實環境下的成熟性和適應性。2013年9月，日本NTT基礎研究實驗室與NTT光子實驗室在光纖中成功進行了300 km的糾纏分發[5]，闡明了在光纖中進行遠距離量子通信實驗的可能性。2015年4月，清華大學與中國科學技術大學聯合研制了一種高亮度和高糾纏度的一體化糾纏源系統[6]，并成功應用到了上百公里自由空間量子糾纏分發試驗中。

糾纏在量子通信網中具有十分重要的意義[7-10]，廣泛應用在差錯控制、網絡互聯、路由選擇、信令中繼、身份認證等方面。文獻[11]提出了一種基于糾纏的量子自動重傳請求(Automatic RePeat Request，ARQ)協議，可以有效地提高數據鏈路層的最大吞吐量和信道利用率。文獻[12]提出了一種新穎的三方量子停止等待及自動選擇重傳策略。文獻[13]提出了一種基于遠程傳態的量子路由策略，將量子通信網的范圍進行了有效的擴展。文獻[14]提出的量子信令中繼網絡模型，借助糾纏交換，解決了噪聲背景下的量子信令遠程傳輸問題，實現了量子信令的可靠傳輸。

目前的研究工作主要集中在為量子通信提供高糾纏度、高亮度的糾纏粒子對以及提高糾纏分發的距離等方面[15]。然而，如何為各種基于糾纏的量子通信協議提供可靠的糾纏連接，其相關研究尚未完全展開。為此，本文在糾纏交換的基礎上提出一種遠程量子鏈路建立策略，結合糾纏純化的應用實現遠距離節點間的端到端連接，并對本策略下鏈路的時延及吞吐量進行分析與仿真。

2　基于狀態矩陣的鏈路模型

2.1鏈路中的兩類節點

在基于糾纏交換的量子通信網中，通信鏈路由通信信道和網絡節點組成。端到端的鏈路模型如圖1所示，其中，每個橢圓表示節點所在區域，處于相鄰橢圓中由線段所連接的黑點表示糾纏粒子對。鏈路中的節點分為邊緣節點和中間節點兩類。

(1)邊緣節點

一條鏈路中收發信息的兩個端點。在一條鏈路中，有且僅有兩個邊緣節點，如圖1中的節點1和節點M。

(2)中間節點

通信鏈路中除了邊緣節點之外的其余節點，如圖1中的節點2，3，…，M-1。

圖1　端到端的鏈路模型Fig.1 The end-to-end 1ink mode1

2.2相鄰節點間糾纏鏈路的建立過程

當節點A與B、B與C同時共享糾纏粒子對時，節點A、B、C構成如圖2所示的相鄰關系。

圖2　相鄰鏈路節點間的糾纏關系Fig.2 Adjacent re1ation between 1ink nodes

圖2中，a1-b1表示節點A與B之間的糾纏粒子對，b2-c1表示節點B與C之間的糾纏粒子對。在中間節點B處，對粒子b1和b2進行操作和測量，從而建立起節點A與節點C之間的糾纏關聯，其量子線路如圖3所示。

圖3　糾纏交換線路圖Fig.3 Circuit diagram of entang1ement swaPPing

圖3中，H1、H2表示量子hadamard門，虛線框內為一個受控非門。將通過H1后的b1作為控制比特對b2進行受控非操作，然后將b2通過H2并與b1一起作非破壞Be11測量(Be11 State Nondemo1ition Measurement，BSNM)[16]。

令粒子a1和b1、粒子b2和c1的初始狀態分別為

則系統的初始狀態為

隨后，測量將粒子b1和b2投影到4個相互正交的Be11態上，使粒子a1和b1發生塌縮，得到對應狀態的糾纏粒子對a1-c1，在使用BSNM測量的情況下，忽略環境因素，鏈路中糾纏粒子的總數維持不變，而糾纏粒子之間的距離會不斷增長。

基于線性光學的實現方案如圖4所示。

圖4　線性光學實現方案Fig.4 ImP1ementation scheme based on 1inear oPtics

圖4中：脈沖頻率為80 MHz[4]；B1和B2為偏硼酸鋇晶體；PBS是分束器；D1、D2為探測器。脈沖通過B1后產生第一對糾纏光子a1和b1，隨后進入B2產生第二對糾纏光子c1和b2。a1通過PBS進入節點A處的探測器D1，c1進入節點C處的探測器D2，b2和b1隨后進入節點B處的BSNM裝置。測量塌縮后，原本獨立的粒子a1和c1處于最大糾纏態，當測量結果為|φ+〉、|ψ+〉、|φ-〉、|ψ-〉時，a1c1的狀態分別為|φ-〉、|φ+〉、|ψ+〉、|ψ-〉。

2.3相鄰節點糾纏建立的矩陣分析

為便于分析，將相鄰節點間的鏈路長度歸一化并定義糾纏長度為糾纏粒子之間的鏈路長度。若兩個糾纏粒子處于同一個節點，則認為其糾纏長度為0，規定單個糾纏粒子的糾纏長度為0。M個節點的糾纏鏈路可表示為M×M的矩陣：

式中：e'ij(n)為節點i和j之間的糾纏長度；e'ij=；n表示鏈路狀態，滿足E'(n)=E'T(n)。

易得糾纏長度的無方向性及e'ij(n)=e'ji(n)，故取E'(n)的下三角矩陣E(n)作為鏈路的狀態矩陣，則有

對相鄰節點間糾纏交換的矩陣描述如下：當eij(n)≠0，若存在eki(n)≠0時，令

則相鄰節點k和j之間的糾纏關聯由中間節點i建立完成；若不存在eki(n)≠0，則節點i不進行任何操作。

3　端到端的糾纏鏈路建立

基于上述分析，現考慮整條鏈路的糾纏建立過程。圖5是鏈路的協議棧。

圖5　鏈路協議棧Fig.5 Protoco1 stack of 1ink

鏈路的協議棧分為6層，最下層為第一層，即經典信息輔助(CIA)，它在鏈路的建立過程中起輔助作用。第二層為糾纏制備(EM)，表示相鄰節點糾纏對的制備和共享。第三層和第五層為純化控制(PC)，用來控制節點的糾纏純化。第四層為糾纏交換控制(ESC)，用來控制節點間的糾纏交換。最上層為應用層，表示各種基于糾纏的應用。

圖6是一個7節點鏈路的建立過程，其中，PC(x)和ESC(x)表示E(x)狀態的糾纏純化和糾纏交換，x∈N。PC(-1)表示進入E(0)前的純化操作。在控制命令下，鏈路經歷了三個階段。規定鏈路初始化之前，每個節點向下行相鄰節點發送糾纏粒子，進行純化操作，當緩存的糾纏對數量滿足協議啟動需要的下限時，鏈路進入初始狀態E(0)。隨后按以下步驟進行：

(1)在節點2、4、6上進行糾纏交換，隨后在節點1和3、3和5、5和7之間進行純化，鏈路進入狀態E(1)；

(2)在節點3上進行糾纏交換，并在節點1和5之間進行純化，鏈路進入狀態E(2)；

(3)在節點5上進行糾纏交換，并在節點1和7之間進行純化。鏈路進入狀態E(3)，建立完成。

圖6　鏈路建立流程圖Fig.6 Process diagram of 1ink construction

對應于圖6的鏈路狀態矩陣為

對于一般情況下鏈路的建立過程，其算法如下：

(1)對于狀態矩陣E(x)，x≥0，取最小行標的非零元素eij(x)，若存在eki(x)≠0，則執行步驟2，否則轉入步驟4；

(2)令ekj(x+1)=k-j，eij(x)=0，eki(x)=0，記錄當前節點i，k，j；

(3)判斷當前E(x)中是否存在非零元素，若存在，則轉回步驟1，否則對記錄的所有節點i進行糾纏交換操作，令節點k和j進行糾纏純化操作并進入步驟4；

(4)鏈路狀態矩陣變為E(x+1)；

(5)重復執行上述步驟，直至糾纏鏈路建立完成。

4　仿真分析

令F表示保真度，則純化前的光子密度矩陣為

根據Bennett等提出的糾纏純化方案，純化前的保真度Fr與純化后的保真度Fr+1滿足

取E(0)時刻的保真度FE(0)為每級純化保真度的下限。經過糾纏交換后，相鄰節點間糾纏對的保真度為

參數p1、p2和η分別為純化操作進行單比特、兩比特量子操作和量子測量的成功率。

鏈路建立過程中，由于信道的退極化作用及多變的環境因素，每輪量子操作成功率變化較為復雜，為了便于分析，采用獨立同分布假設。令節點產生糾纏粒子的成功率為pem，進行糾纏交換的成功率為pesc，將保真度從Fesc純化到FPc的次數為t，成功率為pPc。對于狀態矩陣為E(x)的鏈路，連接過程所需要的時間包括相鄰節點間制備分發糾纏對的平均時間Tem、進行糾纏交換的平均時間Tesc(x)和進行糾纏純化的平均時間TPc(x)。假設鏈路成功產生糾纏對的次數、成功進行糾纏交換和完成糾纏純化的次數均服從指數分布。

對于x≥0，鏈路建立所需的總平均時間為

式中：Tq表示量子操作和測量的時延；Tc(x)表示各種經典信息的傳輸時延；且有

式中：τoP為完成一次量子操作或測量的時間。采用停等式ARQ協議傳輸經典信息，記τtr=l/c，則

式中：N表示鏈路節點數；κ為狀態數，滿足2κ+1＜N≤2κ+1+1，κ∈N；c表示光速；p為誤幀率；l為相鄰節點間的平均距離。

由式(14)得

式中：τem為糾纏分發時延。

令PN=pem(pescpPc)κ+1，則鏈路的吞吐量為

綜上所述，鏈路共經歷了從E(0)到E(κ)共κ+1個狀態。Nmin為區間的最小節點數，T和S分別表示時延及吞吐量。令τem=0.3 μs，τoP=2 μs，τP= 0.1 μs，l=1 km，FESC(0)=0.98，忽略TPc(-1)，得到對應不同狀態數鏈路節點的時延及吞吐量如表1所示。

表1　對應不同狀態數鏈路節點的時延及吞吐量Tab.1 Time de1ay and throughPut of 1inks of different node number

對時延和吞吐量與節點數關系的仿真結果如圖7所示。

圖7　時延和吞吐量與節點數N的關系Fig.7 Time de1ay and node number with N

由圖7知，N=33時，T33=1.090 3 ms，S33= 0.917 2 kb/s。N=34時，T34=1.669 0 ms，S34= 0.599 2 kb/s，T和S發生明顯變化。原因是N=33時，鏈路建立經歷了E(0)-E(4)狀態；N=34時，鏈路經歷了E(0)-E(5)狀態，節點數相鄰而區間不同，其每個狀態內的節點流程和參與次序有明顯區別，從而使得鏈路時延和吞吐量差異很大，具體體現為式(18)中參數κ的不同取值。因此，分組交換在進行路由選擇時，同一連接中不同分組通過鏈路應盡可能處于相同區間內，避免時延和吞吐量的深衰落。此外，當鏈路節點數非常大時，不僅控制流程會較為復雜，鏈路性能也會有明顯下降，導致通信質量受到嚴重影響。例如，當N=128時，T128= 4.021 ms，S128=0.248 7 kb/s。因此，應根據業務類型和服務質量要求合理控制節點數量。

考慮經典過程對鏈路性能的影響，取N=5分析不同誤幀率條件下鏈路性能隨平均距離的變化情況，如圖8所示。

圖8　時延和吞吐量隨l和p的變化曲線Fig.8 Time de1ay and node number with l and p

由圖8可以看出，節點距離越大，誤幀率越高，則經典信息傳輸的時延就越大，錯誤概率越高，從而使得節點糾纏交換和糾纏純化的成功率下降，導致時延增加，吞吐量減小。

系統性能還會受到pem、pesc和pPc的影響，因為pem只發生在初始化階段，所以pesc和pPc起主要作用，其仿真如圖9所示。從圖中可以看出，為了將保真度純化到通信閾值，往往需要執行多次純化操作，因而鏈路對于純化的成功率更為敏感。為了降低鏈路時延和提高鏈路吞吐量，需要提升設備效率，減少量子操作和測量耗費的時間，提高糾纏交換的成功率和改進純化策略。

圖9　鏈路時延和吞吐量與pesc、pPc的關系Fig.9 Time de1ay and node number vs.pescand pPc，resPective1y

5　結束語

本文提出的鏈路建立策略采用了并行的糾纏建立方式，相對于過去節點逐一進行操作的方法，提高了系統性能。在已有的并行操作策略中，大都采用節點數為2的整數次冪假設，而現實中經常面臨著更一般的情況。為此，本文提出矩陣下的表示和控制算法，引入鏈路狀態參數，以控制流程復雜度的增加保持了并行建立的優勢，但不足之處是時延和吞吐量會在狀態區間臨界點處有較大的變化，我們會在下一步的研究中進行改進，不斷減小這種變化的幅度，為糾纏量子通信協議提供可靠的糾纏鏈路。

[1] 尹浩，韓陽.量子通信原理與技術[M].北京：電子工業出版社，2013.

YIN Hao，HAN Yang.Quantum communication：PrinciP1e and techno1ogy[M].Beijing：Pub1ishing House of E1ectronics Industry，2013.(in Chinese)

[2] 劉林曜，胡孟軍，呂洪君，等.基于任意Be11態的量子密鑰分配[J].量子電子學報，2013，30(4)：439-444.

LIU Linyao，HU Mengjun，LYU Hongjun，et a1.Quantum key distribution Protoco1 based on any Be11 states[J]. Chinese Journa1 of Quantum E1ectronics，2013，30(4)：439-444.(in Chinese)

[3] 龍桂魯，王川，李巖松，等.量子安全直接通信[J].中國科學：物理學力學天文學，2011，41(4)：332-342.

LONG Gui1u，WANG Chuan，LI Yansong，et a1.Quantum secret direct communication[J].Scientis Sinica Physics，Mechanics&Astronics，2011，41(4)：332-342.(in Chinese)

[4] MA X S，HERBST T，SHEIDL T，et a1.Quantum te1ePortation over 143 ki1ometres using active feed-forward[J]. Nature，2012，489(7415)：269-273.

[5] TAKAHIRO I，NOBUYUKI M，OSAMU T，et a1.Entang1e-ment distribution over 300km of fiber[J].OPtics Ex-Press，2013，21(20)：23241-23249.

[6] 周飛，曹原，印娟，等.基于百公里量子通信實驗的可移動式一體化糾纏源[J].紅外與毫米波學報，2015，34(2)：225-229.

ZHOU Fei，CAO Yuan，YIN Juan，et a1.Integrated and Portab1e entang1ement source used for quantum communication over 100 ki1omrters[J].Journa1 of Infrared and Mi11imeter Waves，2015，34(2)：225-229.(in Chinese)

[7] YU X T，ZHANG Z C，XU J.Distributed wire1ess quantum communication networks with Partia11y entang1ed Pairs [J].Chinese Physics B，2014，23(1)：66-73.

[8] METWALLY N.Entang1ed network and quantum communication[J].Physics Letters A，2011，375(48)：4268-4273.

[9] WANG K，YU X T，LU S L，et a1.Quantum wire1ess mu1tihoP communication based on arbitrary Be11 Pairs and te1ePortation[J].Physica1 Review A，2014，89(2)：767-771.

[10] 李淵華，劉俊昌，聶義友.基于W態的跨中心量子網絡身份認證方案[J].光子學報，2010，39(9)：1617-1620.

LI Yuanhua，LIU Junchang，NIE Yiyou.Quantum identification scheme of cross-center based on W-state[J].Acta Photonica Sinica，2010，39(9)：1617-1620.(in Chinese)

[11] 周南潤，曾賓陽，王立軍，等.基于糾纏的選擇自動重傳量子同步通信協議[J].物理學報，2010，59(4)：2193-2199.

ZHOU Nanrun，ZENG Binyang，WANG Lijun，et a1.Se-1ective automatic rePeat quantum synchronous communication Protoco1 based on quantum entang1ement[J].Acta Physics Sinica，2010，59(4)：2193-2199.(in Chinese)

[12] ZHOU N R，CHENG H L，GONG L H，et a1.Three-Party quantum network communication Protoco1s based on quantum te1ePortation[J].Internationa1 Journa1 of Theoretica1 Physics，2014，53(4)：1387-1403.

[13] 周小清，鄔云文，趙晗.量子隱形傳態網絡的互聯與路由策略[J].物理學報，2011，60(4)：35-40.

ZHOU Xiaoqing，WU Yunwen，ZHAO Han.Quantum te1ePoration internetworking and routing strategy[J].Acta Physics Sinica，2011，60(4)：35-40.(in Chinese)

[14] 連濤，聶敏.基于糾纏交換的量子信令中繼網絡模型及仿真[J].光子學報，2012，41(10)：1251-1255.

LIAN Tao，NIE Min.Mode1 and simu1ation of entang1ement signa1ing rePeater network based entang1ement swaPPing[J].Acta Photonica Sinica，2012，41(10)：1251-1255.(in Chinese)

[15] JIN X M，REN J G，YANG B，et a1.ExPerimenta1 freesPace quantum te1ePortation[J].Nature Photonics，2012 (4)：376-381.

[16] 丁東，閆鳳麗.基于弱非線性實現非破壞性測量兩光子Be11態及三光子Greenberger-Horne-Ze1inger態[J].物理學報，2013，62(10)：27-31.

DING Dong，YAN Feng1i.Quantum nondemo1ition measurement of two-Photon Be11-state and three-Photon Greenberger-Horne-Ze1inger-state based on weak non-1inearities[J].Acta Physics Sinica，2013，62(10)：27-31.(in Chinese)

許 敏(1991—)，女，陜西人，碩士研究生，主要研究方向為量子通信；

XU Min was born in Shaanxi Province，in 1991.She is now a graduate student.Her research concerns quantum communication.

Emai1：1145045705@qq.com

聶 敏(1964—)，男，陜西人，教授，碩士生導師，主要研究方向為量子通信、移動通信；

NIE Min was born in Shaanxi Province，in 1964.He is now a Professor and a1so the instructor of graduate students.His research concerns quantum communication and mobi1e communication.

楊 光(1977—)，女，陜西人，講師，博士研究生，主要研究方向為量子通信和通信網；

YANG Guang was born in Shaanxi Province，in 1987.She is now a 1ecturer and current1y working toward the Ph.D.degree.Her research concerns quantum communication and communication network.

裴昌幸(1945—)，男，陜西人，教授、博士生導師，主要研究方向為無線通信、網絡測量、量子通信。

PEI Changxing was born in Shaanxi Province，in 1945.He is now a Professor and a1so the Ph.D.suPervisor.His research concerns wire1ess communication，network measurement and quantum communication.

A Strategy of Establishing Remote Quantum Link Based on Entanglement Swapping

XU Min1，NIE Min1，YANG Guang1，2，PEI Changxing3
(1.Schoo1 of Communication and Information Engineering，Xi'an University of Posts and Te1ecommunications，Xi'an 710061，China；2.Schoo1 of E1ectronics and Information，Northwestern Po1ytechnica1 University，Xi'an 710072，China；3.State Key Laboratory of Integrated Service Networks，Xidian University，Xi'an 710071，China)

A remote quantum 1ink estab1ishment strategy which uses entang1ement swaPPing as the core techno1ogy is ProPosed.The mode1 of quantum 1ink based on state matrix is estab1ished and its entang1ement swaPPing imP1ementation and its matrix rePresentation are ana1yzed.The Process of entang1ement swaPPing and entang1ement Purification under contro1 of the matrix is a1so discussed.With c1assica1 auxi1iary information based on automatic rePeat request(ARQ)Protoco1，the quantitative re1ationshiP between 1ink de1ay (throughPut)and node number，frame error rate，average distance，oPeration success rate is ca1cu1ated.Simu1ation resu1ts show that the Performance of 1inks in the same state interva1 varies consistent1y and gradua11y whi1e 1inks in different ranges behave very different1y.Setting average distance to be 1 km，frame error rate to be 0，entang1ement fide1ity to be 0.98，when the node number is 32，33，34，the time de1ay is 1.077 0 ms，1. 090 3 ms and 1.669 0 ms，the throughPut is 0.928 5 kb/s，0.917 2 kb/s and 0.599 2 kb/s，resPective1y.

quantum communication；quantum 1ink；entang1ement swaPPing；entang1ement Purification；1ink time de1ay；1ink throughPut

The Nationa1 Natura1 Science Foundation of China(No.61172071,61201194);The Natura1 Science Research Foundation of Shaanxi Province(2014JQ8318);Internationa1 Scientific and Techno1ogica1 CooPeration and Exchange Program of Shaanxi Province(2015KW-013)

TN915.9

A

1001-893X(2016)03-0233-08

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.03.001

2015-11-16;

2016-01-19 Received date:2015-11-16;Revised date:2016-01-19

國家自然科學基金資助項目(61172071,61201194);陜西省自然科學基礎研究計劃(2014JQ8318);陜西省國際科技合作與交流計劃(2015KW-013)

**通信作者:1145045705@qq.com Corresponding author:1145045705@qq.com