一種變步長凸組合自適應濾波算法及其性能分析*

王 蒙，趙建平，楊恒耀

（曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165）

一種變步長凸組合自適應濾波算法及其性能分析*

王 蒙，趙建平，楊恒耀

（曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165）

為了進一步解決收斂速度與穩態誤差之間的矛盾，提高自適應濾波算法性能，將變步長算法引入到凸組合自適應濾波算法（CLMS）中，提出了一種新的變步長凸組合最小均方算法（NVSCLMS）。該算法用一種基于塊步長思想的變步長算法代替原CLMS算法中的快速收斂算法。通過理論推導和仿真對比分析：提出的算法提高了CLMS算法的靈活性和實用性，且在收斂速度、穩態誤差和跟蹤性三個方面展現出優于變步長算法、CLMS算法和已提出變步長凸組合算法的濾波效果。

自適應濾波；CLMS；變步長算法；塊步長；NVSCLMS

近年來，利用并行思想提出了凸組合最小均方［2-3］（Convex Combination of Least Mean Square，CLMS）算法，進一步優化了單一變步長LMS算法的性能。該算法是將兩個不同迭代步長的LMS算法濾波器（快速濾波器和慢速濾波器）進行并聯，通過聯合參數進行控制：算法收斂初期，快速濾波器起主要作用，以達到快速收斂的目的；等進入穩定階段，慢速濾波器起主要作用，使總的穩態誤差降低。但是，不同迭代步長的并行計算往往對算法參數的要求比較精確，而且不利于濾波器在噪聲環境中保持良好的性能。同時，對于時變環境，CLMS算法還存在一定不足。因此，本文在原有CLMS算法的基礎上，用一個基于塊步長思想的變步長LMS算法［4］去替代CLMS算法中的步長較大的快速收斂算法。這樣在提高收斂速度、降低穩態誤差的前提下，增強了算法的跟蹤性能，同時提高了CLMS算法的應用空間。

1　CLMS算法的介紹

CLMS算法的核心思想：利用并行思想將兩個相互獨立的LMS濾波器并聯，并將兩個濾波器分別設為快速濾波器和慢速濾波器（為了討論方便，本文將第一個LMS濾波器看作是快速濾波器），最終通過聯合參數λ（n）協調兩個LMS濾波器的權重，使整個CLMS算法既可以通過快速濾波器達到快速收斂的效果，也可以通過慢速濾波器得到較小的穩態誤差。整個濾波過程可發揮不同濾波器的優勢，達到快速穩定的工作效果。

CLMS濾波器原理示意圖如圖1所示。

圖1　CLMS濾波器的原理

其中，x（n）為系統輸入，d（n）為期望信號；wi（n）、yi（n）、ei（n）（i=1，2）分別為兩個獨立LMS濾波器的權向量、輸出和誤差；λ（n）為CLMS算法的聯合參數；y（n）為整個濾波器的等效輸出；e（n）為整個濾波器的等效誤差。

對于單個的LMS濾波器，工作原理如下：

其中，i=1，2。

對于組合濾波器，等效輸出和等效誤差為：

算法初期，λ（n）取值從1開始逐漸變小，此時快速濾波器起主要作用，以提高收斂速度。隨著迭代的進行，λ（n）逐漸變小至0，慢速濾波器起主要作用，以降低整個濾波器的穩態誤差。運算中，通常不直接調整聯合參數λ（n），而是根據Sigmoid函數定義變量a（n）來控制聯合參數，從而控制組合濾波器的工作。因此，聯合參數λ（n）∈［0，1］定義為：

參數a（n）以最小均方誤差為準則，采用最速下降法來調整，使組合濾波器的誤差平方最小。因此，a（n）的更新公式如下：

其中μa為算法的步長因子。

2　NVSCLMS算法

2.1 VSCLMS算法的提出

雖然CLMS算法在一定程度上提高了變步長LMS算法的性能，但是在某些方面仍然存在不足：①CLMS算法是兩個LMS算法的并行計算，往往對算法參數的要求比較精確，因此CLMS算法對于λ（n）過于依賴；②兩個固定步長LMS算法組成的CLMS，在噪聲環境中無法保持良好的性能；③對于時變環境，CLMS算法靈活性和跟蹤性較差。

針對CLMS算法體現的不足，部分學者將變步長思想引入到CLMS算法，提出了VSCLMS算法。VSCLMS算法即在CLMS算法的基本原則下，用變步長LMS算法代替原CLMS算法中較大步長LMS算法，以提高算法的靈活性和抗干擾性，同時不影響系統的穩態誤差。文獻［5-7］所提出的算法，就是分別將基于Sigmoid函數、洛倫茲函數、雙曲正切函數的變步長函數帶入到CLMS算法中的VSCLMS算法。

2.2 NVSCLMS算法的提出及性能分析

本文遵循這一思想提出一種新型變步長CLMS算法（文中稱為NVSCLMS算法）。將帶有塊步長思想的基于Sigmoid函數的變步長LMS算法引入CLMS算法。變步長LMS算法迭代步長為：

其中eav（n）是根據文獻［4］提及的塊步長思想而設計的誤差平均量，更新公式如下：

與其他變步長LMS算法相同，新算法必須滿足α＞0，0＜β＜μmax的收斂條件。

NVSCLMS算法的性能分析可以從以下兩方面展開。

第一，對于CLMS算法的性能分析，文獻［2］和文獻［3］進行了詳細闡述。VSCLMS算法作為CLMS算法的延伸，具有類似CLMS算法的性能。

對于NVSCLMS算法，其變步長迭代規則為：

當n→∞時，理想狀態下步長會收斂為一個很小的值，可取如下近似：此時，交叉EMSE表達式如下：

由于，且μ＜μ＜μ，

2120得出結論Jex，2＜Jex，12＜Jex，1。符合文獻［2］中三種假設的第二種假設，因此整個NVSCLMS算法的穩態誤差Jex（∞）≈Jex，2（∞）。所以，該NVSCLMS算法擁有變步長LMS算法的收斂速度，同時能夠達到理想的穩態誤差。

第二，將NVSCLMS算法中引入塊步長思想的變步長LMS算法（文本稱為NVSLMS算法）與固定步長LMS算法、文獻［5］中VSCLMS算法提及的變步長LMS算法（本文稱為VSLMS算法）進行仿真比較。

將3種算法在同一系統辨識模型中進行仿真實驗：在信噪比為20 dB的情況下，假設未知系統為8階橫向濾波器，抽頭系數Hn=［0.878 3，-0.580 6，0.653 7，-0.322 3，0.657 7，-0.058 2，0.289 5，-0.271 0］。當更新至600次時發生突變，抽頭系數Hn=［0.653 7，-0.322 3，0.657 7，-0.058 2，0.289 5，-0.271 0，0.127 8，-0.150 8］，再進行600步更新。固定步長LMS算法的參數：μ=0.01。VSLMS算法和NVSLMS算法的參數均為β=0.08，α=0.8。學習曲線如圖2所示。

圖2　三種LMS算法學習曲線比較

通過以上單一LMS濾波器的仿真對比可以發現，在不改變穩態誤差的前提下，NVSLMS算法無論是在收斂速度還是跟蹤性能方面，都相對于固定步長LMS算法和文獻［5］中提到的VSLMS算法有較大程度的提高。因此，將NVSLMS算法引入CLMS，將會有效改善CLMS算法和文獻［5］提出VSCLMS算法所出現的不足。

3　NVSCLMS算法在系統辨識系統中的應用分析

所謂系統辨識就是根據系統的輸入和輸出信號，建立系統模型的理論和方法。當給定一個未知的系統時，自適應濾波器通過各種算法逼近這個系統；當系統達到穩態時，自適應濾波器的權系數即是未知系統的系數，從而達到系統辨識的目的。

為了進一步驗證本文提出算法與其他算法相比具有良好的性能，現在系統辨識的應用中，將本文提出算法同CLMS算法、文獻［5］提出的VSCLSM算法進行比較。在信噪比為20 dB的情況下，假設未知系統為8階橫向濾波器，抽頭系數Hn=［0.878 3，-0.580 6，0.653 7，-0.322 3，0.657 7，-0.058 2，0.289 5，-0.271 0］；當更新至600次時發生突變，抽頭系數Hn=［0.653 7，-0.322 3，0.657 7，-0.058 2，0.289 5，-0.271 0，0.127 8，-0.150 8］，再進行600步更新。每種算法進行200次獨立仿真，求取統計平均值進行比較。同時，為能客觀比較系統性能，各種算法均取其他文獻中討論過的相對最優參數。CLMS算法中，μ1=0.08，μ2=0.01，μa=200；文獻［5］提出的VSCLMS算法中，β=0.08，α=0.8，μ2=0.01，μa=200；本文提出算法同樣取，β=0.08，α=0.8，μ2=0.01，μa=200。于是，得出對比學習曲線如圖3所示。

圖3　NVSCLMS算法與其他算法對比學習曲線比較

由圖3可以得出，在NVSCLMS算法中，快速濾波器步長上限取0.08（CLMS算法中快速濾波器步長）的情況下，與CLMS算法比較，收斂速度方面并沒有明顯差距，但在均方誤差上有顯著提高。此時，若改變快速濾波器收斂上限，必將獲得比CLMS算法更快的收斂速度。因此，NVSCLMS算法與CLMS算法相比，收斂速度、穩態誤差和跟蹤性能三個方面都有很大提高。與文獻［5］中提出的VSCLMS算法相比較，在穩態誤差基本相同的情況下，NVSCLMS算法在收斂速度和跟蹤性能有大幅度提升。

4　結 語

NVSCLMS算法在不改變原有CLMS算法的基礎上，將帶有塊步長思想的變步長LMS算法帶入CLMS算法中替代原有的快速收斂LMS算法，使得CLMS算法能夠根據收斂進程及環境變化的要求隨時調整步長，增強了濾波器的靈活性和實用性。通過理論分析和仿真實驗，將NVSCLMS算法與VSCLMS算法和固定步長CLMS算法相比較發現，NVSCLMS算法不僅有較快的收斂速度，還降低了穩態誤差，在跟蹤性能上也明顯優于已提出的變步長凸組合算法?？梢?，本文提出的NVSCLMS算法在收斂速度和穩態誤差之間找到了一個新的調和點，從而促使濾波器取得了更好的濾波效果。

［1］ Widrow B，Mccool J M，Arimoer M G.Stationary and NonStationary Learning Characteristics of the LMS Adaptive Filter［J］.Proceedings of the IEEE，1976，64（08）：1151-1162.

［2］ Arenas-Garcia J，Figueiras-Vidal A R，Sayed A H.Steady State Performance of Convex Combinations of Adaptive Filters［C］.Proceedings of IEEE International Conference Acoustics，Speech，and Signal Processing，2005：33-36.

［3］ Arenas-Garcia J，Figueiras-Vidal A R，Sayed A H.Meansquare Performance of a Convex Combination of Two Adaptive Filters［J］.IEEE Signal Processing，2006，54（03）：1078-1090.

［4］ 張炳婷，趙建平，馬淑麗.新的變步長LMS算法在系統辨識中的應用［J］.通信技術，2015，48（06）：653-656.

ZHANG Bing-ting，ZHAO JIAN-ping，MA Shuli.Application of Novel Variable Step Size LMS Algorithm in System Identification［J］.Communication Technology，2015，48（06）：653-656.

［5］ 于霞，劉建昌，李鴻儒.一種變步長凸組合自適應濾波器及其均方性能分析［J］.電子學報，2010，38（02）：480-484.YU Xia，LIU Jian-chang，LI Hong-ru.A Convex Combination of Variable Step-size Adaptive Filter and Its Mean-Square Performance Analysis［J］.ACTC ELECTRONICA SINICA，2010，38（02）：480-484.

［6］ 曾樂雅，許華，王天睿.基于洛倫茲函數的變步長凸組合最小均方算法［J］.系統工程與電子技術，2016，38（05）：998-1003. ZENG Le-ya，XU Hua，WANG Tian-rui.Low Computational Complexity Variable Step-size CLMS Algorithm based on Lorentzian Function［J］.Systems Engineering and Electronics，2016，38（05）：998-1003.

［7］ 陳立偉，譚志良，崔立東.基于雙曲正切函數的變步長凸組合最小均方誤差算法［J］.裝甲兵工程學院學報，2015，29（05）：94-96.

CHEN Li-wei，TAN Zhi-liang，CUI Li-dong.A Convex Combination of Variable Step LMS Algorithm based on Hyperbolic Tangent Function［J］.Journal of Acadamy of Armored Force Engineering，2015，29（05）：94-96.

王 蒙（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向為無線通信技術；

趙建平（1964—），男，學士，教授，主要研究方向為無線通信技術；

楊恒耀（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向為無線通信技術。

Variable Step-size Convex-combination Adaptive Algorithm and Its Performance Analysis

WANG Meng， ZHAO Jian-ping， YANG Heng-yao
（College of Physics Engineering， Qufu Normal University， Qufu Shandong 273165， China）

For further solving the contradiction of between the convergence speed and the steady-state error， and for improving the performance of adaptive filtering algorithm， the variable step size algorithm is introduced into the convex-combination adaptive filtering algorithm （CLMS）， and thus a new variable step-size convex-combination least-mean-square （VSCLMS） algorithm is proposed. The algorithm， with a variable step size algorithm based on block step size， replaces the fast convergence algorithm in the original CLMS algorithm. Theoretical derivation and simulation analysis indicate that the proposed algorithm could improve the flexibility and practicability of the CLMS algorithm， and exhibits much better filtering effect than other variable step size algorithms， CLMS algorithm and proposed VSCLMS algorithm in the three aspects of convergence speed， steady state error and tracking performance.

adaptive filtering； CLMS； variable step-size algorithm； block step-size； NVSCLMS

0　引 言

最小均方誤差（LMS）算法是Windrow和Hoff在1960年提出的一種建立在維納濾波理論上的算法。它以最小均方誤差為準則，通過最速下降法來獲得最優維納解［1］。它的主要過程是通過調節自適應濾波器的權系數，使濾波器輸出信號與期望信號之間誤差的均方最小。由于LMS算法計算量小、魯棒性高、結構簡單、便于實現和控制等優點，被廣泛應用在通信領域的回波消除、信道自適應均衡、噪聲中信號追蹤、系統模型識別等方面。步長選擇在LMS算法中起著十分重要的作用：大步長意味著快速收斂，但帶來了較大的穩態誤差；小步長可以滿足較小的穩態誤差，但是嚴重影響收斂速度。因此，現有的固定步長LMS很難同時獲得較快的收斂速度及較低的穩態誤差。為了解決兩者的矛盾，許多變步長LMS算法先后被提出，其中比較具有代表性的算法有改進的Sigmoid函數變步長LMS算法（SVSLMS）、歸一化最小均方誤差算法（NLMS）、指數因子變步長算法等。它們遵循的原理：在算法收斂初期選擇較大的步長以獲得較快的收斂速度，當進入收斂穩態階段，選用較小的步長來獲得較低的穩態誤差。變步長LMS算法雖然通過對算法步長的控制使收斂速度和穩態誤差基本都能滿足實際應用的要求，但其對兩種性能都有些許折中，在一定程度上限制了自適應濾波的性能。

National Natural Science Foundation of China（No.11404185）；Supported by the science and technology projectof higher education of Shandong province（No.J12LN08）；Qufu Normal University technology development project（No.hxkj2015017）

TN713

A

1002-0802（2016）-10-1301-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.007

2016-06-08；

2016-09-23

data：2016-06-08；Revised data：2016-09-23

國家自然科學基金資助項目（No.11404185）；山東省高等學?？萍加媱濏椖抠Y助（No.J12LN08）；曲阜師范大學技術開發項目（No.hxkj2015017）