淺談高等數學中兩類二階導數的計算

鄧小宇

【摘 要】二階導數的計算是高等數學中非常重要的教學內容。由于多元復合函數和參數方程的特殊性，多元復合函數和參數方程的二階導數學生掌握起來比較困難。因此，本文簡單的談談這兩類二階導數的計算方法。

【關鍵詞】多元復合函數；參數方程；二階導數

在高等數學的教學中，二階導數的計算是教學中的一個難點。二階導數是在一階導數的基礎上再求一次導，各種類型下函數的一階導數的計算學生基本上都沒問題，但是不同類型下的二階導數的計算思路各不相同，學生掌握起來比較困難。因此，本文簡單談談多元復合函數和參數方程的二階導數的計算方法。

1 多元復合函數的二階導數

多元復合函數的類型多種多樣，這里僅以一種類型加以說明。

設z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函數u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在點（x，y）具有對x及對y的偏導數，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，求，或的二階偏導數。多元復合函數的二階偏導數的計算是在一階偏導數的基礎上再求一次偏導數。必須注意的是，在第二次求導數的過程中，具有與變量z相同的函數結構，、得看成是以u、v為中間變量，x、y為自變量的復合函數。

例1、設w=f（x+y+z，xyz），f具有二階連續偏導數，求。

2 由參數方程確定的函數的二階導數

設參數方程的一般形式為x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其確定的一元函數為y=f（x）。由復合函數以及反函數的求導法則，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）還是二階可導的，那么從（1）式又可得到函數的二階導數。此時，（1）式兩端同時對變量x求導。右端變量t看成是變量x的函數，t的表達式看成是以t為中間變量，x為自變量的復合函數。根據復合函數的求導法則以及反函數的求導法則，即可得到參數方程的二階導數。

例2、求參數方程x=costy=sint確定的函數y=f（x）的二階導數。

由以上例題可知，只要弄清楚變量之間的關系，求解多元復合函數以及參數方程的二階導數就不再是一件困難的事情了。

【參考文獻】

[1]吳傳生.經濟數學——微積分[M].高等教育出版社，2014.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2011.

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