基于布爾代數理論的農林牧復合生態系統可達性研究*

于 嬌,顧鳳岐

(東北林業大學)

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基于布爾代數理論的農林牧復合生態系統可達性研究*

于 嬌,顧鳳岐**

(東北林業大學)

將黑龍江省集賢縣的農林牧復合生態系統建立結構模型，細分系統的九個分室，作出系統結構的有向圖，并給出有向圖的鄰接矩陣，進而由布爾代數的相關理論求出系統的可達矩陣，由可達矩陣考慮系統的可達性，可達性反映出系統的穩定性，這對于農林牧復合生態系統的研究具有重要的意義.

布爾代數；農林牧復合生態系統；可達矩陣；穩定性

0 引言

19世紀30年代，布爾偶然讀到一些介紹數學知識的教科書，由此布爾對數學產生了濃厚的興趣，尤其是對代數關系的對稱和美有著很強的感覺.他用數學方法把邏輯簡化為一種極其容易和簡單的代數，成功地建立了邏輯演算.他用等式表示判斷，把推理看作等式的變換.這種變換的有效性不依賴人們對符號的解釋，只依賴于符號的組合規律[1].這一邏輯理論人們常稱它為布爾代數.開始研究布爾代數，也叫邏輯代數.19世紀50年代，布爾代數問世了，這在數學史上無疑是設立了一個新的里程碑.如今，布爾代數已發展成為純數學理論的一個重要的分支.

1 布爾代數在結構模型中的應用

對于一個復雜的系統而言，建立一個直觀的結構模型對系統的研究是十分必要的.結構模型有三要素，分別是有向圖，鄰接矩陣以及可達矩陣.

1.1 有向圖

有向圖是最簡單的方式用來表達系統中各部分之間的宏觀關系.如果要素Si對Sj有影響，則在圖中由Si到Sj用一條有向線段連接起來，方向從Si指向Sj，不斷重復這種連接方式便構成了有向圖，如圖1所示.

圖1

1.2 鄰接矩陣

結構模型可用矩陣形式來描述，除了用有向圖表示系統結構關系之外，還可用有向圖對應的矩陣表示系統結構關系，這種矩陣叫做關系矩陣，其中最直接的一種叫做鄰接矩陣，用來表示各單元之間直接的連接關系[2].鄰接矩陣是一種布爾矩陣，其運算方法遵循布爾代數的運算規則.

對于有n個要素的系統(S1,S2,S3,…,Sn)，定義鄰接矩陣A如下：

由圖論可知，鄰接矩陣與有向圖是一一對應的關系，由鄰接矩陣可以畫出唯一的有向圖，反之，根據有向圖可寫出唯一的鄰接矩陣.

1.3 可達矩陣

在定義可達矩陣之前，先引入布爾矩陣.

定義1[3]將元素取值于{0,1}且矩陣運算由∨和∧ 定義的矩陣稱為布爾矩陣，運算符∨和運算符∧分別叫做“邏輯加”和“邏輯乘”.其中， 0∨0=0∧0=1∧0=0∧1=0,1∨0=0∨1=1∨1=1∧1=1.

由此可見，鄰接矩陣是一個布爾矩陣，其算法自然滿足布爾運算規則，通俗的講，矩陣運算的過程中，矩陣中的元素滿足布爾算法1+1=1，1+0=0+1=1，1×1=1，1×0=0×1=0.

假設某系統由S1，S2，S3，S4，S5五部分組成，作出系統的有向圖，該有向圖的鄰接矩陣為：

在上述鄰接矩陣A上加一個單位矩陣I可得：

矩陣A+I描述了各點間經長度為0和1(不大于1)的路的可達情況.同樣，(A+I)2描述了各點間經長度不大于2的路的可達情況.應該說明的是，在此所做的加法和乘法運算均為布爾運算[4].若經運算后有如下關系式：

(A+I)i-2≠(A+I)i-1≠(A+I)i+1=M,i≤n-1.

則矩陣M稱為可達矩陣.它表明了各點間經長度不大于n-1的通道的可達情況.可達矩陣M的元素mii為1代表要素Si到Sj存在可到達的路徑，對于點數為n的圖，最長的通道(即路徑)不能超過n-1.此外，M=M2.

可達矩陣是判別一個有向圖是否為強連通圖或弱連通圖的有效工具[5]，因此通過可達矩陣可以檢驗整個系統的緊密連接程度.求得有向圖可達矩陣的方法有很多[6]，該文利用布爾矩陣的運算性質求有向圖的可達矩陣.

如上例中有：

所以可達矩陣M=(A+I)2，由此可知S2可達S1和S3，S3可達S1和S2， S4可達S1， S5可達 S1、S2、S3、S4.即可達矩陣完全表示出了各單元間的直接關系，它能夠很好的把握系統結構，判斷系統的連通程度強弱.

用傳統矩陣布爾代數算法每迭代一次需要花費布爾代數乘法n3個，布爾代數加法n2(n-1)個[7].由此可見計算量是相當大的.因此對于階數較大的鄰接矩陣，通常借助于計算機來完成迭代.

2 農林牧復合生態系統的可達性分析

2.1 系統結構模型的建立

將集賢縣農林牧復合生態系統分為籽粒(X1)，秸稈(X2)，根(X3)，畜牧業(X4)，青貯(X5)，土壤有機質(X6)，人口(X7)，肥料(X8)以及林業(X9)九個分室.外界環境記為(X0).系統結構模型的有向圖如圖2所示.

圖2 系統結構模型的有向圖

2.2 系統結構模型的可達性分析

由系統的有向圖可作出系統的鄰接矩陣，A=(aij)，(i,j=0,1,2,…,9)，當i或j等于0時，表示的是外界與系統的物質交換情況.可得：

對上述鄰接矩陣A加上一個單位矩陣I，可得：

那么

以此類推，由于矩陣的階數較大，所以借助于計算機來求解，由matlab計算可得：

矩陣M稱為可達矩陣，由上式可知，可達矩陣的元素幾乎全為1，這表明圖中絕大多數點都可以到達其他各點.

3 結束語

該文建立了農林牧復合生態系統的結構模型，并由該結構模型作出了有向圖，建立了系統的鄰接矩陣.基于布爾代數的相關理論求解系統的可達矩陣，并對系統的可達性進行研究，研究結果表明，生態系統中的絕大部分單元能夠到達系統中的其他各點，整個生態系統是緊密連接在一起的，該農林牧復合生態系統穩定性比較強.布爾代數算法將計算過程進行了簡化，不必考慮具體數值，而是通過1和0來表現出系統內單元之間的可達與否，進而判斷出系統的強弱連接程度.布爾代數理論對整個計算過程起到了至關重要的作用.

[1] 劉曉利.有向圖的強連通性分析及判別算法[J].計算機應用與軟件,2005,22(4):138-139.

[2] 高廣學.簡化可達性矩陣的計算[J].齊齊哈爾大學學報,1999,15(4):42-44.

[3] 嚴蔚敏,吳偉民.數據結構[M].北京:清華大學出版社,1997.

[4] 張立昂,劉田,譯.計算理論基礎[M].北京:清華大學出版社,2000.

[5] Kim K H.Boolean matrix theory and application[M].New York:Dekker,1982.

[6] 肖人彬.基于系統結構建模分析的骨架矩陣代數求法[J].華中理工大學學報,1997,25(7):46-48.

[7] 喻湘存,熊曙初.系統工程教程[M].北京：清華大學出版社,北京交通大學出版社,2006.

(責任編輯：于達)

Accessibility of Animal Husbandry Compound Ecosystem Research Based on the Theory of Boolean Algebra

Yu Jiao， Gu Fengqi

(Northeast Forestry University)

In this article, animal husbandry compound ecological system structure model of the jixian county of heilongjiang province is set up, nine points of the room in system are segmentated, the system structure of directed graph is made, and adjacency matrix of directed graph is given. And then the accessible matrix of the system is given by the theory of Boolean algebra, and accessibility reflects the stability of the system by considering the reachable matrix system accessibility, The research of animal husbandry compound ecosystem has the vital significance.

Boolean algebra;Animal husbandry compound ecosystem;Accessible matrix;Stability

2016-01-25

*黑龍江省自然科學基金資助項目(C0224)

**通訊作者

O153.2

A

1000-5617(2016)02-0036-04