何 娟
(重慶師范大學 數學科學學院,重慶 401331)
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對偶體積差Lp-Brunn-Minkowski不等式
何 娟
(重慶師范大學 數學科學學院,重慶 401331)
介紹了對偶體積差和均質積分差的概念,討論了它們的對偶Lp-Brunn-Minkowski型理論,其中一個結論表明,對于兩個相互擴張的星體,特別地,當它們中挖掉兩個任意的星體后,Lp-Brunn-Minkowski不等式仍然成立.
星體;凸體;對偶體積差;對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式;對偶均質積分差
設K,L是Rn里的凸體(有非空內點的緊凸集).設V表示體積,+p表示p-和.經典的Lp-Brunn-Minkowski不等式[1]表示如下:
等號成立當且僅當K和L互為伸縮的.
等號成立當且僅當K和L互為伸縮的.
在2010年,呂松軍建立了對偶體積差的Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式[2].
定理1 假設K,L和D是Rn里的星體,并且D?K,D′?L,D′是D的一個擴張,則:
等號成立當且僅當K和L是相互擴張的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′)),其中c是一個常數.
其中ρK(θ)是K的徑向函數,定義為ρK(θ)=max{λ≥0:λθ∈K},θ∈Sn-1.并且dθ是B的表面積元素,Rn里的標準單位球.
定理2 假設K,L和D是Rn里的星體,并且D?K,D′?L,D′是D的一個擴張,則:
等號成立的條件當且僅當K和L是相互擴張的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′)),其中c是一個常數.
文獻[2]的第一個結果(定理1)表明了兩個相互伸縮的星體,其中挖去兩個任意的星體,對偶體積差Brunn-Minkowski不等式成立.本文將用分析的方法來建立對偶體積差的Lp-Brunn-Minkowski不等式,下面是主要結果.
定理3 假設M,K和L是Rn里的星體,并且K?M,L?M′,M′是M的一個擴張,則:
等號成立當且僅當K和L是相互擴張的并且(V(M),V(K))=c(V(M′),V(L)),其中c是一個常數.
其中ρk(θ)是K的徑向函數,定義為ρk(θ)=max{λ≥0:λθ∈K},θ∈Sn-1.
兩個星體的對偶體積差Lp-Minkowski不等式能表示為定理4[4]:
定理4 假設M,K和L是Rn里的星體,并且K?M,L?M′,M′是M的一個擴張,則:
等號成立當且僅當K和L是相互擴張的并且(V(M),V(K))=c(V(M′),V(L)),其中c是一個常數.
本文另一個目標是介紹凸體的均質積分差,進而了解它的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式.
首先引入一些關于星體的對偶Lp體積、星體的對偶均質積分差以及星體的對偶體積差的一些基本結論.對偶體積差[2]以及對偶均質積分差的概念也會給出.關于Brunn-Minkowski理論和它的對偶可以參看文獻[3-8].
(1)
兩個緊域的體積差概念參看文獻[9].
(2)
本節將建立關于星體的兩個對偶體積差不等式,這也是定理3的推廣.關于對偶的一些體積差不等式可以參看文獻[10].
定理5 設K,L和M是Rn里的星體,M′是M的一個伸縮,如果p≥1,K?M,L?M′,則:
(3)
推論1 假設R(K),R(L)是星體K,L的內徑,使得R(K)≤r1,R(L)≤r2,p≥1,則有:
等號成立當且僅當K,L是互為伸縮的且r1/r2=V(K)/V(L).
本文將需要一些額外的定義來分析定理5的不等式,首先定義一個函數Φp(x)為:
引理1 如果p>1,x,y∈Rp,則x+y∈Rp,有:
(4)
如果p<0或0
(5)
式(4)和式(5)等號成立當且僅當系數x,y成比例.
引理1的證明可以參看文獻[11].不等式(5)首先是Bellman證明的,熟知的Bellman不等式.
定理1的證明: 關于體積的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式如下:
(6)
(7)
根據式(6)、(7)和Bellman不等式(4),有:
本節將建立兩個關于星體的Lp-均質積分差不等式.
定理6 設K,L和M是Rn里的星體,M′是M的一個伸縮.
如果p≥1,0≤i≤n-1,K?M,L?M′,則:
(8)
如果K?M,L?M′,n-1n,p>1,則:
(9)
證明 設0≤i≤n-1,i∈R,對偶Lp-均質積分的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式如下:
(10)
(11)
從式(10)、(11)以及Bellman不等式,得到:
[1]GARDNERRJ.Geometric[MJ].NewYork:CambrigeUniversityPress,1995.
[2] LV S J.Dual Brunn-Minkowski inequality for volume differences[J].Geom Dedicata,2010,145:169-180.[3]GARDNERRJ.TheBrunn-Minkowskiinequality[J].BullAmerMathSoc,2002,39:355-405.
[4] SCHNEIDER R.Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory[M].New York:Cambrige University Press,1993.
[5] LUTWAK E.Dual mixed volumes[J].Pacific J Math,1975,58:131-159.
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[7] LOSONCZI L,PLES Z S.Inequalities for forms[J].J Math Anal Appl,1997,205:148-156.
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[11] LUTWAK E.The Brunn-Minkowski inequality for volume differences[J].Adv Appl Math,2004,32:615-624.
責任編輯:時 凌
Dual Lp-Brunn-Minkowski Inequality for Volume Differences
HE Juan
(School of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)
In this paper,we introduce the concepts of the dual volume differences and width-integral differences,and discuss the theory of dual Lp-Brunn-Minkowski type for them.One of the results implies that for two mutually dilating star bodies,the dual Lp-Brunn-Minkowski inequality still holds after two arbitrary star bodies included in them are excluded.
star body;convex body;dual volume difference; dual Lp-Brunn-Minkowski inequality;dual quermassintegral differences
2016-06-09.
國家自然科學基金面上項目(11271390).
何娟(1990- ),女,碩士生,主要從事凸幾何的研究.
1008-8423(2016)03-0285-03
10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.010
O18
A