配之以對偶 賦之以精魂

浙江省嘉善第二高級中學 (郵編：314100)

在數學里，在某種意義下成對出現的兩個數學結構，如對偶點、對偶數、對偶式、對偶圖、對偶空間、對偶運算、對偶命題，稱之為對偶關系.若對于一個孤立的研究對象，有意識地構造與之相應的對偶關系，往往可獲得新穎別致的解法.我們把這種解決問題的技巧稱為配以對偶的技巧.運用該技巧的通常做法是：①將已知式令為，A并配其對偶式B; ②對A與B進行適當地運算；③轉化或消去B,從而解決原問題.對偶式的形式往往不拘一格.主要有①互余型對偶式；②和差型對偶式；③對稱型對偶式.

1 互余型對偶式

又b≠0, 故

例2 求sin280°+cos250°-sin40°cos10°

解由誘導公式可得

sin280°+cos250°-sin40°cos10°=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,

構造對偶式：

x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

①

y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°

②

由①+②得：x+y=2-cos40°

③

④

故

另解：構造對偶式x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

⑤

y=sin210°+sin250°+cos40°cos80°

⑥

⑦

由⑤-⑥得：x-y=cos20°+cos100°-cos40°=0

⑧

2 和差型對偶式

例3 已知a、b、c、d∈R,a2+b2+c2+d2≤1,求證(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

證明記M=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4，

構造對偶式N=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)4+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4.

于是M+N=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

又因為B≥0, 所以A≤6.

3 對稱型對偶式

即將A=f(x,y)配以B=f(y,x) ，再通過運算及變形加以解決.

例4 若α、β、γ為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1.

則M-N=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，

由基本不等式可得：

練習題

(6)已知a1、a2、…、an均為正數，且a1+a2+…+an=1，