不等式證明方法選講

舒中杰

摘 要：不等式是中學數學教學中的重點與難點，本文系統介紹了九種不等式的證明方法，并通過一些特殊例題的講解使證明方法更易于學生接受。

關鍵詞：比較法；分析法；綜合法；反證法；放縮法；數學歸納法；換元法；基本不等式；導數法

不等式是中學數學教學中的重點與難點，因此在歷年高考復習中頗令師生們為之頭疼。由于不等式的形式各異，證明沒有固定的模式模仿，并且技巧多樣，方法靈活多變，因此熟練掌握不等式的證明是中學數學教學的重難點之一。這里精選了九種不同方法對不等式證明進行了詳細講解和研究。

一、比較法

二、分析法

分析法的思路是逆向思維，用分析法證明必須從結論出發，倒著分析，尋找結論成立的充要條件。應用分析法證明問題時要嚴格按照分析法的語言表達，下一步是上一步的充要條件。

需要注意的是：運用分析法時，當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中所需的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的不等式，?？紤]用分析法。

三、綜合法

從已知或證明過的不等式出發，根據不等式的性質及公理推導出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。

四、反證法

從命題否定的結論出發，經過推理論證，得出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的，這種證明方法叫做反正法。用反證法證明不等式時，必須將命題結論的反面的各種情形一一推出矛盾。

反證法證明一個命題的思路及步驟：

（1）假定命題的結論不成立。（2）從假設出發進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出現，可以肯定原來的假設“結論不成立”是錯誤的。（4）肯定原來命題的結論是正確的。

如果待證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至多”“至少”等方式給出，一般要考慮用反證法。

五、放縮法

放縮法就是在證明過程中，利用不等式的傳遞性，作適當的放大或縮小，證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明。放縮法的目的性強，必須恰到好處，同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。否則不能達到目的。

在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點，掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。

六、數學歸納法

當遇到與正整數n有關的不等式證明，應用其他辦法不容易證時，可以考慮采用數學歸納法。

用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k成立，推證n=k+1時也成立，證明時用上歸納假設后，可以采用分析法、比較法、綜合法、放縮法等證明。

七、換元法

所謂“換元法”，就是根據不等式的結構特征，選擇適當的變量代換，從而化繁為簡，或實現某種轉化，以便證題。其換元的實質是轉化，關鍵是構造和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

八、基本不等式

創造基本不等式的條件，護理拆分項或配湊項是常用技巧，其中拆與湊的目的在于滿足基本不等式條件，通常是考慮分母的代數式，考慮將整式拆分與配湊成與分母有關的式子與常數的和。

九、導數法

利用導數法證明不等式f（x）>g（x）在區間D上恒成立的基本方法是構造函數h（x）=f（x）-g（x），然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數h（x）>0，其中一個重要技巧就是找到函數h（x）什么時候可以等于0，這往往就是解決問題的一個突破口。

總之，不等式在現實社會與高考數學中的重要性毋庸置疑，此外在不等式的研究中能讓我們鍛煉自己的解題能力，數學思維能力，體驗解決問題的樂趣與成就感。上面介紹的九種方法都具有很強的針對性，不能普遍使用，因此選擇方法之前要慎重考慮，找出問題的顯著特點，根據特點對癥下藥，才能快速準確地解決問題。這就要求學生平時多練多想，只有熟練了，才能夠信手拈來。

（作者單位：安徽省霍邱縣第一中學）