再談APOS理論下的圓錐曲線教學設計——以拋物線及其標準方程為例

☉浙江省回浦中學　謝佳佳

再談APOS理論下的圓錐曲線教學設計——以拋物線及其標準方程為例

☉浙江省回浦中學謝佳佳

近日，筆者仔細閱讀了《中學數學》中李老師、汪老師的論文《淺談APOS理論下的圓錐曲線教學——以拋物線及其標準方程為例》（下簡稱《淺》），受益匪淺，兩位老師用數學學習理論APOS引領課堂教學，積極實踐，大膽創新，給我們做了很好的教學示范，在教學設計上，筆者有一些自己的思考.

活動階段是數學概念構建的起點，要確?？茖W性和有效性.活動的目的是啟動思考，在《淺》文中，作者通過三幅圖片引出拋物線，開門見山地引出本節課題拋物線，然后給出操作步驟讓學生作出拋物線的草圖.用圖片引入能讓學生感受到數學源于生活，并且直觀感知拋物線，但是這樣的感受比較模糊，為什么煙花或者拱橋的形狀就是拋物線而不是雙曲線或者其他圖形呢？學生按操作步驟作出的圖形可能是比較粗糙的，為什么作出的這支曲線就是拋物線？活動設計的科學性有待推敲.此外，學生欣賞完圖片后，于接下去的過程階段的定義導出和對象階段的方程推導沒有實質性的意義.

過程階段作者對“活動”進行思考，先逐步豐富、完善拋物線的定義，然后求拋物線的標準方程，根據不同的建系方式學生分組合作，得到四種不同方程，對比得出拋物線的標準方程，再用變換的思想方法得到開口向上、向左、向下的標準方程，逐步打開學生的思維，構建了知識體系.筆者的思考是：在建系的過程中，生8和生5、生6、生7建系不屬于同一類，學生若想到以過點F且垂直于直線l的直線為x軸，平行于l的直線為y軸建系得到方程x2=2py，學生肯定也會衍生出另外兩種建系方式得到x2=2py+p2和x2=2py-p2，這樣方程種類過于繁多，在學生未形成知識體系的情況下容易凌亂，不利于突破重難點.另外，在從開口向右引出開口向上、向左、向下的情況時，學生是被動接受的，容易產生誤區：只有上、下、左、右四種開口方向.

基于上述思考，結合APOS理論，筆者對《拋物線及其標準方程》進行了再設計.

拋物線是選修2-1第二章第四節的內容，是繼曲線與方程、橢圓、雙曲線之后學習的圓錐曲線.在這之前，學生已在初中學習過二次函數的圖像是拋物線，在數學必修1第三章第一節《函數與方程》中也重點研究過二次函數以及它的圖像拋物線.

本節課的教學重點是拋物線的定義和拋物線標準方程及幾何性質；教學難點是拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導.

一、活動階段（A）

師：在本章的開頭，我們學習了曲線的方程，請同學們回憶求點的軌跡方程的一般步驟？

生：建系、設點、列式、化簡、檢驗.

問題：（1）已知動點M到定點F（0，1）的距離與它到直線y=-1的距離相等，求點M的軌跡方程并說明它的軌跡.

（2）已知動點M到定點F（0，1）的距離與它到直線y= 0的距離相等，求點M的軌跡方程并說明它的軌跡.

圖1

師：上述兩個問題求得到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，接下去我們借助幾何畫板研究到定點和定直線距離相等的點的軌跡.

幾何畫板演示：如圖1，點F是定點，l是不經過點F的定直線，N是l上任意一點，過點N作MN⊥l，線段FN的垂直平分線m交MN于點M，拖動點N，觀察點M的軌跡.

問題1：圖1中，哪些量是不變的？哪些量在變？

問題2：點M滿足什么幾何條件呢？

生：點F和直線l不變，圖1中M、N兩點在動，MN與MF的長度在變化，但始終滿足|MN|=|MF|.

師：非常好，我們把圖中點M的軌跡就稱為拋物線.

【設計說明】活動階段是學生建構數學概念的起點，從本章開始求點的軌跡方程入手，自然引出課題，又復習了求方程的一般步驟，為過程階段（P）中求拋物線的標準方程做了有效鋪墊.另外，我們要充分考慮學生的最近發展區，找準知識的生長點.學生對開口向上、向下的拋物線很熟悉，出現開口向右的拋物線是比較突兀的，設計開口向上的拋物線形狀更符合他們的知識結構和認知水平，容易激起他們的操作意愿，進而提高活動的有效性.

二、過程階段（P）

師：結合剛才的演示你能給拋物線下一個定義嗎？

生：到定點與定直線距離相等的點的軌跡.

師：有補充的嗎？

生：平面上，到定點與定直線距離相等的點的軌跡.

師：還有嗎？定點與定直線的位置關系如何？

生：定點不在定直線上.

師：若點在直線上，平面內滿足條件的點的軌跡是什么呢？

生：是過點F且垂直于直線l的直線.

師生：我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.

【設計說明】過程階段對操作階段進行處理組織，它是概念學習的關鍵.教師采用問題串的形式驅動學生自覺地思考，對感受加工、分析和提煉，使學生逐步完善拋物線的定義，深刻理解數學內容的本質，培養學生嚴謹的數學思維.

三、對象階段（O）

1.研究拋物線的標準方程

師：同學們已經概括了橢圓的文字定義，你能把它轉化成數學語言，用集合來表示M點滿足的集合條件嗎？

生：P={M||MF|=d}，d表示點M到直線l距離.

師：設定點到定直線的距離為p，求拋物線的軌跡方程首先要做什么呢？

生：先建立直角坐標系.

師：有哪些建系方式？

學生探討建立平面直角坐標系的三種可能方案：

師：哪種建系方式最簡單呢？

生（統一地）：第二種.

師：為什么都選第二種？

生：在第二種建系方式下，頂點在原點，拋物線方程是y=ax2，最簡潔.

2.求解拋物線的標準方程

師：請同學們自主求解拋物線方程.

學生快速得到開口向上的拋物線方程x2=2py.

師：我們把x2=2py（p>0）叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點坐標是準線方程是

3.類比得到四種標準方程

師：你能得到開口向下的拋物線標準方程及對應的焦點和準線嗎？

生：開口向下的拋物線的標準方程為x2=-2py，焦點坐標準線方程

圖2

師：拋物線的開口可以朝任意方向（旋轉拋物線，如圖2），本章重點研究上、下、左、右這四種特殊位置的拋物線.

師：類似地，你能得到開口向左、向右的拋物線的標準方程嗎？

學生自主完成下列表格：

備注：在學生完成表格過程中，教師可以啟發他們從旋轉變換的角度去理解，也可以類比橢圓和雙曲線中兩種標準方程的方法得到，對理解困難的同學鼓勵他們課后建系逐個驗證.

師：根據上表中拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標和標準方程的對應關系，你能加以歸納總結嗎？

學生自主歸納，教師在學生歸納的基礎上加以完善.

【設計說明】在對象階段，教師在幫助學生認識拋物線定義本質的基礎上為其賦予形式化的符號，提煉出表達式和標準方程，使“拋物線”成為一個具體的對象.在活動階段和過程階段，教師以開口向上的拋物線引入，做了充分的鋪墊，對開口向上的拋物線，頂點在原點時得到的方程結構最簡潔，這些都是學生非常熟悉的知識和內容，選擇第二種建系方式清晰、自然，既節約時間又突出重點，從活動階段到過程階段再到對象階段一氣呵成，顯著地提升了課堂效率.在得到開口向上的拋物線標準方程后，通過幾何畫板旋轉演示，合理地解釋了拋物線開口的任意性，再突出重點研究四種特殊位置，符合學生的認知規律.通過讓學生自主地總結四種方程和對應的準線、焦點，逐步完善對象階段.

四、概型階段（S）

1.例題分析

例1求下列拋物線的焦點坐標和標準方程：

（1）y2=4x；（2）y=4x2；（3）y2=ax（a≠0）.

學生自主完成，并闡述解題過程.

教師點撥、提升：先化成拋物線的標準方程，明確開口方向，畫出對應的圖像，找出對應的焦點、準線.以拋物線方程y2=2px為例，焦點橫坐標是一次項系數2p的

練習：請根據下列條件寫出拋物線的標準方程：

2.能力提升

例2已知點F（4，0），求滿足下列條件的點M的軌跡方程.

（1）點M到點F的距離等于它到直線x-4=0的距離；

（2）點M到點F的距離等于它到直線x+4=0的距離；

（3）點M到點F的距離比它到直線x+5=0的距離小1.

3.課堂小結

師：本節課你學到了哪些？

生：內容上，學習了拋物線的定義及對應的標準方程、焦點、準線，對拋物線和二次函數有了更系統的認識；在思想方法上，利用坐標法研究曲線，運用了類比，數形結合，分類討論.

4.課后思考

請證明二次函數y=ax2的圖像是拋物線.

【設計說明】概型階段設計的幾個問題都需要在認識拋物線及其標準方程的基礎上進行，通過對概念的進一步分辨最終形成綜合的心理圖式，從而將概念應用于問題解決的情境.通過例1鞏固本節的重點，且通過歸納對知識點進行總結、提升；例2通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發學生的思考，由淺入深，環環相扣，與前面的三個階段相呼應，回歸到拋物線的概念.同時，用開放題、思考等方式，多渠道多角度豐富學生對“對象（O）”的理解，進一步幫助學生的認識上升到“概型（S）”的層次.

五、教學與反思

（1）APOS理論中的四個階段是有機統一的整體.活動階段學生理解了概念的直觀背景和概念之間的關系；過程階段學生對活動操作階段進行思考，經歷內化壓縮的過程；學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質，對其賦予形式化的定義和符號，這時成為對象；隨著學習的深入，以此為對象進行新的活動，進入到概型階段，包括特例、定義、符號、抽象過程，最終形成綜合的心理圖式，這四個階段是一個完整的體系，應該相輔相成，環環相扣.筆者先從點的軌跡引入自然引出拋物線概念，并且為求拋物線的標準方程做好鋪墊；從開口向上的拋物線引入，為選擇合理的建系做了鋪墊；在學生完善了拋物線的概念后，設計了題組例2檢驗學生概念理解水平，首尾呼應.

（2）APOS理論中的概型階段可以和變式教學相結合.概型階段可以充分發揮傳統變式教學的優勢，用變式練習形式的操作，把交織的概念的本質和非本質屬性分開，螺旋式上升.同時，利用開放問題、學生自己舉例、做概念圖表等多種方式，使得知識得到結構化，完善對概念的理解和應用.另外，教師設計的一些探究式學習等教學環節都暗合APOS理論中的某些階段，我們可以將兩者相互融合，在實踐中豐富對概念教學的有效性.

（3）APOS理論指導的教學符合新課程改革理念.高中數學新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，不斷鼓勵不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發展的創造歷程，以培養學生的創新意識.APOS理論真實反映了數學概念的心智建構過程，是構建主義學習理論在數學實踐中的一種具體模式.APOS理論指導的數學概念教學能將現實生活融入課堂，豐富學生活動，讓數學學習不僅局限于接受、記憶、模仿和練習，給予學生提出問題、解決問題的自主權，為學生創造自主探究、動手實踐和合作交流的空間，幫助學生建立有內涵的數學概念，與新課程背景下的教學改革不謀而合，我們應該積極嘗試.

1.李群，汪智源.淺談APOS理論下的圓錐曲線教學［J］.中學數學（上），2015（5）.

2.方厚良.“拋物線及其標準方程”的教學思考［J］.中小學數學（高中版），2014（1-2）.

3.程華.AOPS理論的內涵及其對中學數學概念教學的啟示［J］.教學與管理，2010（24）.