不確定離散系統的保性能擾動抑制方法

劉瑞娟,翁 振,段孝娟，陳建成

(廈門理工學院應用數學學院,福建 廈門 361024)

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不確定離散系統的保性能擾動抑制方法

劉瑞娟,翁 振,段孝娟，陳建成

(廈門理工學院應用數學學院,福建 廈門 361024)

基于等價輸入干擾的思想，將離散系統的外界擾動及模型不確定性均視為系統的擾動，等價到系統的輸入端，提出一種不確定離散系統的保性能擾動抑制方法.采用基于內模及狀態反饋的結構進行擾動抑制設計，利用李亞普諾夫方法得到控制系統的穩定性條件.并引入保性能優化指標，對控制器增益進行優化設計.仿真結果顯示,該方法能夠獲得良好的擾動抑制效果.

離散系統；不確定性；保性能控制；擾動抑制；等價輸入干擾

在工業過程控制中，控制系統都不可避免地存在建模誤差、參數攝動等不確定因素，并受到外界干擾的影響，如電力系統、機械系統及化工系統等.這些不確定性不僅使得系統的控制性能變差，產生穩態誤差，而且還可能導致系統不穩定.因此，擾動抑制問題一直受到國內外學者的廣泛關注[1].而當實現各種控制策略時，計算機處理的只能是離散的數字信號，也就是通過離散化的方法將連續系統轉化成離散系統來處理.如果直接針對離散系統進行控制設計，更有利于分析和實現.

目前，離散系統的擾動抑制研究已取得了一定的成果.例如：滑?？刂评靡粋€滑動面消除參數不確定性及外界擾動對系統的影響，知道擾動的上下界便可設計出漸近穩定的控制器[2]；基于干擾觀測器的方法主要利用對象的逆模型和低通濾波器來構造擾動觀測器，從而對擾動進行實時估計[3]；自抗擾控制則把系統的未建模動態和未知擾動作用歸結為一種總擾動，再利用擴展狀態觀測器對這種擾動進行實時估計，進而反向補償[4].

基于等價輸入干擾(equivalent input disturbance,EID)的方法主要思想在于根據擾動對系統輸出的影響效果，定義一個與總擾動等價的輸入端干擾，再通過控制器的設計實現對輸入端干擾的反向補償[5]380.基于等價輸入干擾的方法首先對線性系統進行了擾動抑制設計及電機裝置實驗[5]380.文獻[6-7]將該方法分別應用于不確定系統、狀態時滯系統等，獲得了良好的擾動抑制性能.等價輸入干擾方法現已在汽車駕駛控制[8]、建筑物減震[9]和欠驅動機器人[5]380等方面實現了成功的應用.然而，這種方法對離散系統的擾動抑制問題尚未涉及.本文針對不確定離散線性系統，基于等價輸入干擾的思想，采用內模及反饋控制進行系統的擾動抑制設計，并結合保性能優化控制方法，得到合適的控制器增益，使系統獲得了良好的跟蹤控制性能.

1 預備知識

本文考慮如下不確定離散線性系統：

(1)

其中：x(k)為狀態變量；u(k)為控制輸入；y(k)為輸出信號；A,B,C為維數合適的系數矩陣.該對象的不確定為時變的，并具有一般形式：[ΔA(k)ΔB(k)]=ME(k)[N0N1].這里M、N0、N1為已知適當維數的常數矩陣，E(k)∈Rn×n為具有勒貝格可測元素的矩陣函數，滿足

(2)

考慮到控制系統的一般性，對被控對象做如下假設：1)系統(1)是能觀測的且是能控的；系統(2)在虛軸上是沒有零點的.

首先利用等價輸入干擾的思想，將不確定性及外界干擾一起等價到系統的輸入端，再對該等價干擾進行抑制.

等價輸入干擾的概念及存在性敘述見圖1、圖2.

定義1[5]令控制輸入u(t)為0.如果對于所有的t≥0，圖1和圖2中系統的輸出恒相等，那么，擾動de(t)就叫作擾動信號d(t)的等價輸入干擾.

根據穩定逆的概念[10]，有如下引理1.

引理1[5]令Θ={pi(t)sin(ωit+φi)},i=0,1,…,n.其中：ωi(ωi≥0)和φi為常數；pi(t)是關于時間t的任意多項式.那么，若被控對象是能控的和能觀測的，且在虛軸上沒有零點，則在控制輸入端必存在一個等價輸入干擾de(t)∈Θ，并且其產生的輸出也包含于集合Θ.

根據定義1和引理1，將對象(1)寫為

(3)

為了更方便分析系統的穩定性，先給出引理2、引理3.

引理3[12]設f1(x)、f2(x)為定義在Rn上的二次型函數，若f2(x)≤0，?x∈Rn-{0}，則f1(x)<0的充要條件是：存在ε≥0，使得f1(x)-ε·f2(x)<0成立.

假設輸出矩陣C的奇異值分解為：

(4)

這里S為半正定矩陣，U和V為酉矩陣.

2 基于內部模型的系統擾動抑制優化設計

內部模型是控制系統設計中一種常用的方法，其核心部分就是一個積分器，根據參考輸入的不同，設計也需要做相應的改變.內部模型的主要作用就是用來精確跟蹤參考輸入，消除穩態誤差，達到良好的控制效果.

本文的不確定離散線性系統結構如圖3所示.所設計的系統包括被控對象、內部模型和狀態反饋控制器3部分，其中內部模型為：

(5)

其主要作用是精確地追蹤輸入信號r(k).由此，對于精確已知的輸入信號r(k)，參數AR、BR就能容易確定.同時狀態反饋控制律設計為：

(6)

由于外部信號不會影響到系統內部的穩定性，所以令外部輸入為0，即

(7)

同時定義φ(k)=[xR(k)x(k)]T.由式(1)及式(6)可以得到：

(8)

結合(1)、式(7)，內模(5)化為：

(9)

由式(8)和式(9)可得控制系統的狀態空間表達式：

(10)

(11)

以下定理1給出了不確定離散線性系統的穩定性充分條件以及控制器參數.

定理1 離散系統(1)在控制律(6)作用下是漸近穩定的，若存在對稱正定矩陣X1、X2以及合適維數的矩陣W1和W2，使得如下LMI可行

(12)

(13)

證明 選取合適的Lyapunov函數

(14)

(15)

(16)

(17)

對式(17)左乘右乘對角矩陣Π=diag{P1-1,P2-1,I,I}=diag{X1,X2,I,I}，得

(18)

注意到式(18)不是LMI，為解此矩陣不等式，對相應系數進行以下替換：

KRX1=W1，KYX2=W2，

(19)

將式(19)代入式(18)，即得式(12)LMI.

結合式(2)和式(11)得：ΓT(k)Γ(k)≤φT(k)ΨTΨφ(k).對式(16)應用引理2，取ε=1.由于系統穩定當且僅當V(k+1)<0，因此式(12)保證了不確定系統(8)漸近穩定.由式(19)可得控制器增益式(13).

(20)

由于矩陣不等式(20)不是線性的，而且不易轉化為線性，因此，利用定理1求出一組可行解，再代入式(20)驗證是否滿足優化條件.若條件不滿足則可將式(14)中的待定矩陣P1替換為αP1，通過調節其中的參數α來間接調節矩陣，直到式(20)負定為止.

3 數值仿真

(21)

綜上可知，定理1可以很好地處理不確定性離散系統的穩定性問題.但是，當系統被控對象受未知干擾影響時，則定理1的效果就顯得不太理想.為了檢驗這個問題，在5s時將如下未知擾動加于系統(1)的輸出端：

du(t)=0.1 tanht-0.5 tanh(0.5t)+0.8 sin(0.5πt) .

(22)

在不匹配擾動式(22)干擾的情況下，原受干擾系統和本文的控制系統的輸出響應對比曲線見圖4.在[5s,25s]區間，滑?？刂葡到y輸出的峰值為0.08，而應用本文方法后，峰值即降到了0.03以下.由圖4可以看出，定理1的方法在處理系統的穩定性問題是可行的，同時也會受到系統干擾的影響.

4 結論

本文將基于等價輸入干擾的思想應用于不確定離散系統，提出了一種基于內模的保性能擾動抑制方法.采用內模及狀態反饋進行系統的擾動抑制設計，利用李亞普諾夫方法得到控制系統的穩定性條件及控制器增益，再應用保性能優化指標進行進一步的優化設計.通過數值算例仿真可以看出，所提出的方法具有較好的擾動抑制控制性能.

[1]周克敏，DOYLEJC，GLOVERK.魯棒與最優控制[M].毛劍琴，鐘宜生，林巖，譯.北京：國防工業出版社，2002：1-155.

[2]XIAY,FUM,SHIP,etal.Robustslidingmodecontrolforuncertaindiscrete-timesystemswithtimedelay[J].IETControlTheoryandApplications,2010,4(4):613-624.

[3]YANGJ,CHENWH,LIS.Nonlineardisturbanceobserverbasedrobustcontrolforsystemswithmismatchingdisturbances/uncertainties[J].IETControlTheoryandApplications,2011,5(18):2 053-2 062.

[4]XIAY，SHIP，LIUGP，etal.Activedisturbancerejectioncontrolforuncertainmultivariablesystemswithtime-delay[J].IETControlTheory&Applications,2007,1(1):75-81.

[5]SHEJ,FANGM，OHYAMAY，etal.Improvingdisturbance-rejectionperformancebasedonanequivalent-input-disturbanceapproach[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2008,55(1):380-389.

[6]LIURJ，LIUGP，WUM，etal.Robustdisturbancerejectionbasedonequivalent-input-disturbanceapproach[J].IETControlTheory&Applications,2013,7(9):1 261-1 268.

[7]LIURJ,LIUGP,WUM,etal.Disturbancerejectionfortime-delaysystemsbasedontheequivalent-input-disturbanceapproach[J].JournaloftheFranklinInstitute,2014,351(6):3 364-3 377.

[8]紀志成，常軍.基于等價輸入干擾估計器的永磁同步電機無速度傳感器控制水[J].儀器儀表學報,2009,30(10):2 139-3 143.

[9]SHEJ,ZHANGA,LAIX,etal.Globalstabilizationof2-DOFunderactuatedmechanicalsystems:anequivalent-input-disturbanceapproach[J].NonlinearDynamics,2012,69(1):495-509.

[10]HUNTLR,MEYERG,SUR.Non-causalinversesforlinearsystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1996,41(4):608-611.

[11]KHARGONEKPP,PETERSENIR,ZHOUK.Robuststabilizationofuncertainlinearsystems:quadraticstabilizabilityandH∞controltheory[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1990,35(3):356-361.

[12]YAKUBOVICHVA.S-procedureinnonlinearcontroltheory[J].VestnikLeningradUniversity,2010(1):62-77.

(責任編輯 李 寧 雨 松)

Guaranteed Cost Disturbance Rejection Methodfor Uncertain Discrete Systems

LIU Ruijuan，WENG Zhen，DUAN Xiaojuan，CHEN Jiancheng

(SchoolofAppliedMathematics，XiamenUniversityofTechnology，Xiamen361024，China)

Basedontheideaoftheequivalent-input-disturbance，boththeexternaldisturbancesandmodeluncertaintiesweretreatedasthewholedisturbanceimposedontheinputchannelofthediscretesystem.Thispaperpresentedadisturbancerejectionmethodforuncertaindiscretesystemsusingguaranteedcostcontrol.Thenthesystemwasconstructedusingtheinternalmodelandstatefeedbackfordisturbancerejection.ThestabilityconditionofthesystemwasobtainedbyusingtheLyapunovmethod.Thecontrollergainwasoptimizedbyintroducingtheguaranteedcostindex.Simulationresultsshowthatthismethodobtainsgooddisturbancerejectionperformance.

discretesystem;uncertainty；guaranteedcostcontrol；disturbancerejection;equivalent-input-disturbance

2016-05-23

2016-07-21

福建省自然科學基金項目(2016J05165,2013J01027)；廈門理工學院高層次人才項目(YKJ14030R)[作者簡介]劉瑞娟(1982-)，女，講師，博士，研究方向為魯棒控制.E-mail：liuruijuan@xmut.edu.cn

TP13

A

1673-4432(2016)05-0019-06